Alexis Clairaut (1713-1765)

Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765)


13 décembre 1741 (1)
M[onsieu]r Clairaut commence la lecture d'un ouvrage sur la figure de la Terre : il le destine à l'impression hors de nos memoires (PV 1741, p. 474).

Gallica

Il s'agit de Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique, Paris, David fils, 1743, alias C. 29, ou Durand, 1743, alias C. 29 bis (Taton 76).

C. 29 sera réédité en 1808 (C. 292, cf. 1808 (1)) et 1909 (C. 292', cf. 1909 (1)), et connaîtra une traduction allemande en 1913 (C. 29A, cf. 1913 (1)), italienne en 1928 (C. 29B, cf. 1928 (1)) et russe en 1947 (C. 29C, cf. 1947 (1)).

La lecture de C. 29 se poursuit les 16 décembre 1741, 20, 24 janvier, 14, 21 , 28 février, 3 mars, 11 mai, 6 juin, 4, 11 et 14 août 1742 (cf. 16 décembre 1741 (1), 20 janvier 1742 (2), 24 janvier 1742 (1), 14 février 1742 (1), 21 février 1742 (1), 28 février 1742 (1), 3 mars 1742 (1), 11 mai 1742 (2), 6 juin 1742 (1), 4 août 1742 (1), 11 août 1742 (2), 14 août 1742 (1)).

Des raisons particulières obligeaient Clairaut à finir C. 29 promptement (cf. 4 janvier 1742 (1)).

Clairaut fait part de son intention d'en envoyer un exemplaire à Folkes et Turner (cf. 5 septembre 1742 (2)).

C. 29 est certifié le 6 septembre 1742 (cf. 6 septembre 1742 (1)).

Clairaut présente un exemplaire imprimé à l'Académie le 25 mai 1743 (cf. 25 mai 1743 (1)).

Trois exemplaires de C. 29 à destination de la Bibliothèque du Roi sont retirés de la chambre syndicale des libraires le 23 juillet 1743 (cf. 23 juillet 1743 (1)).

Clairaut adresse un exemplaire de C. 29 à Euler (cf. 23 avril 1743 (1), 6 février 1744 (1)), à Folkes, à la Royal Sociey, à Mortimer (cf. 17 mai 1743 (1)), à Zanotti, à l'Académie de l'Institut de Bologne (cf. 13 juin 1743 (1), 15 juin 1744 (1), 11 août 1744 (1)), probablement à MacLaurin (cf. 13 juin 1743 (2)), probablement à Klingenstierna (cf. [c. 1743], [c. 1744]), probablement aux Bernoulli (cf. 1 juillet 1744 (2)), mais oublie Cramer (cf. 10 février 1744 (1)).

Peu après la parution de C. 29 Cantemir recommandera (sans succès) Clairaut auprès de l'Académie de Pétersbourg (cf. Cantemir).

C. 29 déclenche des critiques de Muller auxquelles Clairaut répond via Savérien (cf. [c. 1759] (1)).

C. 29 est aussi évoqué dans la correspondance entre Clairaut et Euler (cf. 4 janvier 1742 (1), [3 février 1742], 28 mars 1742 (1), Avril 1742 (1), 29 mai 1742 (1), 25 juillet 1742 (1), 14 septembre 1742 (1), 3 décembre 1742 (1), 28 décembre 1742 (1), 23 avril 1743 (1), 7 septembre 1743 (1), 19 février 1744 (1)), dans celle avec MacLaurin (cf. 19 novembre 1742 (1)), dans celle entre Daniel Bernoulli et Euler (cf. 7 mars 1742 (4)), dans celle entre Delisle et Euler (cf. 21 juillet 1742 (1)), dans celle entre Goldbach et Euler ((12) 1 juin 1744, 4 juillet 1744 (2)), dans celle avec Cramer (cf. [c. janvier 1751]), dans celle entre Frisi et d'Alembert (cf. 7 janvier 1767 (1)), dans celle de d'Alembert au prince de Castiglione (cf. [1777] (1)).

Angélique Delisle en adresse un exemplaire à son frère (cf. [c. juillet 1746]), Lalande au grand vizir de Turquie (cf. 18 août 1762 (1)).

Panckoucke le père possédait un exemplaire de C. 29 (cf. 5 novembre 1753 (1)), et le libraire Durand dix à sa mort (cf. 19 mai 1763 (1)).

Un exemplaire de C. 29 se trouvait à la Bibliothèque Mazarine du vivant de Clairaut (cf. 23 février 1760 (1)).

Un exemplaire de C. 29 se trouvait à l'Académie des sciences (AAS, DG 381, Catalogue des livres de l'Académie, p. 29), dans la bibliothèque de Cantemir (Cantemir 45, p. 21), de Potier (cf. 3 février 1747 (1)), de Dortous de Mairan (Mairan 71, p. 45), de de Tournière (Tournière 72, p. 58), de Morand (Morand 74, p. 122), de Perrot (cf. 22 janvier 1776 (1)) et du citoyen Bonnier (Bonnier 00), de Mauduit (Mauduit 16, p. 9), de Lebey continuée par Saint-Vandrille (Labey 39, p. 76), du prince de Soubise (Soubise 88, p. 263).

Un exemplaire de C. 292 se trouvait dans la bibliothèque d'Arago (Arago 54, p. 30).

L'exemplaire de Cramer se trouve à la BGE (cf. 10 janvier 1744 (1)).

Annonce dans les gazettes :
M. Clairaut, membre de l'Académie royale des sciences, et de la Société royale de Londres, vient de donner au public la Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique, chez David fils, libraire, rue S. Jacques, à la plume d'or, 1743, in 8° (Journal des sçavans, juin 1743, p. 381).

Une autre annonce (jouxtant celle du Traité de dynamique [(Alembert 43)]) se trouve dans le Mercure (Mercure de France, octobre 1743, p. 2238 ; février 1744, p. 340), deux autres dans le Journal de Verdun (Suite de la clef, janvier 1743, p. 78 et Suite de la clef, mars 1744, p. 185).

Des extraits de C. 29 se trouvent dans le Journal des sçavans, août 1743, pp. 463-469 (Amsterdam, novembre 1743, pp. 324-338), dans le Journal de Trévoux, janvier 1744, pp. 61-97, dans les Nova acta eruditorum, novembre 1745, pp. 644-659.

C. 29 est également évoqué dans HARS 1742 (1745), Hist., pp. 86, 98-104 et dans les Leipz. gel. Zeitungen (cf. (12) 1 juin 1744).

C. 29 est dédicacé à Maurepas :
À Monseigneur le comte de Maurepas, ministre et secrétaire d'état de la marine, commandeur des ordres du Roy.
Monseigneur,
La protection que vous accordez aux sciences, les bontés dont vous m'honorez ne sont pas les seuls motifs qui me déterminent à vous présenter cet ouvrage, il vous appartient, Monseigneur, par des droits particuliers, je m'y suis proposé de faire connaître une nouvelle utilité des fameuses opérations faites pour déterminer la figure de la Terre ; il est bien juste que j'en fasse un hommage public à celui sous les auspices et par la protection duquel ces opérations ont été faites. Je suis avec un profond respect, Monseigneur, votre très humble et très obéissant serviteur Clairaut (C. 29, non paginé).

Outre à ceux de Newton, Clairaut rend mérite aux travaux de Maupertuis (Maupertuis 38a, Maupertuis 32b) (C. 29, pp. xi, xxi), Bouguer [(Bouguer 34)] (C. 29, pp. xxxi-xxxii), de Daniel Bernoulli (Bernoulli 38) et Hermann (Hermann 16) (C. 29, p. 55), de Jurin (C. 29, pp. 106-110), de lui-même C. 18 (C. 29, pp. 155-156, 253-256), de MacLaurin (C. 29, p. 158).

Clairaut y expose ses objections à Jurin (cf. 20 juin 1742 (1)).

Un résumé de C. 29 se trouve dans le commentaire de la traduction de Newton de la marquise du Châtelet (C. 502, pp. 563-609).

Des figures de C. 29 se trouvent également dans C. 50 (Francois Saint-Antonin, CP, 27 décembre 2007).

C. 29 est évoqué par La Condamine dans (La Condamine 51b, p. 263) et par Bossut (cf. 29 juillet 1739 (2)).

Si Estève s'était livré à des recherches plus approfondies, il aurait cité C. 29 dans (Estève 55b) (cf. 24 décembre 1750 (1)).

Clairaut se défend à la Royal Society de reproches adressés par Frisi dans (Frisi 51) (cf. 15 février 1753 (1)).

Clairaut évoque C. 29 dans un rapport sur les travaux de Bailly (cf. 8 janvier 1763 (1)).

C. 29 est utilisé par Loys de Chéseaux (cf. 7 juillet 1751 (2)).

C. 29 est cité par Euler dans (Euler 48c) (cf. 31 mai 1741 (1)).

Clairaut reprendra ses travaux sur la figure de la Terre avec C. 45 (cf. 9 janvier 1750 (1)).

Lalande reprendra des travaux Clairaut sur des tubes capillaires (cf. 15 février 1766 (1)).

Euler dans (Euler 55a) :
Quelques sublimes que soient les recherches sur les fluides dont nous sommes redevables à MM. Bernoullis, Clairaut et d'Alembert, elles découlent si naturellement de mes deux formules générales, qu'on ne saurait assez admirer cet accord de leurs profondes méditations avec la simplicité des principes d'où j'ai tiré mes deux équations, et auxquels j'ai été conduit immédiatement par les premiers axiomes de la mécanique (Euler 55a).

D'Alembert dans le Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides, édition 1744 :
La théorie de l'équilibre des fluides dont la surface supérieure est courbe, est d'une toute autre difficulté que celle de l'équilibre des fluides dont la surface est plane, et dont les parties sont animées par une pesanteur dont la direction est constante. Elle est d'ailleurs fort importante par le rapport qu'elle a avec la question de la figure de la Terre. M. Huygens, en traitant cette matière, a pris pour principe d'équilibre la perpendicularité de la pesanteur à la surface. M. Newton s'est servi de principe de l'équilibre des colonnes centrales. MM Bouguer et de Maupertuis ont fait voir de plus, qu'il était nécessaire pour qu'il y eût équilibre, que les principes de MM. Huygens et Newton eussent lieu à la fois. Enfin, selon M. Clairaut, il faut qu'en général, une partie quelconque de fluide qu'on imaginerait renfermée dans un tuyau PQE (fig. 19) aboutissant à la surface, soit en équilibre ; ou, ce qui revient au même, comme M. Clairaut le démontre, il faut que [...], en imaginant ces couches [auxquelles la pesanteur est perpendiculaire] infiniment proches, que l'épaisseur de chaque couche en un point quelconque, soit en raison inverse de la pesanteur qui agit en ce point (M. Clairaut appelle couches de niveau, les couches auxquelles la pesanteur est perpendiculaire).
Les différentes lois d'équilibre, découvertes par les savants géomètres que nous venons de citer, paraissent être les seules auxquelles nous devions nous arrêter pour le présent. [...] Lorsque la pesanteur agit non seulement à la surface, mais au-dedans de la masse fluide, la couche infiniment proche de la surface, doit être également pressée en tous ses points, comme M. Clairaut le démontre, (Alembert 44, pp. 47-49).

Dans l'édition de 1770 du Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides, d'Alembert a d'abord ajouté, plus haut dans le texte :
M. Clairaut, dans la Théorie de la figure de la Terre [C. 29], paraît croire, pag[e] 280, que les lois de l'hydrostatique exigent que les couches les plus denses soient les plus voisines du centre ; cependant il n'exige point une pareille loi pour la pesanteur particulière de chaque couche ; il paraît supposer que cette pesanteur peut aller en augmentant ou en diminuant, comme on voudra, de la surface vers le centre ; il est d'ailleurs évident que dans le système de l'attraction, la force ou pesanteur de chaque particule est d'autant plus grande, qu'elle est plus éloignée du centre, puisque cette force est le résultat de l'attraction de toute la masse inférieure, en supposant, pour plus de simplicité, cette masse sphérique. Or, je ne vois pas, je le répète, pourquoi la densité ne pourrait pas aller en diminuant de la surface vers le centre, dès qu'on suppose que la pesanteur peut suivre une telle loi ; supposition qui est d'ailleurs évidemment possible. Voyez au reste, ce que nous dirons plus bas, chap. 5 de cette première partie, sur la théorie hydrostatique de M. Clairaut (Alembert 70, pp. 36-37).

Puis :
La théorie de l'équilibre des fluides [...] [identique à l'édition de 1744] [...] MM. Huygens et Newton eussent lieu à la fois. M. MacLaurin a ajouté une nouvelle condition ; c'est qu'un canal quelconque, formé par deux branches rectilignes, AC, BC (fig. 19) qui partent de la surface, et qui aboutissent à un point quelconque C au-dedans du fluide, soit en équilibre. Enfin, selon M. Clairaut, il faut qu'en général, une partie quelconque de fluide qu'on imaginerait renfermée dans un tuyau PQE aboutissant à la surface, soit en équilibre. Ce principe, comme je l'ai fait voir ailleurs [Essai sur la résistance des fluides, Paris, 1752, art. 18 NDA [(Alembert 52), p. 15]], n'est qu'une conséquence nécessaire du principe de M. MacLaurin. je dois observer de plus, que M. Daniel Bernoulli avait déjà donné le même principe d'équilibre dans son Hydrodynamique [(Bernoulli 38)], section seconde, § 3, page 18 [...]. Mais il faut avouer en même temps que M. Clairaut est le premier qui ait développé l'usage de ce principe des canaux curvilignes, et qui en ait montré l'application à la théorie de la figure de la Terre. M. Clairaut fait voir de plus et démontre, comme une suite du principe dont il s'agit [...] [qu'il] faut en imaginant ces couches [auxquelles la pesanteur est perpendiculaire] infiniment proches, que l'épaisseur de chaque couche en un point quelconque, soit en raison inverse de la pesanteur qui agit en ce point. M. Clairaut appelle couches de niveau, les couches auxquelles la pesanteur est perpendiculaire.
Je crois au reste, que ce savant s'est trompé, quand il a avancé que dans un fluide hétérogène, les couches de différente densité devaient toutes être de niveau. Voyez à ce sujet l'art[icle] 86 de mes Recherches sur la cause des vents [(Alembert 47a), pp. 162-164] et mon Essai sur la résistance des fluides, art[icle] 165, 166 et 167 [Alembert 52), pp. 199-206]. Il est vrai que je me suis aussi trompé moi-même, en croyant que dans le système de l'attraction, les couches de la Terre pourraient n'être pas de niveau. C'est ce que le célèbre M. de la Grange a remarqué. [...]
Les différentes lois d'équilibre [suite identique à la version de 1744] (Alembert 70, pp. 48-51).

D'Alembert évoque implicitement C. 29 dans (Alembert 47a) (cf. 14 décembre 1747 (1)), déclenchant une réaction de Boscovich dans (Boscovich 55) (cf. 1755 (2)).

D'Alembert évoque C. 29 dans le 3e volume de (Alembert 54-56) (cf. 17 novembre 1756 (1)).

Dans les Recherches sur la précession des équinoxes :
Conséquences qui résultent de la Théorie précédente, par rapport à la figure de la Terre. […] On trouvera facilement par les formules que M. Clairaut a données dans son livre de la Figure de la Terre [C. 29], [maths], car M. Clairaut, page 226 de cet ouvrage, trouve [maths] (Alembert 49b, p. 97 ; AI/7, pp. 211-212).

D'Alembert évoque C. 29 dans le 1er (cf. 18 novembre 1761 (2)), le 5e (cf. 1768 (4)), le 6e (cf. 1773 (2)), le 7e et le 8e (cf. 1780 (1)) volumes de ses Opuscules (Alembert 61-80).

D'Alembert et Formey dans l'article « Capillaire » de l'Encyclopédie :
M. Clairaut, dans sa Théorie de la figure de la Terre, imprimée à Paris en 1743, a donné une théorie de l'élévation ou de l'abaissement des liqueurs dans les tuyaux capillaires, où il combat l'explication de M. Jurin. Voici ce qu'il lui objecte.
1°. On ne saurait employer le principe que les effets sont proportionnels aux causes, que quand on remonte à une cause première et unique, et non lorsqu'on examine un effet qui résulte de la combinaison de plusieurs causes particulières, qu'on n'évalue pas chacune séparément : or quand on compare l'élévation de l'eau dans deux tubes différents, l'attraction de chaque surface est le résultat de toutes les attractions de chaque particule de verre sur toutes celles de l'eau, et comme toutes les petites forces qui composent la force totale d'une de ces surfaces ne sont pas égales entre elles, on n'a aucune raison pour conclure l'égalité d'attraction de deux surfaces, de l'égalité d'étendue de ces surfaces ; il faudrait de plus que ces surfaces fussent pareilles. Par la même raison, quand même on admettrait que le seul anneau du verre qui est au-dessus de l'eau serait la cause de l'élévation de l'eau, on n'en saurait conclure que le poids élevé devrait être proportionnel à ce diamètre ; parce qu'on ne peut connaître la force de cet anneau, qu'en sommant celle de toutes les particules.
2°. Supposé qu'on eût trouvé que la force d'un anneau de verre fût en raison constante avec son diamètre, on n'en pourrait pas conclure qu'une colonne du fluide d'un poids proportionnel à cette force, serait suspendue par son moyen. On voit bien qu'un corps solide tiré en haut par une force égale à son poids, ne saurait tomber : mais si ce corps est fluide, ses parties étant détachées les unes des autres, il faut faire voir qu'elles se soutiennent mutuellement.
M. Clairaut examine en suite la question des tuyaux capillaires, par les principes généraux de l'équilibre des fluides : son exposé est trop géométrique pour être rendu ici, et nous renvoyons à l'ouvrage même ceux qui voudront s'en instruire. Nous nous contenterons de dire que M. Clairaut attribue l'élévation de l'eau à l'attraction du bout inférieur du verre, et à celle du bout supérieur ; et qu'il fait voir que quand le tube a un fort petit diamètre, l'eau doit s'y élever à une hauteur qui est en raison inverse de ce diamètre ; pourvu qu'on suppose que l'attraction du verre agisse suivant une certaine loi. Il ajoute que quand même l'attraction du tuyau capillaire serait d'une intensité plus petite que celle de l'eau, pourvu que cette intensité ne fût pas deux fois moindre, l'eau monterait encore ; ce qu'il prouve par ses formules. Il explique en passant une expérience de M. Jurin, qui au premier coup d'œil paraît contraire à ses principes : cette expérience consiste en ce que si on soude deux tuyaux capillaires d'inégale grosseur, et qu'on trempe le bout le plus étroit dans l'eau, cette liqueur n'y monte pas plus haut que si tout le tuyau était de la même grosseur que par le bout d'en haut. Quant à la descente du vif-argent dans les tuyaux capillaires, il l'explique en montrant que les forces qui tirent en en bas dans la colonne qui traverse le tube, sont plus grandes que les forces qui agissent dans les autres colonnes ; et qu'ainsi cette colonne doit être la plus courte, afin de faire équilibre aux autres.
Au reste dans cette explication M. Clairaut suppose que l'attraction n'est pas en raison inverse des quarrés des distances, mais qu'elle suit une autre loi, et dépend d'une fonction quelconque de la distance ; sur quoi voyez la fin de l'article « attraction » (Alembert 51f).

D'Alembert dans l'article « Figure de la Terre » de l'Encyclopédie :
M. Clairaut ayant médité sur cette dernière condition [d'équilibre], en a déduit des conséquences profondes et curieuses, qu'il a exposées en 1742 dans son traité intitulé, Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'Hydrostatique. Selon M. Clairaut, il faut pour qu'un fluide soit en équilibre, que les efforts de toutes les parties comprises dans un canal de figure quelconque qu'on imagine traverser la masse entière, se détruisent mutuellement. Ce principe est en apparence plus général que celui de M. MacLaurin ; mais j'ai fait voir dans mon Essai sur la résistance des fluides, 1752. art. 18 que l'équilibre des canaux curvilignes n'est qu'un corollaire du principe plus simple de l'équilibre des canaux rectilignes de M. MacLaurin ; ce qui, au reste, ne diminue rien du mérite de M. Clairaut, puisqu'il a déduit de ce principe un grand nombre de vérités importantes que M. MacLaurin n'en avait pas tirées, et qu'il avait même assez peu connues pour tomber dans quelques erreurs ; par exemple, dans celles de supposer semblables entre elles les couches d'un sphéroïde fluide, comme on le peut voir dans son Traité des fluxions, art. 670. et suiv[antes]
M. Clairaut, dans l'ouvrage que nous venons de citer, prouve (ce que M. MacLaurin n'avait pas fait directement) qu'il y a une infinité d'hypothèses, où le fluide ne serait pas en équilibre, quoique les colonnes centrales se contre balançassent, et que la pesanteur fût perpendiculaire à la surface. Il donne une méthode pour reconnaître les hypothèses de pesanteur, dans lesquelles une masse fluide peut être en équilibre, et pour en déterminer la figure ; il démontre de plus, que dans le système de l'attraction des parties, pourvu que la pesanteur soit perpendiculaire à la surface, tous les points du sphéroïde seront également pressés en tout sens, et qu'ainsi l'équilibre du sphéroïde dans l'hypothèse de l'attraction, se réduit à la simple loi de la perpendicularité à la surface. D'après ce principe, il cherche les lois de la figure de la Terre dans l'hypothèse que les parties s'attirent, et qu'elle soit composée de couches hétérogènes, soit solides, soit fluides ; il trouve que la Terre doit avoir dans tous ces cas une figure elliptique plus ou moins aplatie, selon la disposition et la densité des couches: il prouve que les couches ne doivent pas être semblables, si elles sont fluides ; que les accroissements de la pesanteur de l'équateur au pôle, doivent être proportionnels au quarré des sinus de latitude, comme dans le sphéroïde homogène ; proposition très remarquable et très utile dans la théorie de la Terre : il prouve de plus que la Terre ne saurait être plus aplatie que dans le cas de l'homogénéité [...] ; mais cette proposition n'a lieu qu'en supposant que les couches de la Terre, si elle n'est pas homogène, vont en augmentant de densité de la circonférence vers le centre ; condition qui n'est pas absolument nécessaire, surtout si les couches intérieures sont supposées solides ; de plus, en supposant même que les couches les plus denses soient les plus proches du centre, l'aplatissement peut être plus grand [...] V. la III. part. de mes Recherches sur le système du monde, p. 187 [(Alembert 54-56, vol. 3, p. 187)]. Enfin M. Clairaut démontre, par un très beau théorème, que la diminution de la pesanteur de l'équateur au pôle, est égale à deux fois [...] (aplatissement de la Terre homogène) moins l'aplatissement réel de la Terre. Ce n'est là qu'une très légère esquisse de ce qui se trouve d'excellent et de remarquable dans cet ouvrage, très supérieur à tout ce qui avait été fait jusque-là sur la même matière. V. « Hydrostatique », « Tuyaux capillaires », etc.
Après avoir réfléchi longtemps sur cet important objet et avoir lu avec attention toutes les recherches qu'il a produites, il m'a paru qu'on pouvait les pousser encore beaucoup plus loin.
[...]
Ceux qui voudront s'instruire plus à fond, ou plus en détail, sur l'objet de cet article, doivent lire [...] La mesure du degré au cercle polaire, par les Académiciens du Nord, 1738 ; La théorie de la figure de la Terre, par M. Clairaut, 1742 ; [...] et plusieurs savants mémoires de MM. Euler, Clairaut, Bouguer, de Maupertuis, etc. répandus dans les recueils des académies des sciences de Paris, de Petersbourg, de Berlin, etc (Alembert 56b).

D'Alembert dans l'article « Fluide » de l'Encyclopédie :
Ces réflexions [sur les fluides] sont tirées de la préface de l'ouvrage déjà cité, Sur l'équilibre et le mouvement des fluides ; afin de ne point rendre cet article trop long, nous renvoyons pour les réflexions que cette matière peut fournir encore, aux mots « Hydrostatique », « Hydraulique », « Hydrodynamique », à l'article « Figure de la Terre », à l'ouvrage de M. Clairaut, sur ce même objet, et à l'ouvrage que nous avons donné en 1752, qui a pour titre, Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides (Alembert 56c).

D'Alembert dans l'article « Hydrostatique » de l'Encyclopédie :
La loi générale de l'équilibre des fluides est 1° que la direction des forces soit perpendiculaire à la surface du fluide ; 2° qu'un canal quelconque rectiligne, formé de deux branches terminées à la surface, et aboutissant où l'on voudra dans l'intérieur du fluide, soit en équilibre. M. MacLaurin est le premier qui ait fait usage de ce dernier principe, et qui l'ait heureusement appliqué à la recherche de la figure de la Terre. De ce principe résulte celui de l'équilibre des canaux curvilignes quelconques, dont M. Clairaut s'est servi avec beaucoup de sagacité pour le même usage. Sur quoi voyez le chap. ij. de mon Essai sur la résistance des fluides, 1752. (Alembert 65a).

D'Alembert dans l'article « Tourbillon » de l'Encyclopédie :
M. Clairaut a aussi déterminé cette même courbure [que doit prendre la surface d'un fluide qui se meut en tourbillon] dans sa Théorie de la figure de la Terre ; et il observe à cette occasion que M. Herman s'est trompé dans la solution qu'il a donnée de ce même problème (Alembert 65e).

Don Juan et Ulloa :
Il faut pourtant avouer ici que M. Clairaut dans son traité intitulé Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique [C. 29] [Part[ie] 2, chap[itre] 2 § LIII NDA], l'un des plus beaux ouvrages de géométrie qu'il y ait, a démontré géométriquement que la Terre peut être, et allongée en même temps les pendules plus courts vers l'équateur que vers les pôles, ou, ce qui revient au même, que les corps pèsent moins près de l'équateur, qu'à une plus grande latitude ; bien que suivant la démonstration la diminution des pendules près de l'équateur devrait être en ce cas beaucoup plus grande qu'elle ne l'est en effet, c'est-à-dire, de 8 à 9 lignes, en supposant la mesure de M. Cassini, et sa détermination de la valeur des degrés.
[…]
M. Clairaut y a suppléé [hétérogénéité non étudiée par Newton] dans son ouvrage intitulé Théor[ie] de la fig[ure] de la Terre tirée des principes de l'hydrostatique, pag[e] 247. Il ne faut, pour pouvoir s'en assurer, que voir si le quarré du sinus de latitude de Paris 480 50' est au quarré du sinus de la latitude du Guarico 19° 45' 50'' comme l'excès du pendule à Paris sur celui de l'équateur 1. 36, est à l'excès du pendule au Guarico sur celui de l'équateur 0. 28, et l'on trouvera que cette proportion est exacte à 1/200 de ligne près, qui est la plus grande exactitude où l'on puisse atteindre dans les expériences.
[…]
Plusieurs auteurs ont tâché de [...] faire accorder [la formule donnant les diamètres de la Terre aplatie] avec celle de la longueur des pendules en différentes latitudes, se fondant les uns sur un principe, les autres sur d'autres ; mais M. Clairaut ayant démontré à la page 141 de sa Théorie de la Terre tirée des principes de l'hydrostatique, que la pesanteur ne se fait point suivant la ligne tirée, au centre de la Terre, il faut abandonner toutes les hypothèses fondées sur cette supposition : moyennant quoi il ne nous reste plus que les attractions de M. Newton ; car l'hypothèse. qui suppose que la gravité se fait toujours perpendiculairement à une même courbe, ne passe pas pour fort naturelle.
Le même M. Clairaut. démontre aussi pag[e] 171, et 172 que dans l'hypothèse des attractions de M. Newton, si la Terre était homogène elle ferait un ellipsoïde, et que ses axes, seraient en raison de 230 a 231 ; il démontre encore pag[e] 209 que, quand la Terre ne serait pas homogène, elle ne laisserait pas d'être un ellipsoïde mais que ses axes seraient en une raison moindre en ce cas que; celle de 230 à 231, la matière étant plus dense à mesure qu'elle approche du centre ; proposition vraie, bien que contraire à la détermination de M. Newton a. Ainsi suivant les règles données par M. Clairaut, les formules données dans le livre précédent, pour trouver la raison des diamètres de la Terre par les degrés mesurés, sont bonnes. Celle qu'il donne pour trouver la même raison par la mesure des pendules est [maths], d'où l'on déduit [maths] (Juan y Santacilia 52, pp. 18-19, 253-255).

Lagrange en note à (Daviet de Foncenex 59) :
Au reste les géomètres ne sont plus étrangers a ces sortes de paradoxes si on les peut nommer ainsi, (car je n'y vois que ides conséquences toutes naturelles des suppositions qu'on a fait dans le calcul). M. Clairaut à fait voir un semblable cas dans sa Théorie sur la figure de la Terre [C. 29], art. 45 de la première partie (Daviet de Foncenex 59).

Lagrange dans (Lagrange 62) (cf. [1762] (1)).

Lagrange, dans sa Mécanique analytique :
Newton [Principes, livre III, proposition 19] est parti du principe de l'égalité des poids des colonnes centrales. Bouguer [(Bouguer 34)] a remarqué ensuite que, souvent, ces deux principes ne donnaient pas le même résultat, et, en a conclu que, pour qu'il y eût équilibre dans une masse fluide, il fallait que les deux principes y eussent lieu à la fois et s'accordassent à donner la même figure à la surface du fluide. Mais Clairaut [C. 29] a démonté de plus qu'il peut y avoir des cas où cet accord ait lieu, et où cependant il n'y aurait point d'équilibre. MacLaurin [Traité des fluxions [(MacLaurin 42)], vol. 2, p. 110] a généralisé le principe de Newton, en établissant que, dans une masse fluide en équilibre, chaque particule doit être comprimée également et par toutes les colonnes rectilignes du fluide, lesquelles appuient sur cette particule et se terminent à la surface ; et Clairaut [C. 29] l'a rendu plus général encore, en faisant voir que l'équilibre d'une masse fluide demande que les efforts de toutes les parties du fluide, renfermées dans un canal quelconque, aboutissant à la surface ou rentrant en lui-même, se détruisent mutuellement. Enfin il a déduit le premier de ce principe les vraies lois fondamentales de l'équilibre d'une masse fluide dont toutes les parties sont animées par de forces quelconques, et il a trouvé les équations aux différences partielles par lesquelles on peut exprimer ces lois ; découverte qui a changé la face de l'hydrostatique et en a fait comme une sciences nouvelle. […] Le principe de Clairaut n'est qu'une conséquence naturelle du principe de l'égalité de pression en tout sens […] (Lagrange 67-92, vol. 11, pp. 194-195).

Lalande mentionne C. 29 dans (Lalande 62a) (cf. 13 janvier 1759 (1)).

Lalande dans la première édition de son Astronomie :
Deux degrés de la Terre suffisent pour en déterminer toutes les dimensions, si l'on suppose que sa figure soit elliptique, comme elle devrait l'être en vertu de la pesanteur naturelle dans un fluide homogène (Newton, L[ivre] III, M. Clairaut, Figure de la Terre, M. d'Alembert, Recherches etc. [(Alembert 54-56)], part[ies] 2 et 3) (Lalande 64a, vol. 2, p. 1007).
Je ne parlerai point ici de la figure de la Terre déduite de l'attraction et des lois de l'hydrostatique ; on peut voir là-dessus le 3e Liv[re] de Newton, la Théorie de la figure de la Terre par M. Clairaut, les Recherches de M. d'Alembert sur divers points du système du monde [(Alembert 54-56)], le Traité des fluxions de MacLaurin [(MacLaurin 42)] etc. On y verra aussi des recherches sur la longueur du pendule simple en différents points de la Terre (Lalande 64a, vol. 2, p. 1018).
[…]
Ce rapport [de 13 à 14 entre le diamètre de Jupiter d'un pôle à l'autre] est conforme à la théorie (Voyez Newton, Princi[pes], p. 415, M. Clairaut, Figure de la Terre, p. 305) (Lalande 64a, vol. 2, p. 1254).
[…]
Trouver un arc par sa tangente […] Cette valeur de l'arc est employée dans la Figure de la Terre par M. Clairaut, p. 179 (Lalande 64a, vol. 2, p. 1300).
[…]
L'élévation des fluides dans les tubes capillaires est une suite nécessaire de l'attraction des corps terrestres ; M. Clairaut a fait voir 1° que l'attraction du tube capillaire qui a plus de densité que l'eau, en soulève les parties inférieures ; 2° que les parties supérieures de la colonne d'eau renfermée dans le tube font moins attirées en bas que si le tube n'y était point, parce que le tube occupe la place d'une certaine quantité d'eau qui attirerait cette colonne de haut en bas ; 3° que la même colonne est encore attirée vers le haut par un ménisque d'eau formé contre les parois du verre ; ainsi il y a trois causes évidentes de l'ascension des fluides dans les tubes capillaires. (Théorie de la figure de la Terre, pag[e] 105 etc.) ; et, quoi qu'en dise le P. Gerdil, ce phénomène est une preuve de l'attraction universelle (Lalande 64a, vol. 2, p. 1344).
Si la Terre était une masse fluide et homogène ; elle aurait la figure d'un ellipsoïde dont l'axe serait plus petit de 1/230 que le diamètre de l'équateur. Cette proportion que Newton ne démontra qu'imparfaitement, a été prouvée par M. MacLaurin et par M. Clairaut ; elle me donnera lieu d'expliquer les principes de l'hydrostatique et les attractions des sphéroïdes ; il en résultera une introduction aux ouvrages des géomètres qui ont approfondi cette matière, tels que M. Clairaut, M. d'Alembert, M. Simpson [(Simpson 43)], M. MacLaurin [(MacLaurin 41)], M. Bouguer, le P. Boscovich, etc. qui ont étendu leurs recherches plus loin que le cas du sphéroïde homogène et de la pesanteur ordinaire.
[…]
Pour démontrer que la figure de la Terre doit être elliptique en supposant une masse fluide qui tourne sur son axe, il faut connaître si les attractions qui ont lieu en divers points de la surface d'un sphéroïde elliptique, sont telles qu'elles soient dans tous les points en équilibre avec la force centrifuge qui a lieu dans le même sphéroïde elliptique ; car si cela est, on sera certain que la figure du sphéroïde tournant sur son axe ne cessera point d'être une ellipse ; telle est la méthode de M. Clairaut (Figure de la Terre [C. 29], p. 158 et suiv[antes].), que nous allons expliquer.
[…]
Les quantités P et E son calculées dans la Théorie de la Terre de M. Clairaut, sans supposer que le carré de [maths] soit une quantité négligeable, mais j'ai cru pouvoir omettre ici tout ce qui rendrait le calcul plus compliqué, sans donner dans le résultat un centième de différence (Lalande 64a, vol. 2, pp. 1435-1443).

Dans la dernière :
En partant de l'équateur pour aller vers les pôles, l'augmentation de pesanteur est comme le carré du sinus de la latitude (Newton, Tom[e] III, pag[e] 126). il en est de même de l'allongement du pendule, quoiqu'il dépende de deux causes, et cela est vrai même dans un sphéroïde, dont les couches augmentent de densité (Clairaut [C. 29], pag[e] 247). En partant du pôle, la diminution de pesanteur en un lieu donné est comme le carré du cosinus de la latitude ; c'est d'après cette règle que j'ai calculé la table suivante (Lalande 92, vol. 3, p. 45).
[…]
De là il suit que la section d'un sphéroïde elliptique est toujours semblable à l'ellipse du méridien, pourvu que le plan de cette section soit perpendiculaire au plan de l'équateur ou parallèle à l'axe ; car alors il sera toujours parallèle à quelqu'un des méridiens ; c'est ce que suppose Clairaut (Figure de la Terre [C. 29], pag[e] 181), et ce que je supposerai (Lalande 92, vol. 3, p. 365).
[…]
Cette valeur d'un arc de cercle est employée dans la Figure de la Terre de Clairaut (Lalande 92, vol. 3, p. 375).
[…]
Si la Terre était une masse fluide et homogène, elle aurait la figure d'un ellipsoïde, dont l'axe serait plus petit de que le diamètre de l'équateur. Cette proposition, que Newton supposa, a été prouvée par MacLaurin dans sa pièce sur le flux et le reflux [(MacLaurin 41)], et par Clairaut (Théorie de la figure de la Terre [C. 29]) : elle me donnera lieu d'expliquer les principes de l'hydrostatique et les attractions des sphéroïdes ; il en résultera une introduction aux ouvrages des géomètres qui ont approfondi cette matière, tels que d'Alembert (Recherches etc. [(Alembert 54-56)], partie II, Opuscules [Alembert 61-80)], M. Simpson (Mathématic[al] dissert[ations], 1743 [(Simpson 43)]), Bouguer, Boscowich [Boscovich], etc. qui ont étendu leurs recherches plus loin que le cas du sphéroïde homogène et de la pesanteur ordinaire(Lalande 92, vol. 3, pp. 508-509).
[…]
Pour démontrer que la figure elliptique convient à la Terre, en supposant une masse fluide qui tourne sur son axe, il faut connaître si les attractions qui ont lieu en divers points de la surface d'un sphéroïde elliptique, sont telles qu'elles soient dans tous les points en équilibre avec la force centrifuge qui a lieu dans le même sphéroïde elliptique ; car si cela est, on sera certain que la figure du sphéroïde tournant sur son axe ne cessera point d'être une ellipse. Telle est la méthode de Clairaut [C. 29] que nous allons employer (Lalande 92, vol. 3, p. 509).
[…]
Les quantités P et E son calculées dans le livre de Clairaut [C. 29], sans supposer que le carré de [maths] soit une quantité négligeable, mais j'ai cru pouvoir omettre ici tout ce qui rendrait le calcul plus compliqué, sans donner dans le résultat un centième de différence (Lalande 92, vol. 3, pp. 517).
[…]
Or Clairaut a fait voir, dans une théorie savante et curieuse, qu'en supposant la Terre composée d'une infinité de couches elliptiques, dont les densités et les ellipticités varient d'une manière quelconque, l'augmentation de la pesanteur doit différer de 1/230, autant que l'aplatissement, mais l'une en plus et l'autre en moins (Figure de la Terre [C. 29], pp. 243-249).
[…]
La première chose qui se présente à démontrer, c'est que l'attraction de la Lune, agissant sur un couche de fluide très mince, qui environne un globe, doit faire prendre à ces eaux une figure elliptique. MacLaurin le démontra d'une manière ingénieuse dans la pièce que j'ai citée ; Clairaut imita sa méthode dans sa Théorie de la figure de la Terre (Lalande 92, vol. 3, p. 521).

La lecture de C. 29 est conseillée par Lalande dans son Astronomie, dans l'article « Astronomie » du Supplément à l'Encyclopédie (cf. Lalande), et dans la Connoissance des temps (cf. 13 janvier 1759 (1)).

Lalande dans l'article « Rotation » du Supplément à l'Encyclopédie :
L'aplatissement de Jupiter est une des conséquences de son mouvement de rotation. Il fut observé par M. Cassini avant l'année 1666, comme on le voit dans un ouvrage latin sur les taches des planètes, dont il n'y a jamais eu que les premières feuilles d'imprimées. M. Maraldi m'a fait voir ce fragment, in-folio, relié avec plusieurs autres ouvrages de M. Cassini, faits avant son arrivée en France, et lorsqu'il habitait encore l'Italie. M. Picard observa aussi l'aplatissement de Jupiter; depuis ce temps-là M. Pound mesura les diamètres de Jupiter, et trouva l'aplatissement entre 1/10 et 1/14 ; des observations encore plus récentes et plus exactes, que M. Shore m'a communiquées, et qu'il a faites avec une héliomètre achromatique, donnent aussi le rapport de 13 à 14 entre le diamètre de Jupiter d'un pôle à l'autre, et le diamètre de son équateur ; ce rapport est conforme à la théorie (Voyez Newton Princip. pag. 415. tome III. pag. 91, édit. 1742 ; M. Clairaut, Figure de la Terre, pag. 195 et 305 [C. 29]) (Lalande 77d).

Jean III Bernoulli dans l'article « Tables relatives à la figure de la Terre, à la pesanteur, à la longueur du pendule à secondes, et aux mesures de différents pays » du Supplément à l'Encyclopédie :
M. Huygens publia en 1690 son Discours sur la pesanteur ; il y trouve en conséquence de la diminution de la pesanteur indiquée par l'expérience de M. Richer, l'applatissement = 1/578e, et une courbe du quatrième degré pour la figure génératrice du sphéroïde terrestre. On trouve dans la pièce de M. MacLaurin qui a partagé le prix de l'Académie des sciences en 1740, dans la Théorie de la figure de la Terre [C. 29] par M. Clairaut, et dans sa Dissertation qui a remporté le prix de l'académie de Toulouse [C. 45], dans les ouvrages de MM. MacLaurin, Clairaut et d'Alembert, cités dans le Dict[ionnaire] rais[onné] des sciences, etc. Tom. VI, p. 761 [Alembert 56b], plusieurs hypothèses relatives principalement aux profondes recherches de ces géomètres sur la densité des parties intérieures de la Terre (Bernoulli 77).

Lalande dans (Lalande 85) (cf. 1785 (2)).

Bailly utilise des résultats de C. 29 dans (Bailly 63c) (cf. 11 décembre 1762 (1)) et (Bailly 66a) et (Bailly 66b) (cf. 1766 (3)).

Bailly dans son Histoire de l'astronomie moderne :
Nous verrons bientôt que la théorie a conduit M. Clairaut à la même vérité [Terre non homogène], où M. Bouguer arrive ici par l'expérience. […] Newton, pour déterminer l'aplatissement de la Terre, avait commencé par la considérer comme un sphéroïde elliptique : elle ne pouvait avoir cette figure qu'en vertu de son aplatissement ; c'était supposer ce qui était en question. M. Stirling démontra le premier la légitimité de cette supposition, pourvu que la Terre soit homogène ; alors l'aplatissement est de 1/230 e, comme Newton l'a annoncé. M. Clairaut alla plus loin, il reconnut que la supposition atait encore légitime, en regardant la Terre comme composée d'une infinité de de couches concentriques, toutes de densité différentes ; il a traité la matière à fond dans son bel ouvrage de la figure de la Terre [C. 29]. Il se propose un problème plus général et plus difficile que celui de Newton, c'est de déterminer la figure du globe en établissant que toutes ses parties s'attirent mutuellement, et que toutes ses couches sont de densité différente, et même de figure différente, quoique toutes elliptiques. Les observations faites par M. Bouguer et par M. Maskelyne, ne permettent plus de croire que la Terre soit sensiblement homogène ; si son intérieur n'était pas beaucoup plus dense que sa superficie et ses inégalités extérieures, l'attraction des montagnes eût été beaucoup plus sensible. M. Clairaut, en supposant que les planètes ont été originairement fluides et non homogènes, trouve 1° que la pesanteur doit diminuer sur la surface depuis le pôle jusqu'à l'équateur, d'une quantité plus considérable que si elles étaient homogènes ; 2° que cette diminution sera toujours proportionnelle au carré du cosinus de la latitude [C. 29, p. 295 NDA] ; ces deux résultats sont conformes à l'expérience. Nous avons vu que M. Bouguer a observé que sous l'équateur la pesanteur était plus diminuée qu'elle ne devait l'être en raison de la force centrifuge [...]. Quand on compare ensemble les quantités dont il faut accourcir le pendule en différents lieux, à mesure qu'on approche de l'équateur, on trouve que ces quantités varient comme la théorie l'exige. M. Clairaut a vu encore par cette théorie, que la quantité dont la pesanteur au pôle doit surpasser la pesanteur à l'équateur, sera exprimée par le double de l'aplatissement qu'aurait la Terre si elle était homogène, moins l'aplatissement réel et donné par l'observation [C. 29, p. 296 NDA] ; il fait voir que cet excès ne peut jamais être moindre que 1/230 e, et l'aplatissement jamais plus grand que 1/230 e [C. 29, pp. 297-298 NDA]. C'est ici que les observations sont contraires et que la théorie semble en défaut. Quoique nous n'ayons pas déterminé la longueur du pendule, et par conséquent la force de la pesanteur sous le pôle même, nos académiciens, qui ont été jusqu'au cercle polaire, y ont trouvé le pendule plus long qu'à l'équateur de deux lignes six centièmes. On peut par conséquent en conclure qu'il serait plus long sous le pôle, au moins d'environ deux lignes quarante centièmes. C'est beaucoup plus que ce qui aurait lieu sur la Terre homogène ; suivant M. Bouguer, la diminution produite par la force centrifuge n'y ferait allonger le pendule que d'une ligne et demie [(Bouguer 49, p. 346) NDA]. […] La rotation a dû rendre circulaires les parallèles à l'équateur, et la force centrifuge semble avoir dû rendre les méridiens elliptiques ; M. Clairaut démontre que les suppositions les plus vraisemblables et les plus naturelles sur l'intérieur du globe, demandent cette figure (Bailly 85, pp. 43-49).

Bonne cite C. 29 en critiquant Rizza-Mannoni (cf. 16 avril 1761 (1)).

Scarella dans (Scarella 66) (cf. 7 janvier 1767 (1)).

Montucla résume C. 29 dans (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 181-187).

Bossut :
Clairaut, qui s'était déjà occupé de ce sujet, comme nous l'avons vu, et qui de plus venait de participer à la mesure du méridien terrestre en Laponie, avait acquis un droit bien légitime d'examiner tout de nouveau la question, par la théorie et les observations. Il remplit cet objet dans son livre intitulé Figure de la Terre, tirée des lois de l'hydrostatique, 1743 [C. 29].
Après avoir établi en général que l'équilibre d'une masse fluide dépend de celui d'un canal de figure quelconque qui la traverse, ou qui rentre en lui-même, il résout facilement les problèmes de Bouguer et Maupertuis, et à cette occasion il fait voir qu'il existe une infinité d'hypothèses de pesanteur, où le fluide ne demeurerait pas en équilibre, quand même les deux principes de Huygens et de Newton seraient observés à la fois. Il donne les caractères généraux pour reconnaître les hypothèses qui admettent l'équilibre, et pour déterminer la figure que le fluide doit prendre. Il applique sa théorie à divers phénomènes, et entre autres à celui des tuyaux capillaires. De là il vient au véritable objet de la question, c'est-à-dire la recherche de la figure de la Terre, en supposant que ses particules s'attirent en raison inverse des carrés des distances, et qu'elle tourne autour de son axe. Il commence par le cas de l'homogénéité de la masse fluide ; et sur ce point il abandonne sa propre méthode pour suivre celle de MacLaurin, à laquelle il donne la préférence avec une franchise noble et rare. Ensuite, sans plus rien emprunter de personne, il fait d'autres recherches très profondes. Il explique la manière de reconnaître les variations de la pesanteur depuis l'équateur jusqu'au pôle, dans un sphéroïde composé de couches dont les densités et les ellipticités suivent une loi donnée, du centre à la surface. Il détermine la figure que la Terre aurait, si, en la supposant d'ailleurs entièrement fluide, elle était un assemblage de couches de différentes densités. Il compare sa théorie avec les observations, et dans cette comparaison, il examine les erreurs qu'il faudrait attribuer aux observations, afin que les dimensions du sphéroïde terrestre fussent à peu près telles que la théorie le demande. Tant de vues utiles et nouvelles ont placé cet ouvrage de Clairaut au nombre des productions de génie qui honorent les sciences (Bossut 10, pp. 348-350).

Laplace dans son Traité de mécanique céleste :
Clairaut est le premier, et jusqu'à présent le seul, qui ait soumis à un calcul rigoureux les phénomènes des tubes capillaires, dans son traité de la figure de la Terre [C. 29]. Après avoir fait sentir, par des raisonnements qui s'appliquent également à tous les systèmes connus, le vague et l'insuffisance de celui de Jurin, il analyse avec exactitude toutes les forces qui peuvent concourir à élever l'eau dans un tube de verre. Mais sa théorie, exposée avec l'élégance qui caractérise son bel ouvrage, laisse à désirer l'explication de la loi de cette ascension, qui, d'après l'expérience, est en raison inverse du diamètre du tube. Ce grand géomètre se contente d'observer qu'il doit y avoir une infinité de lois d'attraction qui, substituées dans ses formules, donnent ce résultat. La connaissance de ces lois est cependant le point le plus délicat et le plus important de cette théorie ; elle est indispensable pour lier entre eux les divers phénomènes capillaires, et Clairaut en eût lui-même reconnu la nécessité s'il eût voulu, par exemple, passer des tubes aux espaces capillaires renfermées entre des plans parallèles, et déduire de l'analyse le rapport d'égalité que l'expérience indique entre l'ascension du fluide dans un tube cylindrique et son ascension dans un plan parallèle dont la distance mutuelle est égale au demi-diamètre du tube, ce que personne n'a encore tenté d'expliquer. […] Clairaut suppose que l'action d'un tube capillaire peut être sensible sur la colonne infiniment droite de fluide qui passe par l'axe du tube. Je m'écarte en cela de son opinion. […] Clairaut a fait cette singulière remarque, savoir que, si la loi d'attraction de la matière du tube sur le fluide ne diffère que par son intensité de la loi de l'attraction du fluide sur lui-même, le fluide s'élèvera au-dessus du niveau tant que l'intensité de la première de ces attractions surpassera la moité de l'intensité de la seconde. […] À cela Clairaut, dans son Traité de la figure de la Terre, objecte qu'on ne saurait employer le principe que les effets sont proportionnels aux causes que lorsqu'on remonte à une cause première, et non quand on examine un effet résultant de la combinaison de plusieurs causes particulières, que l'on n'évalue pas chacune séparément. […] Clairaut substitue donc à l'hypothèse de Jurin une analyse exacte de toutes les forces qui tiennent une colonne d'eau suspendu en équilibre dans un canal infiniment étroit passant par l'axe du tube. Mais ce grand géomètre n'a pas expliqué le principal phénomène capillaire, celui de l'ascension et des la dépression des liquides dans des tubes très étroits, en raison inverse du diamètre de ces tubes ; il se content d'observer, dans en donner la preuve, qu'une infinité de lois d'attraction peuvent produire ce phénomène. La supposition qu'il fait, de l'action du verre sensible jusque sur les molécules de l'eau située dans l'axe du tube, devait l'éloigner de la véritable explication du phénomène : mais il est remarquable que, s'il fût parti de l'hypothèse d'une attraction insensible à des distances sensibles, et s'il l'eût appliqué aux molécules situées dans la sphère d'activité des parois du tube l'analyse des forces dont il a fait usage pour les molécules de l'axe, il aurait été conduit, non seulement au résultat de Jurin, mais encore à ceux que nous avons obtenus par la seconde manière dont nous avons envisagé l'action capillaire (Laplace 78-12, vol. 4, pp. 350, 356, 497-498).
Clairaut publia en 1743 son ouvrage sur la théorie de la figure de la Terre [C. 29]. Il y donne les équations générales, jusqu'alors inconnues, del'équilibre des fluides, soit homogènes, soit hétérogènes, ou composés d'un nombre quelconque de fluides, quelles que soient les forces qui animent chacune de leurs molécules, et en supposant entre ces molécules une attraction mutuelle suivant une loi quelconque. Appliquant ensuite des équations à la Terre, en la supposant formée d'un ou de plusieurs et même d'une infinité de fluides, tous circulant autour d'une même axe, il prouve que la figure elliptique satisfait à l'équilibre des couches de niveau lorsque leur figure est peu différente de la forme sphérique, et il détermineles éllipticité de ces couches et la loi de la pesanteur à la surface de la couche extérieure. Il parvient aux expressions des mêmes quantités dans le cas général où la Terre serait formée d'un noyau elliptique recouvert d'un ou de plusieurs fluides, le noyau étant lui-même formé de couches elliptiques dont les figures et les densités varient du centre à la suface, et il est conduit à ce résultat remarquable, savoir [maths] L'importance de tous ces résultats et l'élégance avec laquelle ils sont présentés, placent cet ouvrage au rang des plus belles productions mathématiques.
Clairaut y expose une théorie de l'action capillaire ; mais cette théorie me paraît insignifiante. En concevant un tuyau cylindrique [...] Clairaut remarque ensuite, que parmi toutes les lois possibles d'attraction, il doit y en avoir une ou plusieurs qui donnent, conformément à l'expérience, l'élévation du fluide dans le tube, réciproque au diamètre intérieur du tube ; mais la difficulté du problème, consiste à déterminer ces lois. C'est ce que j'ai fait dans ma Théorie de l'action capillaire de laquelle il résulte que toutes les lois d'attraction, qui la rendent insensible à des distances sensibles, satisfont à l'expérience, et sont les seules qui puissent y satisfaire. Mais Clairaut était d'autant plus éloigné de ce résultat, qu'il supposait au contraire que l'attraction du tube sur le fluide est sensible sur les molécules fluides placées dans l'axe. Il a, cependant, été conduit par cette fausse supposition, à ce résultat dont j'ai fait voir l'exactitude, savoir, que le fluide sera toujours élevé dans le tube au-dessus du niveau, tant que le double de l'intensité de l'attraction des molécules du tube sur celle du fluide surpassera l'intensité de l'attraction des molécules fluides sur elles-mêmes. Ce n'est pas le seul exemple de suppositions fausses, ayant conduit à des vérités ; mais la découverte d'une vérité n'appartient qu'à celui qui le premier la démontre.
La méthode que Clairaut a suivie dans sa théorie de la figure de la Terre, quoique fort élégante, est limitée aux ellipsoïdes de révolution. […] On aura par le théorème de Clairaut dont j'ai parlé [...] (Laplace 78-12, vol. 5, pp. 11-13, 19).

Dans son Exposition du système du monde :
Chaque molécule intérieure d'une masse fluide éprouve une pression qui, dans l'atmosphère, est mesurée par la hauteur du baromètre, et qui peut l'être d'une manière semblable pour tout autre fluide. En considérant la molécule comme un prisme rectangle infiniment petit, la pression du fluide environnant sera perpendiculaire aux faces de ce prisme, qui tendra, par conséquent, à se mouvoir perpendiculairement à chaque face, en vertu de la différence des pressions que le fluide exerce sur les deux faces opposées. De ces différences de pressions résultent trois forces perpendiculaires entre elles, qu'il faut combiner avec les autres forces qui sollicitent la molécule. Il est facile d'en conclure que la différentielle de la pression est, dans l'état d'équilibre, égale à la densité de la molécule fluide, multipliée par la somme des produits de chaque force par l'élément de sa direction ; cette somme est donc une différence exacte, si le fluide est incompressible et homogène : résultat important auquel Clairaut est parvenu le premier, dans son bel ouvrage sur la Figure de la Terre (Laplace 78-12, vol. 6, pp. 182-183).
[…]
L'homogénéité de la Terre étant ainsi exclue par les observations, il faut pour déterminer sa figure considérer la mer comme recouvrant un noyau dont les couches diminuent de densité du centre à la surface. Clairaut a démontré dans son bel ouvrage sur la figure de la Terre que l'équilibre est encore possible, en supposant une figure elliptique à sa surface et aux couches du noyau intérieur (Laplace 78-12, vol. 6, p. 272).
[…]
Clairaut, qui a examiné cet objet dans sa Théorie de la figure de la Terre, substitue à l'hypothèse de Jurin une analyse exacte de toutes les forces qui tiennent une colonne d'eau suspendu en équilibre, dans un canal infiniment étroit passant par l'axe du tube. Mais il n'a pas expliqué le principal phénomène capillaire, celui de l'ascension et de la dépression des liquides en raison inverse du diamètre des tubes étroits ; il se content d'observer, dans en donner la preuve, qu'une infinité de lois d'attraction peuvent produire ce phénomène. La supposition qu'il fait, de l'action du verre sensible jusque sur les molécules de l'eau située dans l'axe du tube, devait l'éloigner de la véritable explication du phénomène : mais il est remarquable que, s'il fût parti de l'hypothèse d'une attraction insensible à des distances sensibles, et s'il l'eût appliqué aux molécules situées dans la sphère d'activité des parois du tube l'analyse des forces dont il a fait usage pour les molécules de l'axe, il aurait été conduit, non seulement au résultat de Jurin, mais encore à ceux que nous avons obtenus par la seconde manière dont nous avons envisagé l'action capillaire [passage semblable l'un de la Mécanique céleste !] (Laplace 78-12, vol. 6, pp. 385-356).

Dans les additions à ses Recherches sur le calcul intégral et sur le système du monde :
Pour qu'un sphéroïde homogène soit en équilibre, il suffit que la direction de la pesanteur soit perpendiculaire à sa surface ; cette proposition se trouve démontrée en plusieurs endroits (voir surtout l'excellent ouvrage de M. Clairaut sur la figure de la Terre) (Laplace 78-12, vol. 8, pp. 491).

Dans ses Recherches sur plusieurs points du système du monde et leur suite :
L'on trouvera, par les formules que M. Clairaut donne dans sa théorie de la figure de la Terre [maths] […] on tirera facilement l'équation suivante des formules que donne M. Clairaut donne dans sa Théorie de la figure de la Terre (voir l'article XXIX de la seconde partie de cet excellent ouvrage) (Laplace 78-12, vol. 9, pp. 154, 268-269).

Dans Sur quelques points du système du monde :
Je me propose ici d'étendre ce résultat [Figure en forme d'ellipsoïde] au cas où la Terre, ayant été primitivement fluide, serait formée de couches de densités variables. M. Clairaut a déjà fait voir que la figure elliptique remplit, dans ce cas, les conditions de l'équilibre ; mais il s'agit de prouver qu'elle est la seule qui satisfassent à ces conditions (Laplace 78-12, vol.11, pp. 516-517 ; Laplace 89).

Dans Sur la théorie des tubes capillaires :
Clairaut a soumis le premier, à une analyse exacte et rigoureuse, les phénomènes des tubes capillaires, dans son Traité sur la figure de la Terre. Mais sa théorie, exposée avec l'élégance qui caractérise ce bel et important ouvrage, laisse à désirer l'explication complète du principal de ces phénomènes, qui consiste en ce que l'élévation du fluide au-dessus de son niveau, dans les tubes de même matière, est en raison inverse de leurs diamètres. Ce grand géomètre se contente d'observer, sans le prouver, qu'il doit y avoir une infinité de lois d'attraction qui, substituées dans ses formules, donnent ce ce résultat. J'ai cherché, il y a longtemps, à suppléer ce qui manque à la théorie de Clairaut : de nouvelles recherches m'ont enfin conduit non seulement à reconnaître l'existence de semblables lois, mais encore à faire voir que toutes les lois dans lesquelles l'attraction cesse d'être sensible à une distance sensible, donnent l'élévation du fluide, en raison inverse du diamètre du tube ; et il en résulte une théorie complète de ce genre de phénomènes.
Clairaut suppose que l'action du tube capillaire est sensible sur la colonne infiniment étroite du fluide, qui passe par l'axe du tube. Je m'écarte en cela de son opinion […] Clairaut a fait cette singulière remarque, savoir que, si la loi d'attraction de la matière du tube sur le fluide ne diffère que par son intensité de la loi de l'attraction du fluide sur lui-même, le fluide s'élèvera au-dessus du niveau, tant que l'intensité de la première de ces attractions surpassera la moité de l'intensité de la seconde (Laplace 78-12, vol. 14, pp. 217-222).

Dans ses Considérations sur la théorie des phénomènes capillaires :
Clairaut est le premier qui ait entrepris d'appliquer l'analyse aux phénomènes capillaires, dans son bel ouvrage sur la figure de la Terre ; il suppose que les molécules du verre et de l'eau s'attirent réciproquement suivant une loi quelconque et, après avoir analysé toutes les forces qui en résultent pour soulever l'eau dans un tube de verre, capillaire et cylindrique, il se contente d'observer sans le prouver, qu'il y a une telle loi à donner à l'attraction, qu'il en résulte que l'élévation de l'eau sera en raison renversée du diamètre, ainsi que l'expérience le donne. Mais la difficulté du problème consiste à faire voir l'existence de cette loi, et à la déterminer. C'est l'objet que j'ai rempli dans ma théorie de l'action capillaire (Laplace 78-12, vol. 14, p. 260).

Laplace mentionne encore C. 29 dans la CDT (cf. 13 janvier 1759 (1)).

Lacroix :
Son traité de la figure de la Terre, le premier écrit de quelque étendue où un géomètre français ait ajouté aux découvertes de Newton, le premier aussi où l'on trouve l'expression analytique de l'équilibre des fluides, est regardé comme un des plus beaux ouvrages de mathématiques du siècle dernier (Lacroix 13).

Arago :
Clairaut fut le premier à essayer d'expliquer la dénivellation capillaire à l'aide des formules générale de l'équilibre (Arago 54-62, vol. 2, p. 633).
Pour appliquer l'analyse mathématique d'une manière utile à la détermination de la figure de la Terre, il fallait bannir toute hypothèse d'homogénéité, toute similitude obligée entre les formes des couches superposées et inégalement denses ; il fallait examiner aussi le cas d'un noyau central solide. Cette généralité décuplait les difficultés ; elles n'arrêtèrent pas cependant Clairaut et d'Alembert. Grâce aux efforts de ces deux puissants géomètres, grâce à quelques développements essentiels dus à leur successeurs immédiats, et particulièrement à l'illustre Legendre, la détermination de la figure de la Terre a acquis toute le perfection désirable (Arago 54-62, vol. 3, p. 468).

Joseph Bertrand :
C'est peut-être, de tous les écrits mathématiques composés depuis deux siècles, celui qui, par la forme sévère et la profondeur ingénieuse des démonstrations, pourrait être le mieux comparé, égalé même, au plus beaux chapitres du Livre des principes (Bertrand 69, p. 263).

C. 29 est étudié dans (Bikerman 78), (Passeron 94), (Greenberg 95, pp. 426-619)...
Abréviations
  • AAS : Archives de l'Académie des sciences, Paris.
  • BGE : Bibliothèque de Genève, Genève.
  • C. 18 : Clairaut (Alexis-Claude), « An inquiry concerning the Figure of such Planets as resolve about an axis, supposing the density continually to vary, from the Centre towards the Surface », Philosophical Transactions, Vol. XL (1737-1738), Londres, 1741, n° 449 (Aug.-Sept. 1738), pp. 277-306 [Télécharger] [2 octobre 1738 (1)] [(3 mars 1737) 20 février 1736] [15 septembre 1737 (1)] [Plus].
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  • CDT : Connoissance des temps pour l'année... puis Connoissance des mouvemens célestes pour l'année...
  • CP : Communication personnelle.
  • HARS 17.. : Histoire de l'Académie royale des sciences [de Paris] pour l'année 17.., avec les mémoires...
  • Hist. : Partie Histoire de HARS 17..
  • Mém. : Partie Mémoires de HARS 17..
  • NDA : Note de l'auteur.
  • PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
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