Il s'agit de Recherches sur les courbes à double courbure, Paris, 1731, alias C. 1 (Taton 76).

Clairaut avait jeté les premiers fondements de C. 1 en 1726 (Sans date (18)), et sa rédaction l'a rendu malade (cf. Sans date (19)).

Clairaut en avait déjà entretenu l'Académie (cf. 17 avril 1728 (1) et 24 avril 1728 (1)).

Dortous de Mairan et Nicole remettent leur rapport le 20 août (cf. 20 août 1729 (1)), rapport certifié par Fontenelle le 23 (cf. 23 août 1729 (1)).

Réaumur évoquera cet examen le 28 août (cf. 28 août 1729 (2)).

Clairaut rapidement proposé comme membre de l'Académie (cf. 7 septembre 1729 (1)), ainsi que cela avait été tacitement convenu avec Maurepas (cf. 22 décembre 1728 (1)).

Début janvier, Clairaut pense bientôt lancer l'impression de l'ouvrage (cf. 8 janvier 1730 (1)), mais elle n'est pas commencée à la fin mars (cf. 28 mars 1730 (1)).

L'approbation est signée le 3 juin 1730 (cf. 3 juin 1730 (1)), et l'ouvrage paraît en janvier 1731 (cf. [Janvier] 1731 (2)).

Clairaut en adresse deux exemplaires à Cramer (cf. 28 janvier 1731 (1)), dont un pour Jean I Bernoulli (cf. Jean I Bernoulli).

Jean I Bernoulli n'a pas reçu son exemplaire au 1 avril 1731 (cf. 1 avril 1731 (1)). Cramer lui transmet le 1 mai (cf. 1 mai 1731 (1)).

Maupertuis ne l'a pas encore lu sérieusement au 23 avril 1731 (cf. 23 avril 1731 (1)).

Trois exemplaires à destination de la Bibliothèque du Roi seront retirés de la chambre syndicale des libraires le 22 mai (cf. 22 mai 1731 (1)).

C. 1 est remarqué par Le livre est remarqué par Voltaire (cf. (1 juillet) 20 juin [1731]) qui le cite dans le premier appendice de la dix-septième des Lettres anglaises :
On cherchait une méthode générale d'assujettir l'infini à l'algèbre, comme Descartes y avait assujetti le fini : c'est cette méthode que trouva Newton à l'âge de vingt-trois ans ; aussi admirable en cela que notre jeune M. Cléraut, qui, à l'âge de treize ans, vient de faire imprimer un Traité de la mesure des courbes à double courbure (Voltaire 09, vol. 2, p. 70).

Cramer en dit du bien (cf. 28 juillet 1731 (1)), mais Jean I Bernoulli n'est pas plus épaté que ça (cf. 1 septembre 1731 (1)), mais en parle à Bourguet (cf. 14 juillet 1731 (2)) et au marquis de Poleni (cf. 1 avril 1732 (1)).

Clairaut entre en contact direct avec Jean I Bernoulli et mentionne C. 1 dans sa correspondance avec lui (cf. 1 octobre 1732 (1)).

C. 1 se trouvait en nombre à la Canebière (Mossy 54).

Un exemplaire de C. 1 se trouvait à l'Académie des sciences (AAS, DG 38¹, Catalogue des livres de l'Académie, p. 29), un autre dans la bibliothèque du duc de Chaulnes (Chaulnes 70a, p. 79), un autre dans celle de Dortous de Mairan (Mairan 71, p. 99), un autre dans celle de de Tournière (Tournière 72, p. 56), un autre dans celle de Lebey continuée par Saint-Vandrille (Labey 39, p. 52), un autre dans celle de Barrois l'aîné (Barrois 38, p. 98).

Annonce de C. 1 dans le Journal des sçavans :
Il paraît chez [Quillaut, Didot et Nyon] un traité de M. Clairaut le fils intitulé : Recherche sur les courbes à double courbure, 1731, in-4°. Ce jeune géomètre n'avait que seize ans, lorsqu'il a présenté en 1729 cet ouvrage à l'Académie royale des sciences laquelle l'a approuvé avec beaucoup d'éloges (Journal des sçavans, juin 1731, p. 378).

Dans le Journal de Trévoux :
Recherches sur les courbes à doubles courbures, in-4°, 1731, chez Didot, quay des Augustins. L'Académie royale des sciences a approuvé cet ouvrage, que l'auteur M. Clairaut fils, lui présenta en 1729, âgé de seize ans (Journal de Trévoux, juillet 1731, pp. 1287-1288).

Tardivement dans le Journal de Verdun :
Recherches sur les courbes à doubles courbures, par M. Clairaut, volume in-4°, aussi chez Quillau (Suite de la clef, janvier 1739, p. 35).

Extrait dans le Journal littéraire :
Recherches sur les courbes à double courbure. À Paris, chez Nyon, Didot, Quillot, 1731, in 4, avec figures, 119 pag[e]s sans la préface.
Cet ouvrage est considérable, non seulement par la jeunesse de son auteur qui l'a composé à l'âge de 16 ans, mais encore par le sujet qui y est traité. On a regardé comme une merveille qui parut incroyable à Descartes [voyez Bayle, Diction. Art. Pascal, Remarque D Cartesi Epistolae, p. 11 Epist. 38 NDA], que M. Pascal ait fait un petit traité sur les sections coniques : et voici M. Clairaut, qui, au même âge, donne au public un livre sur une matière incomparablement plus difficile et plus neuve […] (Journal littéraire, vol. 18 (1731), pp. 24-35).

L'auteur note ensuite que, contrairement à ce que dit Clairaut, Descartes n'est pas le premier à avoir traité les courbes à double courbure et en fait l'histoire depuis l'antiquité jusqu'à Clairaut.

Extrait dans le Journal des sçavans :
[...] Quel progrès ne doit-on pas attendre d'un auteur qui a fait de pareilles recherches dans un âge où les mathématiciens les plus habiles n'ont ordinairement qu'une idée générale des principes de la géométrie ? (Journal des sçavans, octobre 1731, pp. 613-614).

La Condamine utilise des méthodes développées par Clairaut dans C. 1 pour ses recherches sur le tour (La Condamine 34).

Stone, traduit par Rondet :
La méthode même qui y règne [dans le livre De ductu plani in planum de l'Opus geometricum de Grégoire de Saint-Vincent], de former des corps, même les plus bizarres, par une multiplication locale de lignes diversement posées, n'a été développée qu'à demi par le calcul intégral, et la partie du génie qui consiste dans cette position, et dans cette multiplication locale a été longtemps rebelle à toutes fortes de calculs, et n'y a été assujettie que depuis deux ou trois années dans le livre qui traite des courbes à double courbure, et qui n'en est que plus estimable, pour être l'ouvrage d'un jeune géomètre [M. Clairaut NDA], à qui on est bien aise de rendre justice. Car l'histoire de la géométrie doit être vraie par deux endroits, et parce qu'elle est histoire, et parce qu'elle est l'histoire de la géométrie.
Oui, le livre de De ductu plani in planum est proprement un traité de courbes à double courbure (Stone 35, pp. xxxviii-xxxix) (Douglas Rogers, CP, 13 avril 2009).

Frézier :
M. Clairaut le fils, de l'Académie des sciences, nous a donné un excellent traité des courbes à double courbure en général, qui comprend celles dont il est ici question, parmi plusieurs autres de différentes espèces, dont il découvre les propriétés par l'analyse avec beaucoup d'art et de netteté ; cet ouvrage est d'autant plus digne d'admiration, qu'il a été la production d'un jeune homme de seize ans. Mais comme notre stéréotomie n'est qu'un traité de géométrie linéaire, j'ai cru que je devais donner une théorie de même nature que les problèmes de pratique, auxquels elle doit servir d'introduction ; c'est pourquoi j'ai suivi une méthode tout à fait différente, croyant qu'elle deviendra plus utile aux gens qui se mêlent d'architecture ; c'est ce que je vais expliquer (Frézier 37-39, vol. 1, p. 42 ; Frézier 54-69, vol. 1, p. 58).

Cramer :
Les lignes se divisent encore en celles qui peuvent être tracées fur une surface plane, et celles qu'on ne peut décrire que sur une surface courbe. Un grand géomètre moderne [M. Clairaut, Recherche sur les courbes à double courbure, 4°, Paris, 1731 NDA], qui a considéré ces dernières, les appelle Courbes à double courbure. On conçoit qu'en général elles sont plus compliquées que les Courbes à simple courbure, qui peuvent être décrites sur un plan. Dans cette Introduction nous nous bornerons à celles-ci, dont les propriétés servent de fondement aux recherches qu'on peut faire sur les autres (Cramer 50, p. 3).

Savérien :
Courbe à double courbure. […] D'après Descartes, M. Clairaut a considéré les courbes à double courbure, mais (on doit le dire, et M. Descartes en conviendrait aujourd'hui s'il vivait encore) d'une façon bien supérieure à celle de ce grand homme. […] Une courbe qui passera par ces points sera, selon M. Clairaut, une courbe à double courbure. On n'a rien de particulier sur ces courbes, que le traité de M. Clairaut, dont le titre est Recherches sur les courbes à double courbure (Savérien 53, vol. 1, pp. 241-242).

D'Alembert dans l'article « Courbe » de l'Encyclopédie :
Courbe à double courbure. On appelle ainsi une courbe dont tous les points ne sauraient être supposés dans un même plan, et qui par conséquent est doublement courbe, et par elle-même, et par la surface sur laquelle on peut la supposer appliquée. On distingue par cette dénomination les courbes dont il s'agit, d'avec les courbes à simple courbure ou courbes ordinaires. M. Clairaut a donné un traité de ces courbes à double courbure ; c'est le premier ouvrage qu'il ait publié (Alembert 54a).

Bossut mentionne C. 1 dans (Bossut 10) (cf. 25 février 1733 (1), 1810 (1)).

C. 1 est notamment étudié dans (Le Goff 93a) et (Delcourt 07).