Il s'agit de « Avertissement de M. Clairaut au sujet des mémoires qu'il a donnez en 1747 et 1748, sur le système du Monde dans les principes de l'attraction », HARS 1745 (1749), Mém., pp. 577-578, alias C. 35 (Taton 76).

C'est la rétractation publique de Clairaut, tirée de C. 40, sa rétractation paraphée le 20 décembre 1748 (cf. 20 décembre 1748 (1)).

Le mémoire est précédé de la précision suivante :
M. Clairaut ayant lu le 15 novembre 1747 (cf. 15 novembre 1747 (1)) un mémoire sur le système du monde dans les principes de la gravitation universelle [C. 33], l'Académie jugea à propos de faire imprimer ce mémoire dans ce volume, avec celui de M. de Buffon [(Buffon 45a)], lu le 20 janvier 1748 [cf. 20 janvier 1748 (2)]. M. Clairaut a depuis trouvé par d'autres méthodes quelques résultats différents [C. 40], et il a lu le 17 mai 1749 l'avertissement suivant, que l'Académie a cru devoir publier (HARS 1745 (1749), Mém., p. 577).

Clairaut annonce qu'il a enfin mis mis ses calculs en accord avec le mouvement observé de l'apogée de la Lune :
Le problème des trois corps, dont personne n'avait donné de solution avant moi, a été traité assez longtemps dans les assemblées de l'Académie pour que l'on se rappelle facilement la remarque singulière sur l'apogée de la Lune, à laquelle conduit ma solution.
[…]
Mon but actuel est uniquement d'avertir les géomètres qui s'intéressent à cette question, qu'après l'avoir considérée de nouveau sous un point de vue qui n'avait été envisagé de personne, je suis parvenu à concilier assez exactement les observations faites sur le mouvement de l'apogée de la Lune, avec la théorie de l'attraction, sans supposer d'autres forces attractives que celle qui suit la proportion inverse du carré des distances : du moins les différences que j'ai trouvées entre mes résultats et les observations sont-elles assez légères pour pouvoir être attribuées à l'omission de quelques éléments que la théorie ne peut employer que très difficilement, et qui sont heureusement de peu d'importance.
[…]
On verra lorsque je les donnerai au public, que tout ce qui a été dit sur cette matière, ne m'a pu être d'aucun secours pour le résultat que j'annonce, et qu'il n'y sera pas question de raisons vagues, mais de principes sûrs et appliqués suivant les règles que prescrit la géométrie (C. 35, pp. 577-578).

Clairaut évoque sa rétractation dans une lettre à Euler (cf. 3 juin 1749 (1)), lui-même parallèlement informé par le biais d'une étrange lettre de Grischow à Kies (cf. 7 juin 1749 (1)).

Clairaut mentionne C. 35 dans le cadre de sa polémique avec Buffon (cf. 11 juin 1749 (1)), lit à l'Académie une lettre d'Euler prouvant qu'il ne lui doit rien (cf. 18 juin 1749 (1)), ainsi qu'il le lui annonce le lendemain (cf. 19 juin 1749 (1)).

Euler a bien du mal à retrouver les résultats de Clairaut (cf. 21 juin 1749 (2)), et suggère parmi d'autres sujets la théorie de la Lune pour le prix de Saint-Pétersbourg de 1750 (cf. 15 juillet 1749 (1)).

Maupertuis ironise (cf. [c. juin 1749]).

Clairaut évoque encore sa rétractation à Cramer (cf. 26 juillet 1749 (1)).

Daniel Bernoulli est aussi informé (cf. 16 août 1749 (1)).

Clément l'annonce à ses lecteurs (cf. 10 mars 1750 (1)).

Euler a toujours du bien mal à retrouver les résultats de Clairaut (cf. 6 septembre 1749 (1), 3 janvier 1750 (1)). Il ne parviendra à concilier théorie et observations qu'à la mi-mars 1751, à la suite de la lecture de la participation de Clairaut au prix de Saint-Pétersbourg (cf. 20 mars 1751 (1)), ainsi qu'il le lui écrira dans une lettre enthousiaste (cf. 10 avril 1751 (1)) et qu'il en fera part à Wettstein (cf. 27 avril 1751 (1)).

Maupertuis ironise (cf. 6 mai 1751 (2)).

Wettstein rapporte la nouvelle d'Euler à la Royal Society (cf. (4 novembre) 24 octobre 1751).

La contribution de d'Alembert mentionnée par le secrétaire sur les procès-verbaux à la suite de celle de Clairaut ne se trouve pas dans le volume de 1745.

Selon Clairaut, il s'agit d'une rétractation de d'Alembert, dans laquelle ce dernier adopte le point de vue de Clairaut, rétractation qu'il supprime quelques jours plus tard (cf. 31 décembre 1750 (1), 19 mars 1750 (1)).

De fait, d'Alembert abandonne définitivement l'ouvrage qu'il préparait sur la théorie de la Lune (cf. 28 février 1748 (2)) entre les mains de Grandjean de Fouchy le lendemain (cf. 18 mai 1749 (1)).

Le texte de la « rétractation » de d'Alembert est aujourd'hui perdu et son auteur semble n'y avoir jamais fait allusion, sauf dans la phrase de la lettre à Grandjean de Fouchy [du 18 mai 1749] (AI/3, p. xxvii).

Le 17 mai 1749, [d'Alembert] approuve le changement de position annoncé par Clairaut, mais, dès le lendemain, il se ravisa et fit parapher par de Fouchy l'ensemble de ses recherches sur la Lune. Enfin, quelques jours après, il retira son approbation. […] En fait, faute d'argument décisif concernant le mouvement de l'apogée de la Lune, sa position demeure alors incertaine et ambiguë (O IVA, 5, p. 303).

D'Alembert reste un moment à l'écart à de la Lune (cf. 21 septembre 1749 (1)), s'y remet en décembre 1749 (cf. 22 février 1750 (1)), trouve une méthode qui lui semble meilleure que toutes les autres (cf. 12 février 1750 (1)), et qui met en accord théorie et observations (cf. 30 mars 1750 (1)).

Il n'a pas l'air très content de Clairaut (cf. 23 mai 1750 (1)).

Il finit l'essentiel de ses travaux en octobre et souhaite les publier avant la pièce qui remportera le prix de Saint-Pétersbourg (cf. 18 octobre [1750], 10 septembre 1751 (1)), car il ne souhaite pas lui-même participer au prix de Saint-Pétersbourg (cf. 4 janvier 1751 (1), 10 septembre 1751 (2)). Mais il les remettra entre les mains de Grandjean de Fouchy le 10 janvier 1751 (cf. 10 janvier 1751 (1)), les publiant seulement, avec quelques additions, en 1754 (cf. 9 janvier 1754 (2)).

De son côté, Clairaut s'accorde lui aussi une petite pause et s'occupe à « des affaires étrangères aux études » (cf. 19 janvier 1750 (1), Janvier 1750 (1)).

Un prétendu Daniel Maclaurin, cousin de MacLaurin, se souviendra de la rétractation dans le Journal étranger (cf. 10 août 1755 (1)).

Lesage prendra note de la rétractation de Clairaut (cf. 27 avril 1764 (1), 23 mai 1764 (3)).

Clairaut montrera ses calculs dans C. 39, sa participation au prix de Saint-Pétersbourg (cf. 6 décembre 1750 (1)).

Bailly :
Si M. Clairaut fut entraîné par une erreur dans le parti extrême de changer la loi de l'attraction, il eut pour complices les deux plus célèbres géomètres de l'Europe, M. d'Alembert et M. Euler : il fut le premier à reconnaître cette erreur [...] ; il s'empressa d'en faire le désaveu et à la Société royale de Londres, et à l'Académie des sciences de Paris, le 17 mai 1749. Une quantité négligée dans l'approximation en était la source : le principe de l'attraction fut donc rétabli dans toute son intégrité, et M. Clairaut eut la gloire de le réconcilier avec la nature. M. d'Alembert et M. Euler revirent leurs calculs [(Euler 51) NDA], ils trouvèrent la cause de l'erreur à la même source, où les mêmes difficultés les avaient tous trois également trompés. La solution du problème, qui fait tant d'honneur à notre siècle, appartient donc également à MM. Clairaut, d'Alembert et Euler : les successeurs d'Alexandre se sont partagés son empire ; le sceptre de Newton a passé dans les mains de ces trois géomètres. […] Il résulte du travail de ces trois géomètres une confirmation complète du système de M. Newton (Bailly 85, p. 154-155).

C. 35 est évoqué par Laplace dans son Traité de mécanique céleste (cf. 15 novembre 1747 (1)).

Arago :
Le problème des trois corps, c'est le nom sous lequel il est devenu célèbre, le problème de déterminer la marche d'un astre soumis à l'action attractive de deux autres astres, a été résolu, pour la première fois, par notre compatriote Clairaut (Arago 54-62, vol. 3, p. 465).
Cinq géomètres, Clairaut, Euler, d'Alembert, Lagrange, Laplace, se partagèrent le monde dont Newton avait révélé l'existence (Arago 54-62, vol. 3, p. 464).
La théorie des mouvements planétaires est identifiée avec le nom de Laplace ; à peine accorde-t-on un léger souvenir aux éminents travaux de d'Alembert, de Clairaut, d'Euler, de Lagrange (Arago 54-62, vol. 1, pp. 331).