Date de la partie principale de Théorie de la Lune déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionelle (sic) aux quarrés des distances... Pièce qui a remporté le prix de l'Académie impériale des sciences de Saint Pétersbourg en 1750..., Saint-Pétersbourg, 1752, in-4°, 92 p., alias C. 39 (Taton 76). Cette date se trouve à la fin de ladite partie (C. 39, p. 83). Le sujet du prix choisi par l'Académie de Saint-Pétersbourg est l'un de ceux proposé par Euler (cf. 15 juillet 1749 (1)). Clairaut avait évoqué la préparation de C. 39 avec Cramer (cf. 2 février 1750 (1), 18 novembre 1750 (1)) et Euler (cf. 19 mars 1750 (1), 24 juillet 1750 (1)). Clairaut adresse C. 39 à Razumovskij (cf. [6 décembre 1750]). Clairaut fait part de son envoi et décrit le mémoire à Euler le 31 décembre (cf. 31 décembre 1750 (1)). Le (5 janvier 1751) 25 décembre 1750, Razumovskij (Saint-Pétersbourg) écrit à Euler, Heinsius, et Kraft, membres du jury, pour leur faire parvenir deux mémoires qui concourent au prix : celui de Dietrich Sievert Brumundt, mathématicien de Copenhague, intitulé « Dissertatio de dissensu theoria Newtonianae et motus Lunae... » (AAN, f. 1, op. 9, N. 4), et celui de Gotfridus Magnus Maria Stapff, intitulé « Resolutio problematis astronomici, utrum inaequalitates seu irregularitates omnes, quae reprehenduntur in motu Lunae proprio cum theoria Newtoniana consentiant nec ne... » (AAN, f. 1, op. 9, N. 7) (Juskevic 59-76, vol. 2, p. 227 ; O IVA, 5, p. 205). À cette date, le jury n'est pas encore définitivement fixé. A. N. Grischow, C. G. Kratzenstein, N. I. Popov et G. W. Richman ont aussi été consulté pour le verdict (Juskevic 59-76, vol. 2, p. 10 ; O IVA, 5, p. 193). Le (23) 12 janvier 1751, Schumacher indique à Euler qu'il va bientôt recevoir deux autres pièces dont celle de Clairaut. Le 26 janvier 1751, Euler (Berlin) écrit à Razumovskij, le remercie de sa nomination comme juge pour le concours de l'Académie de Saint-Pétersbourg, et l'informe que les deux premières pièces qu'il a reçues, celle de Brumundt et de Stapff, sont encore fort éloignées du but proposé par le concours (Juskevic 59-76, vol. 2, p. 229-230). Clairaut demande un récépissé à Razumovskij le 10 février (cf. 10 février 1751 (1)). Il évoque encore son mémoire à Euler le 24 (cf. 24 février 1751 (1)). Il demande un récépissé à Schumacher (cf. 15 mars 1751 (1)) qui l'informe que sa pièce est arrivée à bon port (cf. (13) 2 avril 1751). Après avoir lu C. 39, Euler fait savoir tout le bien qu'il en pense à Schumacher (cf. 2 mars 1751 (1), 3 [avril] 1751) et à Clairaut (cf. 16 mars 1751 (1)). La lecture de C. 39 entraîne la rétractation d'Euler sur le mouvement de l'apogée, annoncée à Maupertuis les 20 mars et 3 juillet 1751 (cf. 20 mars 1751 (1), 3 juillet 1751 (1)), à Wettstein le 27 avril (cf. 27 avril 1751 (1)), à Bouguer (cf. 28 avril 1751 (3), 30 mai 1751 (1), 9 octobre 1751 (1)), à Heinsius (cf. 6 mai 1751 (1)). Euler regarde du coup la rétractation de Clairaut comme la découverte « la plus importante et la plus profonde qui ait jamais été faite dans la mathématique » (cf. 10 avril 1751 (1)). Clairaut s'en montre ravi (cf. 28 avril 1751 (2)). Lalande croit savoir que le prix est reporté (cf. 23 avril 1751 (1)). Krafft remet son rapport, favorable à Clairaut (cf. 2 mai 1751 (1)). Le (22) 11 mai 1751, Schumacher (Saint-Pétersbourg) écrit à Euler et lui joint un cinquième mémoire concourant au prix (AAN, f. 1, op. 9, N. 5). Il avait été envoyé de Hambourg, il est rédigé en allemand, son auteur reste inconnu (Juskevic 59-76, vol. 2, p. 243). Heinsius remet son rapport, favorable à Clairaut (cf. 29 mai 1751 (1)). Euler donne son avis sur les quatre premières pièces (cf. 5 juin 1751 (1)), sur la cinquième le 29 (Juskevic 59-76, vol. 2, p. 245). Il en fait part à Clairaut (cf. 29 juin 1751 (1)). Clairaut est ravi (cf. 5 août 1751 (1), 26 septembre 1751 (1)). Le prix est attribué à Clairaut (cf. (17) 6 septembre 1751), ainsi que Schumacher en informe Euler (cf. (18) 7 septembre 1751 (1)) et le principal intéressé (cf. (18) 7 septembre 1751 (2)). Après cette attribution, Euler peut présenter à l'Académie de Saint-Pétersbourg ses propres travaux sur la question (Euler 53) (cf. 5 octobre 1751 (1)). Euler annonce la victoire de Clairaut à Wettstein (cf. 9 octobre 1751 (2)). Euler fait part à Schumacher du désir de Clairaut de joindre quelques additions à C. 39 et suggère de le publier avec (Euler 53) (cf. 12 octobre 1751 (1)). Schumacher indique à Euler qu'il faut que Clairaut envoie ses additions rapidement et se réjouit de publier C. 39 avec (Euler 53). À la Royal Society, Wettstein annonce que grâce à Clairaut, Euler a mis en accord le mouvement de l'apogée, et Mortimer que Clairaut a gagné le prix (cf. (4 novembre) 24 octobre 1751). Mayer apprends par les gazettes que Clairaut a gagné le prix (cf. 15 novembre 1751 (1)). Euler l'informe que C. 39 sera publié avec (Euler 53) (cf. 25 décembre 1751 (1)). Clairaut demande à Grischow, récemment nommé secrétaire, s'il peut veiller sur l'impression de la pièce, et lui annonce C. 41 (cf. 2 janvier 175[2]). Il envoie une addition et une table corrigée à Schumacher (cf. 2 janvier 1752 (1)). Il a reçu son prix (cf. 9 janvier 1752 (1)). Mayer attend C. 39 avec impatience (cf. 6 janvier 1752 (1)). Schumacher donne des nouvelles de l'impression de C. 39 à Clairaut (cf. (11 mars) 29 février 1752) et a Euler (cf. (1 avril) 27 mars 1752). Euler résume la pièce à Mayer (cf. 18 mars 1752 (3)). Clairaut se réjouit qu'elle soit publiée avec (Euler 53) (cf. 4 avril 1752 (1)). Schumacher envoie la première feuille de C. 39 à Euler (cf. (15) 4 avril 1752, 22 avril 1752 (1)), ainsi que Lalande, alors à Berlin, le rapporte à Le Monnier (cf. 6 mai 1752 (1)). Euler transmet cette première feuille à Clairaut (cf. 24 juin 1752 (1)). Comme C. 41 n'est pas sans rapport avec C. 39, Clairaut se demande s'il ne faut pas les publier dans les Mémoires de Pétersbourg (cf. 21 juin 1752 (2), 22 juin 1752 (1)). Quand l'impression de C. 39 est achevée, Schumacher en fait parvenir rapidement un exemplaire à Clairaut (en attendant les autres) (cf. (1 juillet) 20 juin 1752 (1)) et un à Euler (cf. (1 juillet) 20 juin 1752 (2), 22 juillet 1752 (1)), suivi d'un second (cf. (2 septembre) 22 août 1752), via Stettin (cf. (9 septembre) 29 août 1752), présenté par Euler à Berlin (cf. 21 décembre 1752 (1)). Clairaut a son exemplaire dans les mains au 13 août 1752 (cf. 13 août 1752 (1)). Il remercie Grischow pour ses bons offices (cf. 1 octobre 1752 (1)). Il part en Angleterre où il arrive auréolé de son triomphe (cf. [c. novembre 1752]). Mayer compte bientôt en obtenir un exemplaire grâce à un libraire de foire (cf. [c. septembre 1752]). Un exemplaire de C. 39 est adressé à la Royal Society par l'Académie de Saint-Pétersbourg (cf. 15 mars 1753 (1)). Mayer n'a toujours C. 39 mais compte toujours sur son libraire de foire (cf. 7 janvier 1753 (1)). Euler reste optimise sur ce point (cf. 24 avril 1753 (1)) mais l'affaire s'avère plus compliquée que prévu (cf. 7 mai 1753 (1)). De Montigny fait l'extrait de C. 39 à l'Académie des belles-lettres le 14 décembre 1753 (cf. 14 décembre 1753 (1)). De Thury et Le Monnier mentionnent C. 39 dans leur rapport sur C. 41 (cf. 22 décembre 1753 (3)). Cassini de Thury évoque la théorie de la Lune de Clairaut dans (Cassini 59) (cf. 12 mai 1759 (2)). C. 39 connaît un prolongement avec C. 41 (cf. 5 septembre 1753 (2)). Si ce n'est C. 41, c'est peut-être C. 39 que confie Clairaut à Mme du Boccage pour Jacquier (cf. 24 juin 17[5]7). Un certain M. D. B. trouve belle la théorie de la Lune de Clairaut (cf. Janvier 1760 (1)). Fontaine attaque la théorie de la Lune de Clairaut (cf. [c. février] 1762), ce qui provoque C. 54 (cf. [c. mai] 1762). C. 39 connaît une seconde édition, C. 392=C. 412 (cf. 5 septembre 1764 (2)). Barrois l'aîné possédait un exemplaire de C. 39 et de C. 392=C. 412 (ce dernier portant la signature de Rochon) (Barrois 38, p. 98). Les observations utilisées par Clairaut ont été fournies par La Caille (O IVA, 5, p. 200). Annonce (tardive) de C. 39 dans les gazettes : Livres nouvellement arrivés chez Briasson, Libraire, rue S. Jacques [...] Théorie de la Lune, par M. Clairaut, 4°. fig. Petersbourg, 1752. (Suite de la clef, août 1760, p. 120). On trouve des extraits de C. 39 dans le Journal des sçavans, février 1754, pp. 100-107, dans la Bibliothèque raisonnée, octobre-décembre 1752, pp. 395-402, dans les Nova acta eruditorum, mars 1753, vol. 1, pp. 125-129. Rousseau a certainement eu entre les mains plus d'un traité sérieux d'astronomie, comme la célèbre Théorie de la Lune publiée en 1752 par Clairaut (Rousseau 59-95, vol. 5, p. CCXLVI).C. 39 est cité par Clairaut dans C. 52a (cf. 28 juin 1747 (1)), dans C. 51 (cf. [c. juin] 1757 (1)), dans C. 53 (cf. [c. décembre] 1761). C'est alors que Lalande lit C. 39 et C. 40 que Clairaut et lui décident de s'atteler au retour de la comète (cf. [c. juin] 1757 (1)). Bailly s'appuie sur C. 39 pour ses travaux sur les satellites de Jupiter (Bailly 63b), (Bailly 63c) (Bailly 66a) et (Bailly 66b) (cf. 27 mars 1762 (1), 11 décembre 1762 (1) ; 1766 (3)). C. 39 est mentionné par d'Alembert dans l'article « Problème des trois corps » de l'Encyclopédie (cf. 14 juin 1747 (1)), dans l'article « Lune » de l'Encyclopédie (cf. 15 novembre 1759 (2), dans le vol. 1 de (Alembert 54-56), ainsi que dans le vol. 3 (cf. 17 novembre 1756 (1)), dans le vol. 5 de (Alembert 61-80) (cf. 1768 (4)), par Condorcet dans l'article « Problème des trois corps » du Supplément à l'Encyclopédie (cf. 15 novembre 1747 (1)), par Bossut dans (Bossut 10 (cf. 15 novembre 1747 (1), 1810 (1)), par Lalande dans (Lalande 58a) (cf. 7 juin 1758 (1)), (Lalande 60d) (cf. 16 juillet 1760 (1)), dans (Lalande 61i) (cf. 24 janvier 1761 (1)), dans (Lalande 64a ; Lalande 92) (cf. plus bas et 9 juillet 1757 (1)), et (Montucla 99-02) (cf. 20 décembre 1748 (1)), par [Dionis du Séjour] quand il défend Clairaut dans le Mercure et le Journal helvétique(cf. [c. mai] 1759 (1)). Éloge de Cramer : Un second voyage qu'il fit à Paris en 1747 à la suite de L. A. S. les princes de Saxe Gotha [...] mit [Cramer] a portée d'être plus connu des sçavans de cette capitale. [...] Il seroit inutile de nommer tous les sçavans de l'Académie, avec lesquelles il fit de nouvelles liaisons. Seulement on ne doit pas oublier que l'illustre M[onsieu]r Clairaut le consulta plusieurs fois [cf. Cramer] avant que de publier sa Theorie des mouvemens de la Lune conséquemment au mouvement de l'attraction (« Eloge de M[onsieu]r Cramer », AD Hérault, D. 200, 17, f. 11). La Caille : Rem[arque]. Plusieurs géomètres ont démontré que quoique la force perturbatrice [...] puisse causer dans la ligne des apsides de la Lune un mouvement inégal, comme on vient de l'expliquer ; cependant elle ne pouvait produire qu'environ la moitié de la vitesse du mouvement qui a été déterminé par les observations astronomiques, et que par conséquent il devait y avoir d'autres circonstances qui augmentassent l'effet de cette force : sur quoi on peut consulter ce qu'en ont écrit MM. Euler, Clairaut et d'Alembert qui ont cependant déduit du système de la pesanteur le mouvement de l'apogée de la Lune, conforme aux observations (La Caille 55a, p. 321). Jeaurat : Enfin il y en a une [de solution du problème auquel la règle de Képler sur la proportionnalité des aires donne lieu] de M. Clairaut dans sa Théorie de la Lune [C. 39], et celle que je propose aujourd'hui serait la même que cet illustre académicien, si je n'eusse poussé les calculs plus loins qu'il ne me paraît l'avoir fait. Il est évident qu'il avait ses raisons pour donner des bornes à ses calculs ; le besoin qu'il en avait dans sa savante théorie de la Lune n'exigeait rien au-delà de ce qu'il y a inséré ; il fallait qu'il les poussât jusqu'à la troisième puissance de l'excentricité de l'orbite, et le reste n'aurait pu être qu'une digression dans un ouvrage dont la question présente ne faisait qu'une partie très petite et presque accidentelle. Mais le même problème qui n'était dans les mains de M. Clairaut qu'un instrument, est le seul objet des recherches dont je présente ici le résultat. Je me suis proposer d'en pousser les calculs jusqu'à la sixième puissance de l'excentricité, afin que ma formule puisse également satisfaire à toutes les excentricités des planètes et il ne fallait pas une moindre différence entre la solution de M. Clairaut et la mienne, pour m'engager à m'occuper d'un objet qu'il a déjà traité et qui fait partie d'un Mémoire couronné par l'Académie de Pétersbourg.[...] Comme ces sortes de solutions exigent l'emploi des formules de trigonométrie, exprimées par des séries infinies, ainsi que de celles dont nous sommes redevables à MM. Euler et Clairaut, je joins ici celles dont j'ai fait les calculs pour tous les cas possibles, ce que l'on ne trouve nulle part et ce qui peut-être n'a jamais été fait (Jeaurat 63c). Lalande dans la première édition de son Astronomie : L'équation qui en résultera […] répond à l'évection, que M. Mayer fait de 1° 20' 50'', M. Le Monnier 1° 18' 50'', et M. Clairaut 1° 16' 48'' (Lalande 64a, vol. 1, p. 570). […] Cette libration dépend donc du double de la vraie distance de la Lune au Soleil, et produit la Variation, inégalité qui va à 40' ½. Sur quoi j'observe que Tycho avait encore déterminé cette inégalité avec bien de la précision, puisque les dernières tables supposent actuellement la variation de 39 à 40' ; elle est dans M. Clairaut de 39' 54'' (Lalande 64a, vol. 1, p. 571). […] M. Halley n'employait dans ses tables que ces trois petites équations avec l'équation annuelle ; ce n'était pas assez pour parvenir à la précision d'une minute : M. Mayer en a ajouté six autres ; M. Clairaut en emploie 18 indépendamment des quatre grandes équations et de celles de la latitude (Lalande 64a, vol. 1, p. 577). […] Cependant le seul principe de l'attraction en raison inverse du quarré de la distance, devrait suffire, ce semble, pour calculer, sans le secours de l'observation, toutes les petites inégalités de la Lune ; c'est ce qu'ont entrepris les plus fameux géomètres de ce siècle, M. Euler, M. Clairaut, M. d'Alembert, et plusieurs autres après eux ; mais ils conviennent presque tous qu'il est douteux qu'on puisse parvenir à fixer par la seule théorie toutes ces petites inégalités. On trouvera dans le XXIIe Livre la forme et les principes de ces recherches ; nous n'en suivrons pas le détail pour chacune des inégalités de la Lune, parce que ce détail est prodigieux, et qu'il exigerait des volumes : d'ailleurs ceux qui ont eu la constance de les faire, n'ont pas encore pu se déterminer à les publier ; on trouvera tout ce qui s'est fait là-dessus dans trois ouvrages que nous allons indiquer, qui sont de MM. Clairaut, d'Alembert et Euler. 1157. L'ouvrage de M. Euler a pour titre Theoria motus Lunae exhibens omnes ejus inaequalitates, authore L. Eulero, Petropoli, 1753, in-40, 347 pages [(Euler 53)]. Ce livre avait été précédé par un grand nombre de calculs sur la même matière, qui se trouvent dans différents mémoires de M. Euler, et par des tables de la Lune qu'il publia à Berlin dans ses Opuscules en 1745. Ces tables furent ensuite corrigées et publiées dans l'Almanach astronomique de Berlin pour 1750. Le second ouvrage est la Pièce de M. Clairaut qui a remporté le prix de l'Académie impériale des sciences de S[aint] Pétersbourg proposé en 1750 sur la théorie de la Lune, imprimé à Pétersbourg dès l'année 1752, en 92 pag[es] in-4° [C. 39] et dont M. Clairaut fait imprimer actuellement (Décembre 1763), une nouvelle édition [C. 392=C. 412]. Cette pièce avait été précédée par un grand nombre de recherches dont M. Clairaut donna l'ébauche dans les Mémoires de l'Académie pour les années 1745 [C. 33] et 1748 [C. 40], et elle fut suivie des Tables de la Lune, imprimées en 1754 [C. 41], in-8°. dont M. Clairaut fait imprimer aussi une nouvelle édition. 1158. Le troisième ouvrage où l'on peut approfondir cette matière, est celui de M. d'Alembert qui a pour titre : Recherches sur différens points importans du système du monde [(Alembert 54-56)], première partie, 1754, in-4°. 260 pages (Lalande 64a, vol. 1, pp. 580-581). […] Équation du centre […] Clairaut, 6 18 1 […] L'excentricité moyenne, employée par M. Clairaut, est 0, 05505, ou 5505 parties, dont la distance moyenne contient 100 000 (Lalande 64a, vol. 1, p. 582). […] Mais comme M. Mayer ne répondait pas de ces latitudes à une minute près, et qu'on y trouve même quelquefois des erreurs de 2 minutes, on peut négliger cette petite correction, jusqu'à ce qu'on emploie dans le calcul de la latitude un plus grand nombre d'équation comme M. Clairaut l'a fait dans ses tables de la Lune (Lalande 64a, vol. 1, annexe, p. 35). […] M. Clairaut trouve que l'on aurait dans ce cas là [maths] (Pièce sur la théorie de la Lune [C. 39], art[icle] XXXI). Il résout dans le même endroit l'équation plus compliquée [maths], et elle lui est nécessaire pour la théorie de la Lune où il y a trois termes assez considérables (Lalande 64a, vol. 2, p. 1283). […] Les calculs de l'attraction, et ceux où l'on fait usage des anomalies ou des rayons vecteurs, exigent que ces quantités soient exprimées analytiquement, ainsi que M. Clairaut l'a fait dans sa théorie de la Lune : voici les formules qu'il a calculées pour cet effet, mais dont il n'avait pas donné l'analyse ; je la rapporterai telle qu'il me l'a communiquée. On trouvera les mêmes formules par une autre méthode dans un Mémoire de M. Jeaurat (Mémoire présentés à l'Académie, t[ome] IV [(Jeaurat 63c)]). […] Soit [maths] (Lalande 64a, vol. 2, p. 1308). […] Ainsi l'expression du temps qui répond à une arc est [maths]. M. Clairaut en a fait usage dans sa Théorie de la Lune (Lalande 64a, vol. 2, p. 1351). […] M. Clairaut fait usage de ce théorème dans sa théorie de la Lune ; c'est pourquoi j'ai pensé qu'on serait bien aise d'en trouver ici la démonstration. J'en ai moi-même indiqué l'usage (2792) (Lalande 64a, vol. 2, p. 1547).Dans la dernière édition : Cette seconde inégalité de la Lune, qui, suivant Ptolémée, était de 1° 19' 1/2, et, suivant Tycho, 1° 15', est dans les tables de Flamsteed 1° 18' 50'', dans les nôtres 1° 20' 28'', dans celles de d'Alembert 1° 18' 18'', et dans celles de Clairaut 1° 16' 18'' ; mais d'Alembert observe que cette équation de Clairaut ne répond qu'à une partie équivalente à 1° 16' 12" dans les anciennes tables de Mayer, parce que la forme des équations étant différente, il faut les décomposer pour pouvoir les comparer ensemble (Recherches, etc. [(Alembert 54-56), cf. 17 novembre 1756 (1)] III, 27). Nous donnerons une idée de la manière dont l'attraction du Soleil produit cette inégalité (3637) (Lalande 92, vol. 2, p. 167). […] Cette libration dépend donc du double de la vraie distance de la Lune au Soleil, et produit la Variation. Tycho avait encore déterminé cette inégalité avec assez de précision, puisqu'il la faisait de 40' 30'' : or elle est dans Flamsteed 40' 34'', dans Clairaut de 39' 54'', et dans les anciennes tables de Mayer 40' 43'', et dans les nouvelles tables 35' 41'', sans y comprendre les petites équations qu'on a renfermées dans la même table (Lalande 92, vol. 2, p. 169). […] L'équation annuelle est de 11' 20'' dans les tables d'Euler (Almanach de Berlin, 1750) et dans les premières tables de Clairaut [C. 39], de 12' 57'' dans celles de d'Alembert (Recherches etc. [(Alembert 54-56)], pag[e] 230). Mayer la fait dans ses secondes tables de 11' 16'', sans doute d'après les observations ; car la théorie de l'attraction ne la détermine pas d'une manière assez exacte : aujourd'hui on la fait de 11' 8'' 6 (Lalande 92, vol. 2, p. 171). […] Tobie Mayer, qui avait étudié ces calculs dans la pièce d'Euler dur Saturne [(Euler 49b)], calcula aussi, en 1751, 17 équations pour la Lune, et il différait peu de Clairaut, qui s'occupait vers les même temps des mêmes recherches (Lalande 92, vol. 2, p. 175). […] L'équation semestre […] Clairaut la faisait de 2' 13''. 1463. L'équation de 60'', qui dépend de la double distance du Soleil au nœud, ou l'équation semestre d'Halley, et la dixième dans nos tables, vient de ce que l'action du Soleil sur la Lune est un peu plus grande quand la ligne des nœuds passe par le Soleil ; elle était de 47'' dans Newton, où elle formait la troisième équation. Clairaut la fait de 1' 21'', d'Alembert de 1, 9'' (Recherches, etc [(Alembert 54-56)], pag[e] 28. Mayer l'avait faite de 58'' : elle est ici de 60'' (Lalande 92, vol. 2, p. 177). M. Halley n'employait que ces trois petites équations avec l'équation annuelle ; ce n'était pas assez pour parvenir à la précision d'une minute : M. Mayer en ajouta six autres ; M. Clairaut en employait 18 indépendamment des quatre grandes équations et de celles de la latitude ; il y a en autant dans nos tables. 1465. La septième équation, suivant Newton et Flamsteed, est de 2' 20'', dans les quadratures ; elle dépend de la Lune au Soleil ; et elle est soustractive dans les six premiers signes de la distance ; Mayer la fait de 1' 57'' et Clairaut de 3' 40 (Lalande 92, vol. 2, p. 177). […] On trouve dans la seconde édition des tables de Clairaut [C. 392=C. 412], fait en 1765, une formule du lieu de la Lune, dans laquelle il n'employait que les longitudes moyennes du Soleil et de la Lune, ce qui en rendait l'usage plus facile : mais le nombre de ces équations est un peu plus considérable, et je crois que l'exactitude de ces tables n'est pas aussi grande, à en juger par les erreurs dont on trouve le catalogue dans la Connoissance des temps de 1783 (Lalande 92, vol. 2, p. 181). […] J'aurais voulu donner ici une notion plus distincte de toutes ces inégalités de la Lune, leur quantité, la manière dont on les a découvertes et dont on peut les constater ; mais dans tout ce qui s'est fait jusqu'ici sur cette matière, il y a encore trop d'incertitude et d'obscurité. Clairaut emploie 22 équations, Euler en emploie 42 dans ses dernières tables de 1772 [(Euler 72)] : mais les géomètres qui s'en sont occupés depuis 1745, n'ont point donné les détails de leurs procédés, et ne sont point d'accord sur les quantités des équations, sur leur utilité, sur leur exactitude ; il se passera bien des années avant qu'on puisse éclaircir cette matière dans un simple traité d'astronomie (Lalande 92, vol. 2, p. 181). […] Cependant le seul principe de l'attraction devrait suffire, ce semble, pour calculer, sans le secours de l'observation, toutes les petites inégalités de la Lune ; c'est ce qu'ont entrepris les plus habiles géomètres de ce siècle : mais d'Alembert avoue que la valeur des coefficients des équations lunaires, trouvés par la théorie, est encore fort incertaine. « Il me paraît très douteux (ajoute-t-il) qu'on puisse parvenir à les fixer par la théorie seule ; il ne faut pas se presser d'assurer aux tables de Mayer l'exactitude astronomique ; d'ailleurs il y a employé un tâtonnement fait sur les seules observations » (Mercure de sept[embre] 1757 [cf. [c. septembre] 1757]). D'Alembert dit à peu près la même chose, en plusieurs endroits de ses Recherches, sur la nécessité d'avoir recours aux observations pour déterminer ces coefficients ([(Alembert 54-56)] III, 31). 1477. Clairaut, dans le Journal des sçavans (déc[embre] 1757 [février 1758 !, cf. 11 janvier 1758 (1)] [C. 46]), répondit que Mayer n'avait omis dans ses tables aucune des équations qui sont essentielles pour la longitude de la Lune, et qui ne demandent pas une extrême attention dans les calculs de la théorie, et cette réponse indique encore que, dans les autres équations qu'on peut ajouter à celles de Mayer, il reste quelque doute du côté de la théorie : je sais d'ailleurs que Clairaut a fait un grand usage des observations pour rectifier les coefficients de ses équations, et qu'il a varié beaucoup sur la valeur de quelques-unes. 1478. On trouvera dans le XXIIe livre la forme et les principes de ces recherches (3625). Nous n'en suivrons pas le détail pour chacune des inégalités de la Lune, parce que ce détail est prodigieux, et qu'il exigerait des volumes ; on trouvera tout ce qui s'est fait là dessus dans les ouvrages de Clairaut, d'Alembert, et Euler, savoir, dans la pièce de Clairaut imprimée en 1752 [C. 39] et 1765 [C. 392=C. 412], dans la théorie d'Euler 1753 [(Euler 53)] et 1772 [(Euler 72)], et dans les Recherches sur différens points importans du système du monde, par M. d'Alembert, 1754 [(Alembert 54-56)] (Lalande 92, vol. 2, p. 182). […] Équation de l'orbite […] Clairaut, 6 18 1 […] L'excentricité moyenne, employée par M. Clairaut, d'après Flamsteed et Halley, est 0, 05505, ou 5505 parties, dont la distance moyenne contient 100 000. Dans la suite, il la diminua de 1/171, pour rapprocher sa formule des observations auxquelles il l'avait comparée, mais il a conservé la première dans sa seconde édition [C. 392=C. 412], page 59 (Lalande 92, vol. 2, p. 184). […] On trouverait alors [maths] (Théorie de la Lune [C. 39], art[icle] XXXI). On trouve dans le même livre l'équation plus composée [maths], et elle est nécessaire pour la théorie de la Lune, où il y a trois termes assez considérables (Lalande 92, vol. 3, p. 369). […] [Cagnoli] m'a dit n'y avoir employé que neuf heures de temps, tandis que M. Bardin, géomètre de Sens, avait employé plusieurs jours par la méthode de Clairaut, que j'avais expliquée dans les premières éditions de ce livre [(Lalande 64a), vol. 2, p. 1308] (Lalande 92, vol. 3, p. 388). […] Donc enfin le temps qui répond à une arc est [maths]. M. Clairaut en a fait usage dans sa Théorie de la Lune, p. 19 de l'édition de 1765 [C. 392=C. 412] (Lalande 92, vol. 3, p. 429). […] [Cette force] est la force qui agit perpendiculairement au rayon vecteur, et que nous appellerons [$\pi$ avec Clairaut.] (Lalande 92, vol. 3, p. 440). […] […] Clairaut fait usage de ce théorème dans sa théorie de la Lune ; c'est pourquoi j'ai cru devoir en donner ici la démonstration que l'auteur avait supprimer pour abréger. J'en ai moi-même indiqué l'usage (Lalande 92, vol. 3, p. 585). Lalande dans l'article « Aphélie (Astronom.) » du Supplément à l'Encyclopédie : Voici le résultat des calculs que j'ai faits sur toutes les planètes, en construisant mes tables, pour avoir le lieu de l'aphélie en 1750, avec le changement pour cent ans ; il devrait n'être que de 1d. 23' 54''comme celui de la précession des équinoxes ; si les aphélies étaient aussi fixes que les étoiles, et qu'ils n'eussent d'autre changement de longitude que celui qui vient de la rétrogradation du point équinoxial, d'où l'on compte ces longitudes; mais il est prouvé que tous les aphélies ont un mouvement causé par l'attraction des autres planètes, ainsi que la lune dont l'apogée a un mouvement rapide causé par l'attraction du Soleil : on peut voir le calcul de ce mouvement de l'aphélie, produit par les attractions étrangères, dans le xxiie livre de mon Astronomie, et dans les ouvrages de MM. Euler, d'Alembert, Clairaut, sur l'attraction (Lalande 76c). Lalande dans l'article « Nœuds » du Supplément à l'Encyclopédie : J'ai donné avec un grand détail le calcul du mouvement de chaque planète produit par l'action de toutes les autres dans les Mémoires de l'Académie pour 1758 et 1761. M. Euler, M. d'Alembert, M. Clairaut ont donné le calcul du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire, mouvement qui est beaucoup plus composé, à cause de l'attraction du Soleil (Lalande 77b). Y dans l'article « Lune » de l'Encyclopédie méthodique, Marine : Cette seconde inégalité est connue sous le nom l'évection de la Lune. Cette inégalité introduit une nouvelle équation, qui est proportionnelle au sinus du double de la distance de la Lune au Soleil, moins l'anomalie moyenne de la Lune. Sa quantité n'est point encore exactement déterminée. Dans les tables de M. Mayer, elle est de 1° 20' 34'', dans celles de M. d'Alembert, de 1° 18' 18'', dans les premières tables de M. Euler, de 1° 18' 49'', et dans celles de M. Clairaut [C. 392 ?] de 1° 16' 16''. […] Ceux à qui on est redevable du degré de perfection où s'est élevée cette partie de l'astronomie physique, sont MM. Euler, d'Alembert et Clairaut, lesquels commencèrent en même temps à s'en occuper, il y a environ 40 ans. M. Clairaut fut le premier qui publia ses recherches, lesquelles remportèrent le prix de Pétersbourg en 1750, et furent imprimées en 1752 [C. 39]. M. Euler publia ensuite les siennes sous le titre de Theoria motus Lunae exhibens omnes ejus inaequalitates à Pétersbourg, en 1753 [(Euler 53)]. Ce ne fut qu'un an après que parurent celles de M. d'Alembert dans le premier volume de son ouvrage, qui a pour titre, Recherches sur différent points importants du système du monde [(Alembert 54-56)], quoique son travail fût fini dès la fin de 1760 [!] ; et depuis il n'a cessé de s'occuper du même objet et de perfectionner la théorie qu'il avait donnée ainsi qu'on peut le voir dans les 2e, 3e et 4e volumes de ses Opuscules [(Alembert 61-80)]. C'est aussi ce qu'a fait M. Euler de son côté. […] (Y 83-87). Montucla, édité par Lalande : Tel était, à cet égard, l'état des choses, lorsque l'Académie de Pétersbourg jugea avec raison que le sujet de la théorie du mouvement de la Lune, méritait d'être proposé pour l'un de ses prix d'astronomie physique ; elle proposa donc en 1750, pour le prix de l'année 1762, d'examiner si toutes les inégalités qu'on observe dans le mouvement de la Lune sont conformes a la théorie de Newton, et quelle est la véritable théorie de ces inégalités, d'après laquelle on puisse déterminer avec exactitude le lieu de la Lune à un moment donné ? Clairaut remporta ce prix, et sa pièce fut imprimée la même année à Pétersbourg, in 4° [C. 39]. Il donna à ce travail un nouveau prix, en construisant de nouvelles tables lunaires qu'il publia en 1754 sous le titre de Tables de la Lune, calculées suivant la théorie de la gravitation universelle, Paris, in-8°. Ces tables étaient plus exactes que celles d'Euler, et l'un et l'autre ont continué à les perfectionner, ainsi que d'Alembert, qui en publia vers le même temps, quoique avec moins de succès, faute d'y avoir employé des observations. Clairaut publia en 1765 une nouvelle édition de sa pièce, couronnée en 1752 à Pétersbourg, avec beaucoup d'augmentations et de changements [C. 392=C. 412]. On trouva, dans cette édition, indépendamment de beaucoup de calculs révisés ou simplifiés, et même souvent poussés beaucoup plus loin, de nouvelles Tables de la lune un peu différentes pour la forme de celles qu'il avait publiées en 1754. On y trouve aussi la comparaison de près de deux cents observations choisies, communiquées par Bradley et Maraldi, avec le calcul résultant de ses tables, et l'on y vit avec surprise et satisfaction, que sur toutes ces observations, il yen avait neuf sur dix qui s'accordaient à moins d'une minute, souvent à quelques secondes près avec le calcul, mais il s'en est trouvé beaucoup qui se sont écartées de plus de deux minutes. On sent aisément que nous ne pouvons suivre Clairaut au travers des calculs prolixes et multipliés qu'il lui fallut entreprendre pour parvenir aux résultats qu'il atteignit enfin. Nous renvoyons à l'Astronomie de la Lande [(Lalande 92)], où tous les éléments de ces calculs sont démontrés avec une extrême simplicité, et la méthode rendue pour ainsi dire élémentaire (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 60-70). Montucla remarque ensuite que le traitement de C. 39 dans (Alembert 54-56) provoque une querelle entre Clairaut et d'Alembert (cf. Juin 1757 (1)). Puis continue : Un nouvel aliment à cette animosité [entre Clairaut et d'Alembert] se présenta en 1758. Clairaut annonça à l'Académie [cf. 15 novembre 1758 (1)] le calcul de l'effet que l'action des planètes supérieures avait pu produire sur le retour de la fameuse comète de I531, 1607 et 1682, attendu pour la fin de 1758. Clairaut pensait que sa solution du problème des trois corps se prêtait plus facilement que toute autre au cas particulier d'une comète, dont l'orbite est extrêmement excentrique, en sorte que tous les abrégés de calcul, résultant de la possibilité de négliger sans erreur sensible plusieurs termes de l'équation de la courbe, ne peuvent plus avoir lieu ici. D'Alembert lui contesta cet avantage, et la prédiction du retour de la comète établie sur les calculs de Clairaut, ayant retardé d'un mois sur l'événement, il parut divers écrits anonymes, dans lesquels on cherchait à rendre cette erreur monstrueuse, en prétendant que cette différence d'un mois devait se comparer à la différence des deux dernières révolutions, et non à la durée d'une révolution moyenne, ou plutôt de deux révolutions [cf. [c. mai] 1759 (2), [c. 15 juillet] 1759]. Il voulait même la comparer à un temps beaucoup plus court ; il était facile à Clairaut de voir qu'une prétention aussi injuste ne pouvait venir que de d'Alembert ; c'est pourquoi, indépendamment des réponses qu'y fit La Lande [cf. 10 juillet 1759 (1)], comme coopérateur de ce travail, Clairaut crut devoir repousser par lui-même cette attaque, ce qu'il fit par une réponse insérée au Journal des sçavans de novembre 1759 [cf. Novembre 1759 (1), en fait C. 49, cf. 11 août 1759 (1)]. Cette querelle se prolongea encore quelques années par des écrits publiés de part et d'autres, dans le Journal des sçavans de décembre 1761 [C. 53, cf. [c. décembre] 1761], et le Journal encyclopédique de février 1762 [cf. 18 janvier 1762 (1)]. En juin 1762, Clairaut rassembla en quelque sorte toutes ses forces, et publia dans le Journal des sçavans de Nouvelles Réflexions sur la contestation entre d'Alembert et lui, non seulement sur la comète de 1759, mais aussi sur la théorie de la Lune [C. 55, cf. [c. juin] 1762 (1)]. Elles paraissent avoir terminé la discussion [non !, cf. 5 juillet 1762 (1), d'ailleurs abominable pour Lalande] ; car je ne sache pas que d'Alembert y ait rien opposé ; soit qu'il n'ait eu rien à y répliquer, soit qu'il ait cru avoir suffisamment mis les juges impartiaux à portée de prononcer. Il ne m'appartient pas de me mettre de ce nombre ; mais cependant, je dirai qu'il me semble que Clairaut eut en tout ceci le mérite des procédés ; et quand au fond, j'ajouterai qu'il semble que le public, sans rien perdre de la haute estime due à d'Alembert, a mis le travail de Clairaut, du moins quant à ses tables, au-dessus de celui de son concurrent. Les astronomes d'Angleterre, en particulier, paraissent en avoir pensé ainsi, par le silence qu'ils ont gardé sur celles de d'Alembert, dans l'appréciation faite des tables de Mayer, Euler et Clairaut, appréciation dans laquelle on n'a donné aucune place à celles de d'Alembert (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 72-73). Montucla mentionne encore C. 39 quand il évoque la participation de Lalande aux calculs de la comète (cf. [c. juin] 1757 (1)). C. 39 est évoqué par Laplace, dans son Traité de mécanique céleste et dans son Exposition du système du monde (cf. 15 novembre 1747 (1)) ou dans la CDT (cf. 13 janvier 1759 (1)). Après avoir d'abord pensé publier ce travail [Theoria motus lunae] [(Euler 53)] à la suite du mémoire primé de Clairaut, [Euler] l'imprima séparément à Berlin en 1753 (Henry 07, p. 171). Des corrections aux tables de Halley, Clairaut, d'Alembert et Mayer se trouvent dans les papiers de Nevil Maskelyne, dans Royal Greenwich Observatory Archives conservées à la Cambridge University Library, sous la cote RGO 4/67 (catalogue en ligne). C. 39 (en fait C. 392) est étudié dans (Tournès 96, pp. 249-267). Si, du côté de la mécanique céleste triomphante, c'est le point de vue de d'Alembert qui recueillit tous les honneurs et déboucha sur la théorie moderne des perturbations, par contre, du côté de l'analyse pure, il nous semble que c'est Clairaut qui a ouvert la voie conduisant à la méthode des approximations successives de Picard, à la nouvelle démonstration du théorème d'existence de Cauchy-Lipschitz et, plus généralement, au théorème du point fixe de Banach. Dans la suite de ce chapitre, nous étudierons comment les idées de Clairaut firent timidement leur chemin tout au long du 19e siècle avant d'être pleinement exploitées à partir de 1890. Pour rendre justice à Clairaut, nous proposerions volontiers que la méthode des approximations successives soit appelée méthode de Clairaut-Picard. De même que, dans la méthode d'Euler-Cauchy, c'est Euler qui exposa le principe formel de la méthode polygonale avant que Cauchy ne la transforme en un théorème rigoureux d'existence, dans la méthode de Clairaut-Picard, c'est Clairaut qui, le premier, conçut le principe d'une équation intégrale à point fixe avant que Picard n'établisse, en toute généralité, la convergence du processus itératif associé (Tournès 96, p. 267).
Abréviations
AAN : Archives de l'Académie des sciences de Russie, Saint-Pétersbourg.
C. 39 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionelle (sic) aux quarrés des distances... Pièce qui a remporté le prix de l'Académie impériale des sciences de Saint Pétersbourg en 1750..., Saint-Pétersbourg, 1752, in-4°, 92 p [Télécharger] [Sans date (1)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [Plus].
C. 392 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune, déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionnelle aux quarrés des distances, seconde édition à laquelle on a joint des Tables de la Lune, construites sur une nouvelle révision de toutes les espèces de calculs dont leurs équations dépendent, Paris, Dessaint et Saillant, (mars) 1765, in-4°, viii-162 p., 1pl [Télécharger] [5 septembre 1764 (2)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [15 novembre 1747 (1)] [Plus].
C. 412 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune, déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionnelle aux quarrés des distances, seconde édition à laquelle on a joint des Tables de la Lune, construites sur une nouvelle révision de toutes les espèces de calculs dont leurs équations dépendent, Paris, Dessaint et Saillant, (mars) 1765, in-4°, viii-162 p., 1pl [Télécharger] [5 septembre 1764 (2)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [15 novembre 1747 (1)] [Plus].
C. 49 : Clairaut (Alexis-Claude), Réponse de M. Clairaut à quelques pièces la plupart anonymes dans lesquelles on a attaqué le mémoire sur la comète de 1682 lu à l'assemblée publique de l'Académie des sciences du 14 [sic] novembre 1758, Paris, impr. M. Lambert, 1759, 22 p [11 août 1759 (1)] [29 juillet 1739 (2)] [Plus].
C. 51 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie du mouvement des comètes, dans lesquelles on a égard aux altérations que leurs orbites éprouvent par l'action des planètes. Avec l'application de cette théorie à la comète qui a été observée dans les années 1534, 1607, 1682 et 1759, Paris, Michel Lambert, s. d. [1760] [Télécharger] [8 août 1759 (1)] [(1 juillet) 20 juin [1731]] [6 avril 1743 (1)] [Plus].
C. 52a : Clairaut (Alexis-Claude), « Mémoire sur les mouvemens des corps célestes, adressé à MM. les Auteurs du Journal des sçavans », Journal des sçavans, décembre 1760, vol. 1, pp. 751-775 [Télécharger] [Décembre 1760 (1)] [7 janvier 1747 (2)] [15 mars 1747 (1)] [Plus].
C. 54 : Clairaut (Alexis-Claude), « Réponse de M. Clairaut au mémoire de M. Fontaine, inséré dans le Journal de février 1762 », Journal des sçavans, mai 1762, pp. 302-310 [Télécharger] [[c. mai] 1762] [29 avril 1733 (1)] [Plus].
C. 55 : Clairaut (Alexis-Claude), « Nouvelles réflexions de M. Clairaut sur le sujet de la contestation qui s'est élevé entre M. d'Alembert et lui, à l'occasion de la comète de 1759 », Journal des sçavans, juin 1762, pp. 358-377 [Télécharger] [[c. juin] 1762 (1)] [19 novembre 1755 (1)] [Plus].
CDT : Connoissance des temps pour l'année... puis Connoissance des mouvemens célestes pour l'année...
HARS 17.. : Histoire de l'Académie royale des sciences [de Paris] pour l'année 17.., avec les mémoires...
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Y (), « Lune », Encyclopédie méthodique. Marine, 3 vol., Paris-Liège, 1783-1787, vol. 2, pp. 597-605 [Télécharger].
Courcelle (Olivier), « 6 décembre 1750 (1) », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n6decembre1750po1pf.html [Notice publiée le 27 septembre 2010, mise à jour le 24 août 2013].
Livres nouvellement arrivés chez Briasson, Libraire, rue S. Jacques [...] Théorie de la Lune, par M. Clairaut, 4°. fig. Petersbourg, 1752. (Suite de la clef, août 1760, p. 120). On trouve des extraits de C. 39 dans le Journal des sçavans, février 1754, pp. 100-107, dans la Bibliothèque raisonnée, octobre-décembre 1752, pp. 395-402, dans les Nova acta eruditorum, mars 1753, vol. 1, pp. 125-129. Rousseau a certainement eu entre les mains plus d'un traité sérieux d'astronomie, comme la célèbre Théorie de la Lune publiée en 1752 par Clairaut (Rousseau 59-95, vol. 5, p. CCXLVI). C. 39 est cité par Clairaut dans C. 52a (cf. 28 juin 1747 (1)), dans C. 51 (cf. [c. juin] 1757 (1)), dans C. 53 (cf. [c. décembre] 1761). C'est alors que Lalande lit C. 39 et C. 40 que Clairaut et lui décident de s'atteler au retour de la comète (cf. [c. juin] 1757 (1)). Bailly s'appuie sur C. 39 pour ses travaux sur les satellites de Jupiter (Bailly 63b), (Bailly 63c) (Bailly 66a) et (Bailly 66b) (cf. 27 mars 1762 (1), 11 décembre 1762 (1) ; 1766 (3)). C. 39 est mentionné par d'Alembert dans l'article « Problème des trois corps » de l'Encyclopédie (cf. 14 juin 1747 (1)), dans l'article « Lune » de l'Encyclopédie (cf. 15 novembre 1759 (2), dans le vol. 1 de (Alembert 54-56), ainsi que dans le vol. 3 (cf. 17 novembre 1756 (1)), dans le vol. 5 de (Alembert 61-80) (cf. 1768 (4)), par Condorcet dans l'article « Problème des trois corps » du Supplément à l'Encyclopédie (cf. 15 novembre 1747 (1)), par Bossut dans (Bossut 10 (cf. 15 novembre 1747 (1), 1810 (1)), par Lalande dans (Lalande 58a) (cf. 7 juin 1758 (1)), (Lalande 60d) (cf. 16 juillet 1760 (1)), dans (Lalande 61i) (cf. 24 janvier 1761 (1)), dans (Lalande 64a ; Lalande 92) (cf. plus bas et 9 juillet 1757 (1)), et (Montucla 99-02) (cf. 20 décembre 1748 (1)), par [Dionis du Séjour] quand il défend Clairaut dans le Mercure et le Journal helvétique(cf. [c. mai] 1759 (1)). Éloge de Cramer :
Un second voyage qu'il fit à Paris en 1747 à la suite de L. A. S. les princes de Saxe Gotha [...] mit [Cramer] a portée d'être plus connu des sçavans de cette capitale. [...] Il seroit inutile de nommer tous les sçavans de l'Académie, avec lesquelles il fit de nouvelles liaisons. Seulement on ne doit pas oublier que l'illustre M[onsieu]r Clairaut le consulta plusieurs fois [cf. Cramer] avant que de publier sa Theorie des mouvemens de la Lune conséquemment au mouvement de l'attraction (« Eloge de M[onsieu]r Cramer », AD Hérault, D. 200, 17, f. 11). La Caille :
Rem[arque]. Plusieurs géomètres ont démontré que quoique la force perturbatrice [...] puisse causer dans la ligne des apsides de la Lune un mouvement inégal, comme on vient de l'expliquer ; cependant elle ne pouvait produire qu'environ la moitié de la vitesse du mouvement qui a été déterminé par les observations astronomiques, et que par conséquent il devait y avoir d'autres circonstances qui augmentassent l'effet de cette force : sur quoi on peut consulter ce qu'en ont écrit MM. Euler, Clairaut et d'Alembert qui ont cependant déduit du système de la pesanteur le mouvement de l'apogée de la Lune, conforme aux observations (La Caille 55a, p. 321). Jeaurat :
Enfin il y en a une [de solution du problème auquel la règle de Képler sur la proportionnalité des aires donne lieu] de M. Clairaut dans sa Théorie de la Lune [C. 39], et celle que je propose aujourd'hui serait la même que cet illustre académicien, si je n'eusse poussé les calculs plus loins qu'il ne me paraît l'avoir fait. Il est évident qu'il avait ses raisons pour donner des bornes à ses calculs ; le besoin qu'il en avait dans sa savante théorie de la Lune n'exigeait rien au-delà de ce qu'il y a inséré ; il fallait qu'il les poussât jusqu'à la troisième puissance de l'excentricité de l'orbite, et le reste n'aurait pu être qu'une digression dans un ouvrage dont la question présente ne faisait qu'une partie très petite et presque accidentelle. Mais le même problème qui n'était dans les mains de M. Clairaut qu'un instrument, est le seul objet des recherches dont je présente ici le résultat. Je me suis proposer d'en pousser les calculs jusqu'à la sixième puissance de l'excentricité, afin que ma formule puisse également satisfaire à toutes les excentricités des planètes et il ne fallait pas une moindre différence entre la solution de M. Clairaut et la mienne, pour m'engager à m'occuper d'un objet qu'il a déjà traité et qui fait partie d'un Mémoire couronné par l'Académie de Pétersbourg.[...]
Comme ces sortes de solutions exigent l'emploi des formules de trigonométrie, exprimées par des séries infinies, ainsi que de celles dont nous sommes redevables à MM. Euler et Clairaut, je joins ici celles dont j'ai fait les calculs pour tous les cas possibles, ce que l'on ne trouve nulle part et ce qui peut-être n'a jamais été fait (Jeaurat 63c). Lalande dans la première édition de son Astronomie :
L'équation qui en résultera […] répond à l'évection, que M. Mayer fait de 1° 20' 50'', M. Le Monnier 1° 18' 50'', et M. Clairaut 1° 16' 48'' (Lalande 64a, vol. 1, p. 570).
[…]
Cette libration dépend donc du double de la vraie distance de la Lune au Soleil, et produit la Variation, inégalité qui va à 40' ½. Sur quoi j'observe que Tycho avait encore déterminé cette inégalité avec bien de la précision, puisque les dernières tables supposent actuellement la variation de 39 à 40' ; elle est dans M. Clairaut de 39' 54'' (Lalande 64a, vol. 1, p. 571).
[…]
M. Halley n'employait dans ses tables que ces trois petites équations avec l'équation annuelle ; ce n'était pas assez pour parvenir à la précision d'une minute : M. Mayer en a ajouté six autres ; M. Clairaut en emploie 18 indépendamment des quatre grandes équations et de celles de la latitude (Lalande 64a, vol. 1, p. 577).
[…]
Cependant le seul principe de l'attraction en raison inverse du quarré de la distance, devrait suffire, ce semble, pour calculer, sans le secours de l'observation, toutes les petites inégalités de la Lune ; c'est ce qu'ont entrepris les plus fameux géomètres de ce siècle, M. Euler, M. Clairaut, M. d'Alembert, et plusieurs autres après eux ; mais ils conviennent presque tous qu'il est douteux qu'on puisse parvenir à fixer par la seule théorie toutes ces petites inégalités. On trouvera dans le XXIIe Livre la forme et les principes de ces recherches ; nous n'en suivrons pas le détail pour chacune des inégalités de la Lune, parce que ce détail est prodigieux, et qu'il exigerait des volumes : d'ailleurs ceux qui ont eu la constance de les faire, n'ont pas encore pu se déterminer à les publier ; on trouvera tout ce qui s'est fait là-dessus dans trois ouvrages que nous allons indiquer, qui sont de MM. Clairaut, d'Alembert et Euler.
1157. L'ouvrage de M. Euler a pour titre Theoria motus Lunae exhibens omnes ejus inaequalitates, authore L. Eulero, Petropoli, 1753, in-40, 347 pages [(Euler 53)]. Ce livre avait été précédé par un grand nombre de calculs sur la même matière, qui se trouvent dans différents mémoires de M. Euler, et par des tables de la Lune qu'il publia à Berlin dans ses Opuscules en 1745. Ces tables furent ensuite corrigées et publiées dans l'Almanach astronomique de Berlin pour 1750.
Le second ouvrage est la Pièce de M. Clairaut qui a remporté le prix de l'Académie impériale des sciences de S[aint] Pétersbourg proposé en 1750 sur la théorie de la Lune, imprimé à Pétersbourg dès l'année 1752, en 92 pag[es] in-4° [C. 39] et dont M. Clairaut fait imprimer actuellement (Décembre 1763), une nouvelle édition [C. 392=C. 412]. Cette pièce avait été précédée par un grand nombre de recherches dont M. Clairaut donna l'ébauche dans les Mémoires de l'Académie pour les années 1745 [C. 33] et 1748 [C. 40], et elle fut suivie des Tables de la Lune, imprimées en 1754 [C. 41], in-8°. dont M. Clairaut fait imprimer aussi une nouvelle édition.
1158. Le troisième ouvrage où l'on peut approfondir cette matière, est celui de M. d'Alembert qui a pour titre : Recherches sur différens points importans du système du monde [(Alembert 54-56)], première partie, 1754, in-4°. 260 pages (Lalande 64a, vol. 1, pp. 580-581). […]
Équation du centre […] Clairaut, 6 18 1 […] L'excentricité moyenne, employée par M. Clairaut, est 0, 05505, ou 5505 parties, dont la distance moyenne contient 100 000 (Lalande 64a, vol. 1, p. 582).
[…]
Mais comme M. Mayer ne répondait pas de ces latitudes à une minute près, et qu'on y trouve même quelquefois des erreurs de 2 minutes, on peut négliger cette petite correction, jusqu'à ce qu'on emploie dans le calcul de la latitude un plus grand nombre d'équation comme M. Clairaut l'a fait dans ses tables de la Lune (Lalande 64a, vol. 1, annexe, p. 35).
[…]
M. Clairaut trouve que l'on aurait dans ce cas là [maths] (Pièce sur la théorie de la Lune [C. 39], art[icle] XXXI). Il résout dans le même endroit l'équation plus compliquée [maths], et elle lui est nécessaire pour la théorie de la Lune où il y a trois termes assez considérables (Lalande 64a, vol. 2, p. 1283).
[…]
Les calculs de l'attraction, et ceux où l'on fait usage des anomalies ou des rayons vecteurs, exigent que ces quantités soient exprimées analytiquement, ainsi que M. Clairaut l'a fait dans sa théorie de la Lune : voici les formules qu'il a calculées pour cet effet, mais dont il n'avait pas donné l'analyse ; je la rapporterai telle qu'il me l'a communiquée. On trouvera les mêmes formules par une autre méthode dans un Mémoire de M. Jeaurat (Mémoire présentés à l'Académie, t[ome] IV [(Jeaurat 63c)]). […] Soit [maths] (Lalande 64a, vol. 2, p. 1308).
[…]
Ainsi l'expression du temps qui répond à une arc est [maths]. M. Clairaut en a fait usage dans sa Théorie de la Lune (Lalande 64a, vol. 2, p. 1351).
[…]
M. Clairaut fait usage de ce théorème dans sa théorie de la Lune ; c'est pourquoi j'ai pensé qu'on serait bien aise d'en trouver ici la démonstration. J'en ai moi-même indiqué l'usage (2792) (Lalande 64a, vol. 2, p. 1547). Dans la dernière édition :
Cette seconde inégalité de la Lune, qui, suivant Ptolémée, était de 1° 19' 1/2, et, suivant Tycho, 1° 15', est dans les tables de Flamsteed 1° 18' 50'', dans les nôtres 1° 20' 28'', dans celles de d'Alembert 1° 18' 18'', et dans celles de Clairaut 1° 16' 18'' ; mais d'Alembert observe que cette équation de Clairaut ne répond qu'à une partie équivalente à 1° 16' 12" dans les anciennes tables de Mayer, parce que la forme des équations étant différente, il faut les décomposer pour pouvoir les comparer ensemble (Recherches, etc. [(Alembert 54-56), cf. 17 novembre 1756 (1)] III, 27). Nous donnerons une idée de la manière dont l'attraction du Soleil produit cette inégalité (3637) (Lalande 92, vol. 2, p. 167).
[…]
Cette libration dépend donc du double de la vraie distance de la Lune au Soleil, et produit la Variation. Tycho avait encore déterminé cette inégalité avec assez de précision, puisqu'il la faisait de 40' 30'' : or elle est dans Flamsteed 40' 34'', dans Clairaut de 39' 54'', et dans les anciennes tables de Mayer 40' 43'', et dans les nouvelles tables 35' 41'', sans y comprendre les petites équations qu'on a renfermées dans la même table (Lalande 92, vol. 2, p. 169).
[…]
L'équation annuelle est de 11' 20'' dans les tables d'Euler (Almanach de Berlin, 1750) et dans les premières tables de Clairaut [C. 39], de 12' 57'' dans celles de d'Alembert (Recherches etc. [(Alembert 54-56)], pag[e] 230). Mayer la fait dans ses secondes tables de 11' 16'', sans doute d'après les observations ; car la théorie de l'attraction ne la détermine pas d'une manière assez exacte : aujourd'hui on la fait de 11' 8'' 6 (Lalande 92, vol. 2, p. 171).
[…]
Tobie Mayer, qui avait étudié ces calculs dans la pièce d'Euler dur Saturne [(Euler 49b)], calcula aussi, en 1751, 17 équations pour la Lune, et il différait peu de Clairaut, qui s'occupait vers les même temps des mêmes recherches (Lalande 92, vol. 2, p. 175).
[…]
L'équation semestre […] Clairaut la faisait de 2' 13''.
1463. L'équation de 60'', qui dépend de la double distance du Soleil au nœud, ou l'équation semestre d'Halley, et la dixième dans nos tables, vient de ce que l'action du Soleil sur la Lune est un peu plus grande quand la ligne des nœuds passe par le Soleil ; elle était de 47'' dans Newton, où elle formait la troisième équation. Clairaut la fait de 1' 21'', d'Alembert de 1, 9'' (Recherches, etc [(Alembert 54-56)], pag[e] 28. Mayer l'avait faite de 58'' : elle est ici de 60'' (Lalande 92, vol. 2, p. 177).
M. Halley n'employait que ces trois petites équations avec l'équation annuelle ; ce n'était pas assez pour parvenir à la précision d'une minute : M. Mayer en ajouta six autres ; M. Clairaut en employait 18 indépendamment des quatre grandes équations et de celles de la latitude ; il y a en autant dans nos tables.
1465. La septième équation, suivant Newton et Flamsteed, est de 2' 20'', dans les quadratures ; elle dépend de la Lune au Soleil ; et elle est soustractive dans les six premiers signes de la distance ; Mayer la fait de 1' 57'' et Clairaut de 3' 40 (Lalande 92, vol. 2, p. 177).
[…]
On trouve dans la seconde édition des tables de Clairaut [C. 392=C. 412], fait en 1765, une formule du lieu de la Lune, dans laquelle il n'employait que les longitudes moyennes du Soleil et de la Lune, ce qui en rendait l'usage plus facile : mais le nombre de ces équations est un peu plus considérable, et je crois que l'exactitude de ces tables n'est pas aussi grande, à en juger par les erreurs dont on trouve le catalogue dans la Connoissance des temps de 1783 (Lalande 92, vol. 2, p. 181).
[…]
J'aurais voulu donner ici une notion plus distincte de toutes ces inégalités de la Lune, leur quantité, la manière dont on les a découvertes et dont on peut les constater ; mais dans tout ce qui s'est fait jusqu'ici sur cette matière, il y a encore trop d'incertitude et d'obscurité. Clairaut emploie 22 équations, Euler en emploie 42 dans ses dernières tables de 1772 [(Euler 72)] : mais les géomètres qui s'en sont occupés depuis 1745, n'ont point donné les détails de leurs procédés, et ne sont point d'accord sur les quantités des équations, sur leur utilité, sur leur exactitude ; il se passera bien des années avant qu'on puisse éclaircir cette matière dans un simple traité d'astronomie (Lalande 92, vol. 2, p. 181).
[…]
Cependant le seul principe de l'attraction devrait suffire, ce semble, pour calculer, sans le secours de l'observation, toutes les petites inégalités de la Lune ; c'est ce qu'ont entrepris les plus habiles géomètres de ce siècle : mais d'Alembert avoue que la valeur des coefficients des équations lunaires, trouvés par la théorie, est encore fort incertaine. « Il me paraît très douteux (ajoute-t-il) qu'on puisse parvenir à les fixer par la théorie seule ; il ne faut pas se presser d'assurer aux tables de Mayer l'exactitude astronomique ; d'ailleurs il y a employé un tâtonnement fait sur les seules observations » (Mercure de sept[embre] 1757 [cf. [c. septembre] 1757]). D'Alembert dit à peu près la même chose, en plusieurs endroits de ses Recherches, sur la nécessité d'avoir recours aux observations pour déterminer ces coefficients ([(Alembert 54-56)] III, 31).
1477. Clairaut, dans le Journal des sçavans (déc[embre] 1757 [février 1758 !, cf. 11 janvier 1758 (1)] [C. 46]), répondit que Mayer n'avait omis dans ses tables aucune des équations qui sont essentielles pour la longitude de la Lune, et qui ne demandent pas une extrême attention dans les calculs de la théorie, et cette réponse indique encore que, dans les autres équations qu'on peut ajouter à celles de Mayer, il reste quelque doute du côté de la théorie : je sais d'ailleurs que Clairaut a fait un grand usage des observations pour rectifier les coefficients de ses équations, et qu'il a varié beaucoup sur la valeur de quelques-unes.
1478. On trouvera dans le XXIIe livre la forme et les principes de ces recherches (3625). Nous n'en suivrons pas le détail pour chacune des inégalités de la Lune, parce que ce détail est prodigieux, et qu'il exigerait des volumes ; on trouvera tout ce qui s'est fait là dessus dans les ouvrages de Clairaut, d'Alembert, et Euler, savoir, dans la pièce de Clairaut imprimée en 1752 [C. 39] et 1765 [C. 392=C. 412], dans la théorie d'Euler 1753 [(Euler 53)] et 1772 [(Euler 72)], et dans les Recherches sur différens points importans du système du monde, par M. d'Alembert, 1754 [(Alembert 54-56)] (Lalande 92, vol. 2, p. 182).
[…]
Équation de l'orbite […] Clairaut, 6 18 1 […] L'excentricité moyenne, employée par M. Clairaut, d'après Flamsteed et Halley, est 0, 05505, ou 5505 parties, dont la distance moyenne contient 100 000. Dans la suite, il la diminua de 1/171, pour rapprocher sa formule des observations auxquelles il l'avait comparée, mais il a conservé la première dans sa seconde édition [C. 392=C. 412], page 59 (Lalande 92, vol. 2, p. 184).
[…]
On trouverait alors [maths] (Théorie de la Lune [C. 39], art[icle] XXXI). On trouve dans le même livre l'équation plus composée [maths], et elle est nécessaire pour la théorie de la Lune, où il y a trois termes assez considérables (Lalande 92, vol. 3, p. 369).
[…]
[Cagnoli] m'a dit n'y avoir employé que neuf heures de temps, tandis que M. Bardin, géomètre de Sens, avait employé plusieurs jours par la méthode de Clairaut, que j'avais expliquée dans les premières éditions de ce livre [(Lalande 64a), vol. 2, p. 1308] (Lalande 92, vol. 3, p. 388).
[…]
Donc enfin le temps qui répond à une arc est [maths]. M. Clairaut en a fait usage dans sa Théorie de la Lune, p. 19 de l'édition de 1765 [C. 392=C. 412] (Lalande 92, vol. 3, p. 429).
[…]
[Cette force] est la force qui agit perpendiculairement au rayon vecteur, et que nous appellerons [$\pi$ avec Clairaut.] (Lalande 92, vol. 3, p. 440).
[…]
[…]
Clairaut fait usage de ce théorème dans sa théorie de la Lune ; c'est pourquoi j'ai cru devoir en donner ici la démonstration que l'auteur avait supprimer pour abréger. J'en ai moi-même indiqué l'usage (Lalande 92, vol. 3, p. 585). Lalande dans l'article « Aphélie (Astronom.) » du Supplément à l'Encyclopédie :
Voici le résultat des calculs que j'ai faits sur toutes les planètes, en construisant mes tables, pour avoir le lieu de l'aphélie en 1750, avec le changement pour cent ans ; il devrait n'être que de 1d. 23' 54''comme celui de la précession des équinoxes ; si les aphélies étaient aussi fixes que les étoiles, et qu'ils n'eussent d'autre changement de longitude que celui qui vient de la rétrogradation du point équinoxial, d'où l'on compte ces longitudes; mais il est prouvé que tous les aphélies ont un mouvement causé par l'attraction des autres planètes, ainsi que la lune dont l'apogée a un mouvement rapide causé par l'attraction du Soleil : on peut voir le calcul de ce mouvement de l'aphélie, produit par les attractions étrangères, dans le xxiie livre de mon Astronomie, et dans les ouvrages de MM. Euler, d'Alembert, Clairaut, sur l'attraction (Lalande 76c). Lalande dans l'article « Nœuds » du Supplément à l'Encyclopédie :
J'ai donné avec un grand détail le calcul du mouvement de chaque planète produit par l'action de toutes les autres dans les Mémoires de l'Académie pour 1758 et 1761. M. Euler, M. d'Alembert, M. Clairaut ont donné le calcul du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire, mouvement qui est beaucoup plus composé, à cause de l'attraction du Soleil (Lalande 77b). Y dans l'article « Lune » de l'Encyclopédie méthodique, Marine :
Cette seconde inégalité est connue sous le nom l'évection de la Lune. Cette inégalité introduit une nouvelle équation, qui est proportionnelle au sinus du double de la distance de la Lune au Soleil, moins l'anomalie moyenne de la Lune. Sa quantité n'est point encore exactement déterminée. Dans les tables de M. Mayer, elle est de 1° 20' 34'', dans celles de M. d'Alembert, de 1° 18' 18'', dans les premières tables de M. Euler, de 1° 18' 49'', et dans celles de M. Clairaut [C. 392 ?] de 1° 16' 16''.
[…]
Ceux à qui on est redevable du degré de perfection où s'est élevée cette partie de l'astronomie physique, sont MM. Euler, d'Alembert et Clairaut, lesquels commencèrent en même temps à s'en occuper, il y a environ 40 ans. M. Clairaut fut le premier qui publia ses recherches, lesquelles remportèrent le prix de Pétersbourg en 1750, et furent imprimées en 1752 [C. 39]. M. Euler publia ensuite les siennes sous le titre de Theoria motus Lunae exhibens omnes ejus inaequalitates à Pétersbourg, en 1753 [(Euler 53)]. Ce ne fut qu'un an après que parurent celles de M. d'Alembert dans le premier volume de son ouvrage, qui a pour titre, Recherches sur différent points importants du système du monde [(Alembert 54-56)], quoique son travail fût fini dès la fin de 1760 [!] ; et depuis il n'a cessé de s'occuper du même objet et de perfectionner la théorie qu'il avait donnée ainsi qu'on peut le voir dans les 2e, 3e et 4e volumes de ses Opuscules [(Alembert 61-80)]. C'est aussi ce qu'a fait M. Euler de son côté. […] (Y 83-87). Montucla, édité par Lalande :
Tel était, à cet égard, l'état des choses, lorsque l'Académie de Pétersbourg jugea avec raison que le sujet de la théorie du mouvement de la Lune, méritait d'être proposé pour l'un de ses prix d'astronomie physique ; elle proposa donc en 1750, pour le prix de l'année 1762, d'examiner si toutes les inégalités qu'on observe dans le mouvement de la Lune sont conformes a la théorie de Newton, et quelle est la véritable théorie de ces inégalités, d'après laquelle on puisse déterminer avec exactitude le lieu de la Lune à un moment donné ? Clairaut remporta ce prix, et sa pièce fut imprimée la même année à Pétersbourg, in 4° [C. 39]. Il donna à ce travail un nouveau prix, en construisant de nouvelles tables lunaires qu'il publia en 1754 sous le titre de Tables de la Lune, calculées suivant la théorie de la gravitation universelle, Paris, in-8°.
Ces tables étaient plus exactes que celles d'Euler, et l'un et l'autre ont continué à les perfectionner, ainsi que d'Alembert, qui en publia vers le même temps, quoique avec moins de succès, faute d'y avoir employé des observations.
Clairaut publia en 1765 une nouvelle édition de sa pièce, couronnée en 1752 à Pétersbourg, avec beaucoup d'augmentations et de changements [C. 392=C. 412]. On trouva, dans cette édition, indépendamment de beaucoup de calculs révisés ou simplifiés, et même souvent poussés beaucoup plus loin, de nouvelles Tables de la lune un peu différentes pour la forme de celles qu'il avait publiées en 1754. On y trouve aussi la comparaison de près de deux cents observations choisies, communiquées par Bradley et Maraldi, avec le calcul résultant de ses tables, et l'on y vit avec surprise et satisfaction, que sur toutes ces observations, il yen avait neuf sur dix qui s'accordaient à moins d'une minute, souvent à quelques secondes près avec le calcul, mais il s'en est trouvé beaucoup qui se sont écartées de plus de deux minutes.
On sent aisément que nous ne pouvons suivre Clairaut au travers des calculs prolixes et multipliés qu'il lui fallut entreprendre pour parvenir aux résultats qu'il atteignit enfin. Nous renvoyons à l'Astronomie de la Lande [(Lalande 92)], où tous les éléments de ces calculs sont démontrés avec une extrême simplicité, et la méthode rendue pour ainsi dire élémentaire (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 60-70). Montucla remarque ensuite que le traitement de C. 39 dans (Alembert 54-56) provoque une querelle entre Clairaut et d'Alembert (cf. Juin 1757 (1)). Puis continue :
Un nouvel aliment à cette animosité [entre Clairaut et d'Alembert] se présenta en 1758. Clairaut annonça à l'Académie [cf. 15 novembre 1758 (1)] le calcul de l'effet que l'action des planètes supérieures avait pu produire sur le retour de la fameuse comète de I531, 1607 et 1682, attendu pour la fin de 1758. Clairaut pensait que sa solution du problème des trois corps se prêtait plus facilement que toute autre au cas particulier d'une comète, dont l'orbite est extrêmement excentrique, en sorte que tous les abrégés de calcul, résultant de la possibilité de négliger sans erreur sensible plusieurs termes de l'équation de la courbe, ne peuvent plus avoir lieu ici. D'Alembert lui contesta cet avantage, et la prédiction du retour de la comète établie sur les calculs de Clairaut, ayant retardé d'un mois sur l'événement, il parut divers écrits anonymes, dans lesquels on cherchait à rendre cette erreur monstrueuse, en prétendant que cette différence d'un mois devait se comparer à la différence des deux dernières révolutions, et non à la durée d'une révolution moyenne, ou plutôt de deux révolutions [cf. [c. mai] 1759 (2), [c. 15 juillet] 1759]. Il voulait même la comparer à un temps beaucoup plus court ; il était facile à Clairaut de voir qu'une prétention aussi injuste ne pouvait venir que de d'Alembert ; c'est pourquoi, indépendamment des réponses qu'y fit La Lande [cf. 10 juillet 1759 (1)], comme coopérateur de ce travail, Clairaut crut devoir repousser par lui-même cette attaque, ce qu'il fit par une réponse insérée au Journal des sçavans de novembre 1759 [cf. Novembre 1759 (1), en fait C. 49, cf. 11 août 1759 (1)]. Cette querelle se prolongea encore quelques années par des écrits publiés de part et d'autres, dans le Journal des sçavans de décembre 1761 [C. 53, cf. [c. décembre] 1761], et le Journal encyclopédique de février 1762 [cf. 18 janvier 1762 (1)].
En juin 1762, Clairaut rassembla en quelque sorte toutes ses forces, et publia dans le Journal des sçavans de Nouvelles Réflexions sur la contestation entre d'Alembert et lui, non seulement sur la comète de 1759, mais aussi sur la théorie de la Lune [C. 55, cf. [c. juin] 1762 (1)]. Elles paraissent avoir terminé la discussion [non !, cf. 5 juillet 1762 (1), d'ailleurs abominable pour Lalande] ; car je ne sache pas que d'Alembert y ait rien opposé ; soit qu'il n'ait eu rien à y répliquer, soit qu'il ait cru avoir suffisamment mis les juges impartiaux à portée de prononcer. Il ne m'appartient pas de me mettre de ce nombre ; mais cependant, je dirai qu'il me semble que Clairaut eut en tout ceci le mérite des procédés ; et quand au fond, j'ajouterai qu'il semble que le public, sans rien perdre de la haute estime due à d'Alembert, a mis le travail de Clairaut, du moins quant à ses tables, au-dessus de celui de son concurrent. Les astronomes d'Angleterre, en particulier, paraissent en avoir pensé ainsi, par le silence qu'ils ont gardé sur celles de d'Alembert, dans l'appréciation faite des tables de Mayer, Euler et Clairaut, appréciation dans laquelle on n'a donné aucune place à celles de d'Alembert (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 72-73). Montucla mentionne encore C. 39 quand il évoque la participation de Lalande aux calculs de la comète (cf. [c. juin] 1757 (1)). C. 39 est évoqué par Laplace, dans son Traité de mécanique céleste et dans son Exposition du système du monde (cf. 15 novembre 1747 (1)) ou dans la CDT (cf. 13 janvier 1759 (1)). Après avoir d'abord pensé publier ce travail [Theoria motus lunae] [(Euler 53)] à la suite du mémoire primé de Clairaut, [Euler] l'imprima séparément à Berlin en 1753 (Henry 07, p. 171). Des corrections aux tables de Halley, Clairaut, d'Alembert et Mayer se trouvent dans les papiers de Nevil Maskelyne, dans Royal Greenwich Observatory Archives conservées à la Cambridge University Library, sous la cote RGO 4/67 (catalogue en ligne). C. 39 (en fait C. 392) est étudié dans (Tournès 96, pp. 249-267). Si, du côté de la mécanique céleste triomphante, c'est le point de vue de d'Alembert qui recueillit tous les honneurs et déboucha sur la théorie moderne des perturbations, par contre, du côté de l'analyse pure, il nous semble que c'est Clairaut qui a ouvert la voie conduisant à la méthode des approximations successives de Picard, à la nouvelle démonstration du théorème d'existence de Cauchy-Lipschitz et, plus généralement, au théorème du point fixe de Banach. Dans la suite de ce chapitre, nous étudierons comment les idées de Clairaut firent timidement leur chemin tout au long du 19e siècle avant d'être pleinement exploitées à partir de 1890. Pour rendre justice à Clairaut, nous proposerions volontiers que la méthode des approximations successives soit appelée méthode de Clairaut-Picard. De même que, dans la méthode d'Euler-Cauchy, c'est Euler qui exposa le principe formel de la méthode polygonale avant que Cauchy ne la transforme en un théorème rigoureux d'existence, dans la méthode de Clairaut-Picard, c'est Clairaut qui, le premier, conçut le principe d'une équation intégrale à point fixe avant que Picard n'établisse, en toute généralité, la convergence du processus itératif associé (Tournès 96, p. 267).