M[onsieu]r Clairaut commence la lecture d'un memoire sur le calcul integral ./. Destiné à l'année 1740 (PV 1741, p. 157).
Il s'agit de « Sur l'intégration ou la construction des équations différentielles du premier ordre », HARS 1740 (1742), Mém., pp. 293-323, alias C. 28, dont un manuscrit (de la seconde partie), celui envoyé à Euler le 11 octobre (cf. 11 octobre 1741 (1)), est conservé aux archives de l'Académie des sciences à Saint-Pétersbourg (Taton 76). Clairaut avait pris date pour la lecture de ce mémoire le 23 décembre 1740 (cf. 23 décembre 1740 (1)), ce qui explique sa parution dans le volume de 1740. La lecture de C. 28 se poursuit le 7 juin (cf. 7 juin 1741 (2)). Une note de Clairaut indique que : Quoique la première partie de ce mémoire soit presque contenue dans celui que je donnai l'année passée sur la même matière [C. 25, cf. 4 mars 1739 (1)], j'ai jugé à propos de la mettre ici sous une nouvelle forme, qui la rend plus claire et plus propre à faciliter l'intelligence de la seconde partie, et j'ai cru qu'il serait utile aux lecteurs de voir cette théorie complète, rassemblée dans un seul corps (C. 28). La lettre à Euler du 11 octobre 1741 laisse entendre que Clairaut envisageait de publier C. 28 à la place de C. 25 (cf. 11 octobre 1741 (1)), ce qui expliquerait la duplication de C. 25 dans C. 28. L'Académie en aura décidé autrement (cf. 22 juin 1741 (1)). En énonçant la condition dA/dy=dB/dx, conformément à ce qu'il a indiqué à Euler le 26 décembre 1740 (cf. 26 décembre 1740 (1)), Clairaut ajoute en note : Je ne suis pas le seul qui aie trouvé ce théorème, M. Fontaine l'avait trouvé aussi de son côté, comme il l'a fait voir par un écrit qu'il a montré à l'Académie le jour même que je lus ce mémoire ; et M. Euler, célèbre mathématicien, a donné à l'Académie de Pétersbourg, dans le volume qui est actuellement sous presse, un morceau rempli de belles recherches sur le calcul intégral, où il emploie cette même découverte [(Euler 34a), (Euler 34b)]. Comme je n'étais point en commerce avec M. Euler, lorsque j'ai donné ce théorème, je n'ai su que longtemps après que je m'étais rencontré avec ce savant géomètre (C. 28). Après un autre résultat, il indique : M. Fontaine avait déjà donné cette équation, mais le chemin par lequel j'y arrive, et l'usage que j'en fais, sont particuliers à mon mémoire, car M. Fontaine n'avais cherché et employé ce théorème que pour l'intégration des équations à trois variables qui n'ont point de constantes (C. 28). Enfin, en précisant que sa méthode permet de démontrer « facilement le théorème de M. Fontaine », il note : On doit à M. Euler la justice de dire qu'il avait donné au public en 1736, dans sa mécanique, tome 2, proposit. XIV, une équation qui fait voir suffisamment le théorème dont je viens de parler, pour toutes les équations qui ne renferment que deux variables. Dans le volume de Pétersbourg qui va paraître, M. Euler a donné le même théorème pour tant de variables qu'on voudra ; mais M. Fontaine ne pouvait pas en avoir aucune connaissance lorsqu'il donna son mémoire à l'Académie (C. 28). Clairaut avait proposé à Euler de lui envoyer la seconde partie de C. 28 (cf. 26 décembre 1740 (1)), ce que ce dernier accepta le (cf. (6 mars) 24 février 1741 (1)). Ne pouvant pas disposer rapidement de version imprimée (cf. 12 avril 1741 (2)), Clairaut lui envoie finalement une copie manuscrite le 11 octobre 1741 (cf. 11 octobre 1741 (1)), sur laquelle il inscrit : Vous voyez que j'appelle encore ce théorème le théorème de M. Fontaine, mais cet écrit était composé, ainsi que je vous l'ai dit, avant que j'eus reçu votre p[remiè]re lettre [cf. [c.] (28) 17 octobre 1740]. Je n'ai pu trouver dans les Actes de Leipzig que la méthode que j'attribuais à M. Bouguer pour différentier [maths]. Quant au théorème de M. Fontaine, j'ai vu dans votre Mécanique [(Euler 36a)] un endroit qui le suppose pour deux variables, ainsi il est bien à vous. Mais s'il était cependant dans les Actes de Leipzig, vous me feriez un sensible plaisir de me marquer positivement l'endroit pour le citer (O IVA, 5, p. 93). Fontaine demandera une copie du mémoire le 22 juin (cf. 22 juin 1741 (1)). Clairaut reviendra sur des questions liées à C. 25 et C. 28 dans sa lettre à Euler du 20 mars 1745 (cf. 20 mars 1745 (1)). D'Alembert utilisera le critère présenté dans C. 25 et C. 28 (cf. 4 mars 1739 (1)). La condition d'intégrabilité de l'expression à trois variable Mdx+Ndy+Pdz est énoncée [dans C. 28]. Euler utilise la condition d'intégrabilité pour ce cas dans [(Euler 48c)] en l'attribuant à Clairaut et d'Alembert. Dans [(Alembert 49a)], d'Alembert a formellement déclaré que ce théorème n'appartient pas à lui, mais à Fontaine (et il ne mentionne même pas le nom de Clairaut). […] Le fait que la condition nécessaire est aussi suffisante n'a pu être démontré rigoureusement ni pas Clairaut, ni par Euler. Tous deux pensèrent alors que les équations différentielles à trois variables ne satisfaisant pas à la condition d'intégrabilité n'ont pas de signification réelle, et qu'on ne peut construire en aucune manière leurs solutions. L'interprétation géométrique de ce dernier cas a été donnée par Monge [dans (Monge 84)] (O IVA, 5, pp. 87-88). Laplace évoquera C. 28 dans une lettre à Lagrange du 3 février 1778 (cf. 3 février 1778 (1)). C. 28 est mentionné dans le Journal des sçavans, janvier 1745, p. 22-26. C. 28 sera invoqué dans la polémique Savérien (cf. [c. juin] 1766 (1), [c. août] 1766). C. 28 est étudié par John Greenberg dans (Greenberg 95, pp. 367-393). Euler : On a même déjà découvert les conditions sous lesquelles une telle équation devient possible ou impossible ; et MM. Clairaut et d'Alembert ont démontré qu'une équation de cette forme Qdx+Rdy+Sdz=0 n'est possible, que dans les cas où il y aura : Q(dR/dz-dS/dy)+R(dS/dx-dQ/dz)+S(dQ/dy-dR/dx)=0. […] Donc toutes les fois que la propriété contenue dans cette équation n'aura pas lieu entre les fonctions Q, R, S, l'équation Qdx+Rdy+Sdz =0 sera impossible, et dans ces cas la masse fluide ne saurait jamais parvenir à l'équilibre, comme l'a si bien fait remarqué M. Clairaut dans son traité sur la figure de la Terre [C. 29] (Euler 48c).
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Références
Alembert (Jean Le Rond, dit d'), « Extrait d'une lettre de M. D'Alembert à M. Maupertuis du 16 nov. 1750 », Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, 5 (1749) 372 [Télécharger].
Euler (Leonhard), « De infinitis curvis eiusdem generis seu methodus inveniendi aequationes pro infinitis curvis eiusdem generis », Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 7 (1734-1735) 174-189 [4 mars 1739 (1)] [17 septembre 1740 (1)] [Plus].
Euler (Leonhard), « Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis eiusdem generis », Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 7 (1734-1735) 184-200 [4 mars 1739 (1)] [17 septembre 1740 (1)] [Plus].
Euler (Leonhard), « Réflexions sur quelques loix générales de la nature qui s'observent dans les effets des forces quelconques », Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, 4 (1748) 189-218 [Télécharger] [13 décembre 1741 (1)].
Euler (Leonhard), « Correspondance de Leonhard Euler avec A. C. Clairaut, J. d'Alembert et J. L. Lagrange », Leonhardi Euleri Opera Omnia, IV A, vol. 5, Ed. Juskevic A. P. et Taton R., Birkäuser, Basel, 1980 [4 mars 1739 (1)] [16 mai 1739 (1)] [Plus].
Monge (Gaspard), « Supplément où l'on fait voir que les équations aux différences ordinaires, pour lesquelles les conditions d'intégrabilité ne sont pas satisfaites, sont susceptibles d'une véritable intégration », HARS 1784, Mém., pp. 502-576 [Télécharger].
Taton (René), « Inventaire chronologique de l'œuvre d'Alexis-Claude Clairaut (1713- 1765) », Revue d'histoire des sciences, 29 (1976) 97-122 [Télécharger] [13 avril 1726 (1)] [16 juillet 1729 (1)] [Plus].
Courcelle (Olivier), « 31 mai 1741 (1) », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n31mai1741po1pf.html [Notice publiée le 26 octobre 2009].
Quoique la première partie de ce mémoire soit presque contenue dans celui que je donnai l'année passée sur la même matière [C. 25, cf. 4 mars 1739 (1)], j'ai jugé à propos de la mettre ici sous une nouvelle forme, qui la rend plus claire et plus propre à faciliter l'intelligence de la seconde partie, et j'ai cru qu'il serait utile aux lecteurs de voir cette théorie complète, rassemblée dans un seul corps (C. 28). La lettre à Euler du 11 octobre 1741 laisse entendre que Clairaut envisageait de publier C. 28 à la place de C. 25 (cf. 11 octobre 1741 (1)), ce qui expliquerait la duplication de C. 25 dans C. 28. L'Académie en aura décidé autrement (cf. 22 juin 1741 (1)). En énonçant la condition dA/dy=dB/dx, conformément à ce qu'il a indiqué à Euler le 26 décembre 1740 (cf. 26 décembre 1740 (1)), Clairaut ajoute en note :
Je ne suis pas le seul qui aie trouvé ce théorème, M. Fontaine l'avait trouvé aussi de son côté, comme il l'a fait voir par un écrit qu'il a montré à l'Académie le jour même que je lus ce mémoire ; et M. Euler, célèbre mathématicien, a donné à l'Académie de Pétersbourg, dans le volume qui est actuellement sous presse, un morceau rempli de belles recherches sur le calcul intégral, où il emploie cette même découverte [(Euler 34a), (Euler 34b)]. Comme je n'étais point en commerce avec M. Euler, lorsque j'ai donné ce théorème, je n'ai su que longtemps après que je m'étais rencontré avec ce savant géomètre (C. 28). Après un autre résultat, il indique :
M. Fontaine avait déjà donné cette équation, mais le chemin par lequel j'y arrive, et l'usage que j'en fais, sont particuliers à mon mémoire, car M. Fontaine n'avais cherché et employé ce théorème que pour l'intégration des équations à trois variables qui n'ont point de constantes (C. 28). Enfin, en précisant que sa méthode permet de démontrer « facilement le théorème de M. Fontaine », il note :
On doit à M. Euler la justice de dire qu'il avait donné au public en 1736, dans sa mécanique, tome 2, proposit. XIV, une équation qui fait voir suffisamment le théorème dont je viens de parler, pour toutes les équations qui ne renferment que deux variables. Dans le volume de Pétersbourg qui va paraître, M. Euler a donné le même théorème pour tant de variables qu'on voudra ; mais M. Fontaine ne pouvait pas en avoir aucune connaissance lorsqu'il donna son mémoire à l'Académie (C. 28). Clairaut avait proposé à Euler de lui envoyer la seconde partie de C. 28 (cf. 26 décembre 1740 (1)), ce que ce dernier accepta le (cf. (6 mars) 24 février 1741 (1)). Ne pouvant pas disposer rapidement de version imprimée (cf. 12 avril 1741 (2)), Clairaut lui envoie finalement une copie manuscrite le 11 octobre 1741 (cf. 11 octobre 1741 (1)), sur laquelle il inscrit :
Vous voyez que j'appelle encore ce théorème le théorème de M. Fontaine, mais cet écrit était composé, ainsi que je vous l'ai dit, avant que j'eus reçu votre p[remiè]re lettre [cf. [c.] (28) 17 octobre 1740]. Je n'ai pu trouver dans les Actes de Leipzig que la méthode que j'attribuais à M. Bouguer pour différentier [maths]. Quant au théorème de M. Fontaine, j'ai vu dans votre Mécanique [(Euler 36a)] un endroit qui le suppose pour deux variables, ainsi il est bien à vous. Mais s'il était cependant dans les Actes de Leipzig, vous me feriez un sensible plaisir de me marquer positivement l'endroit pour le citer (O IVA, 5, p. 93). Fontaine demandera une copie du mémoire le 22 juin (cf. 22 juin 1741 (1)). Clairaut reviendra sur des questions liées à C. 25 et C. 28 dans sa lettre à Euler du 20 mars 1745 (cf. 20 mars 1745 (1)). D'Alembert utilisera le critère présenté dans C. 25 et C. 28 (cf. 4 mars 1739 (1)). La condition d'intégrabilité de l'expression à trois variable Mdx+Ndy+Pdz est énoncée [dans C. 28]. Euler utilise la condition d'intégrabilité pour ce cas dans [(Euler 48c)] en l'attribuant à Clairaut et d'Alembert. Dans [(Alembert 49a)], d'Alembert a formellement déclaré que ce théorème n'appartient pas à lui, mais à Fontaine (et il ne mentionne même pas le nom de Clairaut). […] Le fait que la condition nécessaire est aussi suffisante n'a pu être démontré rigoureusement ni pas Clairaut, ni par Euler. Tous deux pensèrent alors que les équations différentielles à trois variables ne satisfaisant pas à la condition d'intégrabilité n'ont pas de signification réelle, et qu'on ne peut construire en aucune manière leurs solutions. L'interprétation géométrique de ce dernier cas a été donnée par Monge [dans (Monge 84)] (O IVA, 5, pp. 87-88). Laplace évoquera C. 28 dans une lettre à Lagrange du 3 février 1778 (cf. 3 février 1778 (1)). C. 28 est mentionné dans le Journal des sçavans, janvier 1745, p. 22-26. C. 28 sera invoqué dans la polémique Savérien (cf. [c. juin] 1766 (1), [c. août] 1766). C. 28 est étudié par John Greenberg dans (Greenberg 95, pp. 367-393). Euler :
On a même déjà découvert les conditions sous lesquelles une telle équation devient possible ou impossible ; et MM. Clairaut et d'Alembert ont démontré qu'une équation de cette forme Qdx+Rdy+Sdz=0 n'est possible, que dans les cas où il y aura : Q(dR/dz-dS/dy)+R(dS/dx-dQ/dz)+S(dQ/dy-dR/dx)=0. […] Donc toutes les fois que la propriété contenue dans cette équation n'aura pas lieu entre les fonctions Q, R, S, l'équation Qdx+Rdy+Sdz =0 sera impossible, et dans ces cas la masse fluide ne saurait jamais parvenir à l'équilibre, comme l'a si bien fait remarqué M. Clairaut dans son traité sur la figure de la Terre [C. 29] (Euler 48c).