Alexis Clairaut (1713-1765)

Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765)


18 novembre 1761 (2) : Opuscules de d'Alembert :
M[onsieu]r d'Alembert a présenté un exemplaire de ses deux volumes d'opuscules mathématiques (PV 1761, f. 205r).

Gallica

Dans l' « Avertissement » :
Dans le douzième mémoire, après avoir montré, contre la prétention d'un savant géomètre, que la théorie des perturbations des comètes est contenue dans la solution que j'ai donnée dès 1747 du problème des trois corps, je perfectionne cette théorie ; j'en simplifie la pratique par différents moyens que je propose pour cet effet ; et je parviens à une méthode pour calculer les perturbations des comètes, plus simple, ce me semble, plus abrégée et plus facile, que ce qui a été publié jusqu'à présent sur cette matière. L'Académie de Petersbourg a proposé ce problème pour sujet du prix qu'elle doit distribuer cette année, et elle exige qu'on y joigne l'application de la théorie de la comète de 1759. Comme je n'ai eu connaissance que fort tard du programme, je n'ai pas eu le temps nécessaire pour entreprendre ce calcul, dont la longueur énorme est d'ailleurs seule capable de rebuter, quand on n'est aidé par personne. Je me suis donc contenté de faire part aux géomètres de ma méthode, dont j'ai exposé le procédé avec le plus grand détail, et avec toute la clarté qui m'a été possible : et je me flatte qu'il y aura point de calculateur tant soit peu intelligent, qui sur cet exposé ne puisse entreprendre de déterminer les altérations du mouvement des comètes, puisque j'ai eu soin de lui mettre sous les yeux la suite des opérations qu'il doit faire, et qu'il n'y a plus absolument qu'à substituer aux quantités algébriques les nombres qui conviennent à chaque comète en particulier.
J'examine dans le treizième mémoire la différence qui s'est élevée entre les géomètres au sujet de la différence d'un mois qui s'est trouvée entre la prédiction du retour de la comète de 1682, et l'observation de ce même retour. Je prouve que cette différence ne doit point être comparée (comme on l'a prétendu) à la période entière, encore moins à la somme de deux périodes consécutives, mais seulement à la différence de ces deux périodes, qui n'est que de 18 mois ; et qu'ainsi la différence entre le calcul et l'observation est au moins d'un dix-huitième, et non pas de 1/1 800. Je prouve même, qu'en faisant la répartition la plus vraisemblable et la plus naturelle des erreurs commises dans les différents résultats, l'erreur du dernier résultat a dû être vraisemblablement un cinquième du total ; ce qui doit être uniquement imputé à la nature des circonstances du problème, qui n'a pas permis un plus grande précision dans les calculs.
Le quatorzième mémoire est destiné à défendre ma solution du problème des trois corps contre les objections qu'on y a faites ; et à montrer les avantages de cette solution sur celles qui ont été données du même problème.
Ce mémoire est suivi de nouvelles Tables de la Lune, d'une forme très commode et très simple. J'ai d'autant plus lieu d'espérer que les astronomes en feront usage, que je les crois d'ailleurs assez exactes. M. Cousin, habile mathématicien, qui a bien voulu m'aider dans le calcul de ces tables, s'en étant servi pour déterminer plusieurs lieux de la Lune, n'a jamais trouvé une minute de différence entre le calcul et l'observation.
[…]
Telles sont les différentes matières traitées dans ces Opuscules. La plupart des mémoires qu'elles contiennent peuvent fournir le sujet de plusieurs autres, comme il est aisé de s'en convaincre en les lisant ; et je me propose de donner de temps en temps une suite à ces deux volumes, autant que mes autres occupations pourront me le permettre.
Au reste, je me flatte que les savants géomètres, dont j'ai cru pouvoir attaquer les assertions, presque toujours pour ma propre défense, ne m'en sauront pas mauvais gré ; en combattant leurs opinions, je fais tous les égards que je dois à leur personne et à leur mérite, et je ne crois pas m'en être écarté (Alembert 61-80, vol. 1, pp. x-xiv ; AIII/1, pp. 3-10).

Dans le « Huitième mémoire. Remarques sur quelques questions concernant l'attraction » :
J'ai dit dans mes Recherches sur la cause générale des vents [(Alembert 47a), cf. 14 décembre 1746 (1)], article 31, page 42, que si la Terre eût été un sphéroïde allongé, il n'eût pas été nécessaire d'avoir recours, pour expliquer ce phénomène, comme l'ont fait quelques auteurs, à un noyau allongé [Voir, par exemple, A. Clairaut [dans C. 29, pp. 224-225] [...] Il ne dit cependant pas que cette condition est nécessaire. Quoi qu'il en soit, Clairaut prête peu d'intérêt à l'hypothèse de l'allongement, les observations ayant selon lui prouvé l'aplatissement NDE], et qu'il aurait pu se faire qu'avec un noyau intérieur aplati la Terre eût été allongée vers les pôles. Cette vérité est une suite nécessaire et immédiate des formules que j'ai données au même endroit que je viens de citer. Cependant un géomètre italien [Boscovich dans (Boscovich 55), cf 1755 (2)], qui a du nom dans les mathématiques, l'a attaquée par cette considération, que si le noyau intérieur était aplati, et qu'on dérangeât le fluide extérieur de son état d'équilibre, il n'y reviendrait jamais, au lieu qu'il y reviendrait de lui-même si le noyau intérieur était allongé, d'où il conclut que cette dernière hypothèse est la seule propre à rendre raison de l'équilibre.
Je pourrais d'abord répondre que dans toutes les recherches qu'on a faites jusqu'ici sur la Figure de la Terre, il n'a jamais été question que de l'état d'équilibre. […] Il est vrai que la plupart de ceux qui ont traité de la figure de la Terre ont supposé que δ devait toujours être < Δ, les couches les plus voisines du centre, devant selon eux, être les plus denses [Par exemple Clairaut [dans C. 29] NDE]. Mais cela n'est nullement nécessaire [Mais c'était de plus en plus admis NDE] (Alembert 61-80, vol. 1, pp. 246-247, 252 ; AIII/1, pp. 301-302, 306).

Dans le « Douzième mémoire. Application de ma solution du problème des trois corps à la théorie des comètes [cf. 14 juin 1759 (1)] » :
VIII
1. Il est donc constant par tout ce qu'on vient de lire que ma solution du problème des trois corps, lue en 1747 avant aucune autre, et imprimée dans les Mémoires de de 1745 [(Alembert 45a ; AI/3, pp. 31-58)], n'est pas moins applicable à la théorie des perturbations des comètes, qu'à celle des planètes et, que le mémoire cité contient absolument tous les principes, et même toutes les formules nécessaires pour cette application.
2. Un savant géomètre a prétendu dans un écrit publié au mois d'août 1759 [C. 49, cf. 11 août 1759 (1)], que jusqu'à ce moment, je n'avais point donné de solution du problème des trois corps, applicable au mouvement des comètes. Cependant, il a reconnu depuis, qu'en 1754, dans mes Recherches sur le système du monde [(Alembert 54-56)], seconde partie, page. 230, j'avais donné une formule applicable à ce mouvement, cinq ans avant que personne pensât à le calculer. Si les occupation de ce géomètre lui eussent permis de jeter les yeux sur mon mémoire de 1745, il aurait vu que la formule, que j'ai donnée en 1754, ne diffère point du tout de celle de mon mémoire de 1745, puisque j'ai dit expressément dans ce dernier mémoire, que pour faire évanouir les imaginaires de la valeur de t, il fallait faire [maths], ce qui donne ma formule de 1754 par un calcul que le plus ignorant algébriste peut faire en un moment. Voyez aussi sur cela mon Mémoire intitulé Réflexions sur le problème des trois corps, imprimé dans ce volume (Alembert 61-80, vol. 2, pp. 100-101).
[...]
XV
[…]
4. Ceux qui ont calculé jusqu'à présent les perturbations des comètes ont bien trouvé, par une méthode qui leur est particulière, et qui est très différente de la précédente, que quand la comète est dans les région supérieure de son orbite, on peut abréger considérablement le calcul des perturbations causées par l'action de la planète perturbatrice sur le Soleil. Mais ils n'ont pas remarqué (ce qui est moins important) que le calcul pouvait encore être considérablement abrégé en combinant l'action de la planète sur la comète avec son action sur le Soleil. C'est la considération du satellite qui nous a menés à cette simplification du problème.
5. Nous y avons été conduits d'une manière assez naturelle, par la remarque que nous y avions déjà faite dans nos Recherches sur le système du monde, seconde partie, art[icle] 218 et 219. […]
6. Au reste cette proposition sur l'orbite sensiblement elliptique du satellite […] a été communiquée à M. Clairaut, le 13 août 1759 [cf. 13 août 1759 (1)], longtemps avant qu'il ait rien paru sur la théorie du mouvement des comètes ; et je l'avais communiquée à M. Bézout dès le mois de juin précédent. Elle se trouve d'ailleurs dans des papiers remis au secrétariat de l'Académie des sciences dans les mêmes mois de juin et août 1759. Je rapporte ces faits uniquement afin qu'on ne me taxe pas d'avoir rien appris sur cela d'aucun autre géomètre, ni rien emprunté d'aucun autre ouvrage (Alembert 61-80, vol. 2, pp. 110-111).
[…]
Conclusion
[…]
5. Un savant géomètre a donné dans sa Théorie des comètes [C. 51] une méthode ingénieuse pour abréger le calcul de la perturbation qui vient de l'action des planètes sur le Soleil. Cette méthode est telle, que la perturbation étant une fois calculée pour une révolution, elle le sera pour une révolution quelconque. Mais 1° La méthode suppose, comme ce géomètre le remarque, qu'on néglige l'excentricité et l'inclinaison de l'orbite de la planète perturbatrice, ce qui ne peut être permis que dans certains cas. 2°. Dans la comparaison de deux révolutions successives, cette méthode qui abrège extrêmement, et qui réduit presque à rien le calcul de la perturbation de la seconde révolution, double le calcul de la première [maths NDA] ; ainsi le calcul n'est point réellement abrégé par cette méthode, lorsque l'on ne considère que deux révolutions successives. Il est vrai qu'il le sera beaucoup lorsqu'on calculera plus de deux révolutions ; mais alors il faut non seulement qu'on puisse négliger sans crainte l'excentricité et l'inclinaison de le planète perturbatrice, il faut de plus que dans toutes les révolutions on suppose à la comète la même orbite elliptique primitive, et indépendante des perturbations, ce qui pourrait n'être pas sans inconvénient dans certains cas, où les ellipses primitives répondantes à chaque révolution, peuvent différer de plusieurs années (Alembert 61-80, vol. 2, pp. 213-214).

Dans le « Treizième mémoire. Réflexions sur la comète de 1682 et 1759 » :
Cette comète, dont le retour a été prédit par M. Halley, et calculé par M. Clairaut, a excité parmi les savants quelques contestations. Nous allons en rendre compte, et donner en même temps le moyen des les décider.
[…]
Cependant on ne saurait douter que M. Halley n'ai fait quelque essai de calcul sur l'action de Jupiter. […] On peut dire que ce calcul a été fort exact dans son résultat, puisque ce calcul ne différait de l'observation que d'environ trois mois, et que ces trois mois, suivant M. Clairaut, sont l'effet de l'action de Saturne, que M. Halley n'a pas calculé.
[…]
5. Ce que M. Halley n'avait pas fait, M. Clairaut l'a entrepris. La solution du problème des trois corps, qu'il avait trouvée conjointement avec M. Euler et moi, et qui est le seul moyen de calculer rigoureusement l'action des planètes les unes sur les autres, l'a mis en état d'appliquer, ou faire appliquer, les opérations arithmétiques à la formule qu'il avait trouvée (conjointement avec nous) pour la solution de ce problème ; et au mois de novembre 1758, plus de 76 ans après la dernière apparition de la comète, il annonça qu'en vertu de l'action de Jupiter et de Saturne, elle ne repasserait à son périhélie que ver le 15 avril 1759. Elle y a passé le 12 mars, ce qui fait 33 jours de différence entre le calcul et l'observation.
6. Quelques astronomes, en conséquence du calcul de M. Clairaut, se hâtèrent de dresser les éphémérides du mouvement de la comète, qui furent même lues à l'Académie des sciences. Mais le calcul de ces éphémérides donnait les lieux de la la comète à 40, 50 degrés, et au-delà, du lieu où elle était réellement. En conséquence, les astronomes qui avaient aidés M. Clairaut dans ses calculs, cherchant la comète où elle n'était pas, ne la pouvait trouver. Il est vrai qu'ils avaient tort de s'en rapporter si servilement à ces calculs, puisque M. Clairaut lui-même avait averti qu'il pouvait bien s'être trompé d'un mois en excès ou en défaut.
7. La différence de plus d'un mois entre le calcul de M. Clairaut et l'observation, différence qui avait empêché les astronomes d'apercevoir la comète, a été l'objet d'une grande dispute parmi les mathématiciens. Les uns ont prétendu que l'erreur était très légère, attendu qu'elle devait être comparée, non seulement à la révolution totale qui est de 75 ou 76 ans, mais à la somme de deux révolutions consécutives, c'est-à-dire à plus de cinquante ans, ce qui ne fait pas la 1 800e partie du tout. D'autres au contraire ont soutenu qu'il fallait comparer cette différence d'un mois, non à la somme, mais à la seule différence des deux périodes consécutives, laquelle est de 18 mois, et qu'ainsi l'erreur est au moins d'un dix-huitième. Il y en a même qui ont été plus loin, et qui ont fait monter cette erreur à un quart du total. Voyez le Journal encycl[opédique] de juillet 1759, tome 2, p. 117 [cf. [c. 15 juillet] 1759]. Je vais si je ne me trompe, donner des principes bien simples pour décider cette contestation.
[…]
14. Par cet exposé du calcul, il est aisé, ce me semble de démontrer que la différence du calcul à l'observation doit être comparée, non à la somme, mais à la différence des deux périodes respectives. En effet 1. On convient unanimement, et M. Clairaut l'a très bien remarqué [maths].
15. M. Clairaut est lui-même à l'appui de ce raisonnement [Réponse à quelques pièces, etc., 1759 NDA C. 49 NDM] : « la différence des deux périodes, dit-il, est bien l'objet que je me suis proposé de mesurer, mais il n'en était pas plus susceptible de mesure immédiate, il fallait toujours calculer les perturbations de deux périodes. Pourquoi donc répandre l'erreur sur un autre espace que celui qu'il a fallu mesurer ? »
[…]
24. Allons plus loin et tachons de prouver que cette différence est non seulement 1/1[8], mais qu'elle est probablement bien plus considérable.
25. Pour cela [maths]. M. Clairaut trouve de plus que la seconde période a dû être allongée par l'action de Saturne de 100 jours. […] et suivant le calcul de M. Clairaut [Je donne ici le résultat, tel qu'il se trouve dans son mémoire de 1758 [C. 48], publié avant le retour de la comète, mémoire qui a donné lieu aux contestations que je me propose d'examiner dans cet écrit. Depuis le retour de la comète, M. Clairaut a fait un calcul un peu plus exact [C. 51], mais il s'agit ici du premier calcul, de celui par lequel il a prédit le retour de la comète, et d'ailleurs on peut appliquer à ce second calcul, mutas mutandis, les raisonnements que nous allons faire sur le premier NDA.], on a [maths].
[…]
28. […] [M. Clairaut trouve que les effets de l'action de Saturne se détruisent à peu près dans les deux premières périodes, et par cette raison n'en fait aucune mention dans son mémoire de 1758 [C. 48]. Nous n'en ferons pas mention non plus, et nous en dirons d'ailleurs plus bas une autre raison NDA]. On aura par le calcul de M. Clairaut [maths]. De plus M. Clairaut trouve que la période suivante (celle qui commence à 1607) serait abrégée de 31 jours par cette même action de Jupiter depuis 1531 jusqu'en 1607. […] Enfin M. Clairaut trouve encore que cette période de 1607 à 1682 serait accourcie de de 420 jours.
[…]
29. […] [M. Clairaut trouve dans son mémoire de 1758 [C. 48] que la différence est de 37 jours ; en quoi il s'est trompé à son désavantage, n'ayant pas fait attention au retranchement de 10 jours qu'il faut faire de 1531 à 1607, suivant le nouveau style NDA]
[…]
30. […] M. Clairaut a trouvé la quantité [maths].
[…]
33. J'ai supposé ici avec M. Clairaut dans son mémoire de 1758 [C. 48] [maths] parce qu'encore une fois, c'est de ce mémoire seul qu'il s'agit ici. Dans sa Théorie des comètes [C. 51], il trouve [maths]. Ainsi 1° en n'ayant égard qu'à l'action de Jupiter, l'erreur dans la différence des deux premières périodes ne serait que de 16 jours. 2°. M. Clairaut trouve qu'en ayant égard de plus à l'action de Saturne, l'erreur serait de 33 jours [M. Clairaut dit dans sa Théorie des comètes [C. 51] qu'en négligeant l'action de Saturne sur les deux premières périodes, il avait d'abord trouvé une erreur de 37 jours, et que cette erreur s'est réduite à 33 en ayant égard à l'action de Saturne, et en rectifiant quelques erreurs de calcul qui s'étaient glissés dans les autres opérations. Il devait dire (v[oyez] la note sur l'art[icle] 29) que l'erreur, qui n'était d'abord que de 17 jours (et non de 37) en négligeant l'action de Saturne, et qui même n'est proprement que 16 jours, s'est trouvée ensuite de 33 jours, en ayant égard à cette action. Ainsi plus de scrupule dans les opérations n'a fait ici qu'augmenter l'erreur ; c'est ce qui est encore arrivé à ce savant géomètre dans d'autres occasions ; comme on le peut voir p. 229 de sa Théorie des comètes [C. 51]. Que faut-il conclure de là ? Rien autre chose, sinon que le problème des perturbations des comètes n'est pas susceptible par sa nature d'un certain degré de précision dans sa solution ; et c'est uniquement ce que je me propose de faire voir dans cet écrit, sans prétendre d'ailleurs attaquer les calculs de M. Clairaut, dont ne saurait trop louer le courage et la patience NDA].
[…]
34. […] Au reste je ne fais cette remaque qu'en passant, parce qu'il n'est point question ici des résultats que trouve M. Clairaut dans sa Théorie des comètes [C. 51], mais de ceux qu'il a annoncés dans son mémoire de 1758 [C. 48], et qui ont été l'objet de la contestation.
[…]
36. Quelque considérable que paraisse cette erreur, il serait néanmoins injuste de l'imputer à M. Clairaut, puisqu'il a reconnu lui-même dans son mémoire de 1758 [C. 48], que son calcul pourrait bien différer d'un mois d'avec l'observation. Or cette différence d'un mois décomposée et analysée de la manière la plus vraisemblable, suppose une erreur de 1/5, et au-delà, sur le dernier résultat, ainsi que nous l'avons fait voir ; et tout calculateur qui prévoit et annonce la quantité dont il peut s'être trompé, ne doit point être chargé de cette erreur, quelques considérable qu'elle puisse être.
37. Il est vrai que dans un écrit postérieur, cet habile mathématicien sembla attribuer la différence susdite (au moins en grande partie) aux erreurs des observations antérieures, à l'action des autres planètes, à celle des comètes, et à la résistance de l'éther. Mais il ne paraît pas que ces différentes causes puissent altérer beaucoup les révolutions de la comète. M. Clairaut convient lui-même dans son mémoire de 1758 [C. 48], que l'action des autres planètes ne produit qu'un effet presque insensible ; et à l'égard de l'action des autres comètes, ou même de quelque planète trop distante du Soleil pour être jamais aperçue, il convient aussi qu'il paraît peu vraisemblable que de telles causes de dérangements aient eu lieu. Enfin la résistance de l'éther, dont M. Clairaut n'avait point parlé dans son mémoire de 1758 [C. 48], paraît ne devoir produire ici qu'un effet presque insensible. […]
38. Ajoutons que quelques que soient les différentes causes, négligées dans le calcul, qui peuvent altérer le mouvement de la comète, M. Clairaut les a séparées entièrement (et ce me semble avec raison) dans son mémoire de 1758 [C. 48] des causes d'erreur qui viennent des quantités négligées dans le calcul de l'action de Jupiter et de Saturne ; car il s'exprime ainsi à la fin de son mémoire, après avoir annoncé le retour de la comète pour le 15 avril 1759 : « On sent avec quels ménagements je présente une telle annonce, puisque tant de petites quantités négligées nécessairement par les méthodes d'approximation pourraient bien en altérer le terme d'un mois... puisque d'ailleurs tant de causes inconnues, ainsi que je l'ai dit au commencement de ce mémoire, peuvent avoir agi sur notre comète ». Ces causes inconnues (les seules dont M. Clairaut ait parlé dans son mémoire de 1758 [C. 48]) sont l'action des autres planètes et de leurs satellites ; le mot d'ailleurs fait voir que M. Clairaut ne pensait point alors à leur attribuer la différence d'un mois qui pouvait se trouver entre son calcul et l'observation, mais uniquement aux quantités négligées dans le calcul ; et je n'imagine pas non plus qu'il regarde la résistance de l'éther comme une cause qui puisse influer fort sensiblement dans l'altération du mouvement des comètes, surtout dans celle de la comète de 1682.
39. De toute cette discussion, il s'ensuit […] [que] l'erreur est au moins de 1/18, et non pas de 1/900 ni de 1/[1 800], comme l'on prétendu quelques écrivains peu instruits. […] On doit se propose dans ces sortes de calculs, non de prédire exactement le retour d'une comète, […] mais seulement de prouver que, par la théorie de la gravitation, l'action de Jupiter et Saturne doit altérer considérablement le cours de ces astres ; et c'est ce que M. Clairaut a suffisamment prouvé par son travail.
40. Voici mon sentiment sur cette dispute, sentiment que plusieurs savants m'ont engagé à mettre par écrit, et qui ne peut, ce me semble, offenser personne, ni par lui-même, ni par la manière don j'ai tâché de l'exposer. Quoique ce mémoire soit il y a longtemps, j'ai différé jusqu'à présent à le mettre au jour, parce qu'il m'a paru à propos d'attendre un temps où personne ne prendrait plus guère d'intérêt à cette question, que celui de la vérité. Peut-être même n'aurais-je point communiqué aux géomètres ces réflexions, si la méthode dont je me sers pour déterminer d'une manière vraisemblable les erreurs du calcul dans la théorie des perturbations des comètes n'était, ce me semble, fondée que des considérations assez délicates, qui peuvent la rendre curieuse par elle-même, et utile dans d'autres occasions (Alembert 61-80, vol. 2, pp. 218-238).

Dans le « Quatorzième mémoire. Réflexions sur le problème des trois corps, avec de nouvelles tables de la Lune, d'un usage très simple et très facile » :
V
1. Mais avant que d'entrer dans le détail de mes nouveaux calculs, je crois devoir faire quelques réflexions sur la solution que j'ai donnée du problème des trois corps, et en montrer les avantages. Cette discussion est d'autant plus nécessaire, qu'il me paraît très essentiel de rendre sur cette matière à chacun la justice qui lui appartient. Quoi qu'on ait affecté, ce me semble de déprimer mon travail sur ce sujet, je me flatte que les géomètres en jugeront autrement, quand ils auront lu les réflexions suivantes, qui pourront être utile à l'histoire de ce fameux problème, et qui renferment d'ailleurs des discussions délicates, dont l'analyse pourra tirer quelque fruit.
2. Le problème des trois corps, en tant qu'il est applicable au mouvement des planètes, se réduit, comme MM. Euler, Clairaut et moi l'avons remarqué, à trouver, au moins par une méthode d'approximation, l'orbite d'une planète qui est attirée vers le Soleil en raison inverse du quarré de la distance […].
3. Pour trouver cette orbite, il faut remplir deux objets. 1°. Trouver l'équation différentielle. 2°. Intégrer cette équation.
4. Quant au premier objet, je crois y être arrivé par une méthode beaucoup plus simple qu'aucun des géomètres qui ont résolu la même question.
[…]
VI
1. À l'égard de l'intégration de cette équation, je ne sais pourquoi un très savant mathématicien l'a appelée une intégration délicate et neuve [C. 49], car dès 1740 (sept ans avant qu'il fût question du problème des trois corps), M. Euler avait donné dans sa pièce sur le Flux et reflux de la mer [(Euler 41)], p. 301 et suiv[antes], une méthode pour intégrer les équations de cette forme.
[…]
2. La méthode, par laquelle le savant mathématicien déjà cité a intégré cette équation, se déduit aisément de cette méthode des indéterminées, qui est même analytique ; car la méthode des indéterminées fait trouver directement la quantité cos z par laquelle le savant mathématicien multiplie l'équation avant de l'intégrer.
[…]
4 Au reste, soit que les géomètres qui ont eu recours à cette préparation l'aient trouvée par la méthode des indéterminées ou autrement, il est au moins certain que M. Euler, et moi après lui [dans (Alembert 43)], sommes les premiers qui ayons donné des méthode pour l'intégration de ces sortes d'équations, plusieurs années avant qu'on en pût prévoir l'usage par rapport au problème des trois corps. Cela est si vrai, que M. Euler, dans ses Opuscules imprimés à Berlin en 1746 [(Euler 46b)], p. 260 […] trouve […] [le] résultat qui est précisément semblable à celui que le savant mathématicien déjà cité a donné depuis, et qu'il regarde, on ne voit pas pourquoi, comme le caractère distinctif de sa solution, qui la rend, selon lui, supérieure à toutes les autres. Il est dont incontestable […] que ceux qui […] intégré [cette équation] n'on rien ajouté à cet égard à ce que les géomètres savaient.
[…]
VIII.
1. Un des deux mathématiciens qui ont donné dans le même temps que moi la solution du problème des trois corps, regarde comme un avantage particulier à sa solution (et qui la rend, selon lui, préférable à la mienne et à celle de M. Euler), celui de donner l'intégrale de l'orbite sous une forme telle, qu'elle renferme deux parties, dont l'une est l'équation de l'orbite non troublée, et l'autre exprime les dérangements causés à cette orbite par les forces perturbatrices. Comme cette assertion attaque ma solution, et tend à la déprimer, je me crois obligé d'y répondre.
[…]
La méthode du savant mathématicien dont nous venons de parler n'a donc encore à cet égard aucun avantage, et ne peut même en avoir, puisque sa séparation en deux parties, est une suite nécessaire de l'intégration dans le cas de l'orbite des comètes […]. Mais je vais plus loin, et je me propose de faire voir que dans le cas de l'orbite des planètes, cette disposition de l'intégrale a plusieurs inconvénients considérables.
IX
1. Cet inconvénient, que je vais détailler [ce qu'il fait ensuite, tout au long de l'article IX, citant à la fin les objections de Fontaine qui doivent paraître Recueil sous presse [Fontaine des Bertins 64]. Puis il continue, article X, article XI, XII, XIII, puis il passe à Euler, et recommence article XV].
[…]
XVII
Après avoir exposé les avantages de ma solution du problème des trois corps, je ne dois point dissimuler qu'elle a des inconvénients […]. Ces inconvénients sont en général […] que les séries qui expriment la valeur des coefficients, ne sont pas toujours convergentes ; c'est ce qu'on remarque surtout dans celle qui exprime le mouvement de l'apogée, et dont le premier terme ne donne qu'environ la moitié de ce mouvement. M. Clairaut s'en est aperçu le premier, et a remarqué qu'en poussant le calcul plus loin, on retrouvait l'autre moité de ce mouvement […]. J'ai remarqué le premier la nécessité d'avoir égard à ces termes [très petits dans l'équation qui augmentent par l'intégration] dans l'équation de l'orbite lunaire ; et je fis part de cette remarque, pendant l'été de 1748 [cf. Juin 1748 (1)] à M. Clairaut, qui n'ayant pas encore fait à cette sortes de termes une attention suffisante, croyait alors que sa théorie s'éloignait entièrement des observations.
[…]
XIX
1. J'en viens maintenant à mes nouvelles tables.
[…]
XX
[…] J'ai conservé la seconde équation de mes tables […] parce que cette équation ne diffère pas beaucoup de celle de M. Clairaut […]. J'ai gardé la sixième équation 2' 5'' que la théorie m'a donnée, et qui d'ailleurs est à peu près moyenne entre les deux de MM. Le Monnier et Mayer. Celle de M. Clairaut 3' 40'' paraît incertaine, et je la crois trop grande. Voyez Rech[erches] sur le système du monde, troisième partie [(Alembert 54-56, vol. 3)]], p. 29. C'est une partie de l'argument XV des nouvelles tables. […] Pour l'équation X, j'ai pris +2 20'', sur laquelle MM. Clairaut et Mayer s'accordent à peu près. […] Pour la XIe équation, j'ai d'abord pris 1' qui est à peu près moyen entre les tables de M. Clairaut et les miennes […]. Pour la XIIe équation, j'ai pris 1' 2'' qui est à peu près le milieu antre les tables de M. Clairaut et les miennes […]. À l'égard de la XVIIIe équation qui est nulle dans les trois tables de MM. Le Monnier, Clairaut et moi, je l'ai supprimée [...]. J'aurais pu en faire de même de la XIVe équation, qui est nulle dans les trois tables de MM. Mayer, Le Monnier et Clairaut, et qui dans la mienne monte à 18'' ; cependant, comme j'ai tout lieu de croire que mon résultat est préférable, par la raison que mes formules (§ XII) sont beaucoup plus exactes pour calculer ces sortes d'équation, j'ai cru qu'on pouvait faire usage de cette équation.
[…]
XXIII
[…] À l'égard des deux tables de correction de la parallaxe, elle sont été faites d'après un calcul nouveau, qui s'accorde d'ailleurs assez avec les tables de MM. Mayer et Clairaut (Alembert 61-80, vol. 2, pp. 239-280).

La parution des Opuscules renoue avec le mode de publication de (Alembert 54-56) dont le vol. 3 avait été présenté le 17 novembre 1756 (cf. 17 novembre 1756 (1)).

Elle marque une reprise de la dispute entre Clairaut et d'Alembert, en sommeil depuis le round du retour de la comète (cf. 15 novembre 1758 (1)).

Clairaut achète un exemplaire des Opuscules pour Daniel Bernoulli (cf. 26 septembre 1761 (1)).

Clairaut réagit à la publication des deux premiers volumes des Opuscules dans le Journal des sçavans (cf. [c. décembre] 1761), ce qui amène une réponse de d'Alembert dans le Journal encyclopédique le 18 janvier 1762 (cf. 18 janvier 1762 (1)).

Un extrait des Opuscules, se faisant l'écho de cet échange, paraît dans l'Année littéraire (cf. [c. mars] 1762). Il est attribué à Clairaut par d'Alembert dans la réponse qu'il donne au Journal encyclopédique (cf. [c. 15 mai] 1762).

Clairaut répond à lettre de d'Alembert du 18 janvier dans le Journal des sçavans (cf. [c. juin] 1762 (1)), et à celle concernant l'Année littéraire dans le Journal encyclopédique (cf. [c. juin] 1762 (2)).

La première entraîne une nouvelle réponse de d'Alembert le 5 juillet 1762 (cf. 5 juillet 1762 (1)), ce qui marque la fin de la polémique entre les deux hommes par journaux interposés, d'Alembert reprenant la discussion après la mort de Clairaut dans le 5e volume de ses Opuscules (cf. 1768 (4)).

Le 3e volume des Opuscules de d'Alembert est présenté imprimé à l'Académie le 11 juillet 1764 (cf. 11 juillet 1764 (1)).

Extrait des Opuscules dans le Mercure de France :
Pour faire connaître cet ouvrage aux savants, à qui il est principalement destiné, nous insérons presque en entier l'avertissement de l'auteur. C'est donc M. d'Alembert qui va parler dans le reste de cet article [suit l'Avertissement dans une version légèrement abrégée] (Mercure de France, octobre 1761, vol. 2, pp. 138-149).

Dans le Journal de Trévoux :
À la vue des disputes qui s'élèvent entre les plus grands géomètres sur certains points de calcul, on serait tenté de soupçonner quelque incertitude dans les procédés analytiques. Cependant la méthode est sûre, les règles sont exactes, et le mécompte ne se glisse que dans l'application quelquefois arbitraire que l'on en fait.
[…]
Nos réflexions ne paraîtront pas déplacées, si l'on observe avec nous que M. d'Alembert est presque toujours occupé à attaquer ou à se défendre. Quelle attaque ! Quelle défense ! Rien ne lui échappe, soit pour établir la justesse de ses procédés, soit pour renverser les moyens qu'il s'est proposé de combattre.
[…]
Dans le douzième mémoire, l'auteur reprend la solution qu'il avait donnée en 1747 au problème des trois corps : il y trouve la théorie des perturbations des comètes, il perfectionne ensuite cette théorie, en simplifie la pratique, et parvient à une méthode plus simple, plus abrégée, plus facile que les méthodes déjà proposées sur cette matière.
Dans le treizième mémoire, M. d'Alembert examine la dispute qui s'est élevée entre les géomètres au sujet de la comète de 1682. Il s'est trouvé une différence d'un mois entre la prédiction et l'observation du retour de la comète. Or à quoi devait-on comparer cette différence ? À la période entière ? À la somme de deux périodes consécutives ? Ou bien à la différence de ces deux périodes ? M. d'Alembert est pour le dernier sentiment : d'où il résulte une différence entre le calcul et l'observation plus considérable que ne l'ont assignée les géomètres qui sont partis d'un autre terme de comparaison.
Le quatorzième mémoire est destiné à défendre la solution du problème des trois corps donnée par l'auteur, et à en montrer les avantages. Ce mémoire est suivi de nouvelles tables de la Lune d'une forme très commode, très simple, et qui donnent exactement les lieux de la Lune. Il n'y a pas une minute de différence entre le calcul et l'observation (Journal de Trévoux, décembre 1761, pp. 2957-2975).

Dans le Journal encyclopédique :
Voici un recueil qui sera sas doute reçu avec empressement de tous les grands géomètres de l'Europe.
[…]
Le douzième mémoire renferme la théorie du mouvement des comètes dans les principes de la gravitation universelle. L'auteur déduit cette théorie de la solution du problème des trois corps qu'il a donnée en 1747. Il en simplifie la pratique par différents moyens qu'il propose, et où l'on voit briller cette sagacité et cette profondeur qu'il porte dans tous les sujets dont il s'occupe. Il ne reste plus qu'à réduire toutes les formules en nombres pour chaque comète particulière. C'est un travail que M. d'Alembert n'a pas entrepris ; il s'est contenté d'en bien aplanir les difficultés. Rien de plus clair et de plus élégant que sa méthode.
À ce mémoire en succède un autre qui est, en quelque façon, la suite. L'auteur y examine la dispute qui s'est élevée parmi les géomètres au sujet de la comète de 1682. Tout le monde sait aujourd'hui que M. Halley, célèbre astronome anglais, avait prédit le retour de cette comète pour la fin de 1758, ou le commencement de 1759, que M. Clairaut avait annoncée dans l'assemblée publique de l'Académie des sciences du 14 novembre 1758 [15 !, cf. 15 novembre 1758 (1)], le passage de la comète au périhélie vers le milieu d'avril 1759, et que ce passage a eu lieu le 13 mars de la même année 1759. Il ne nous appartient pas de décider jusqu'à quel point le calcul du géomètre français a été exact, mais notre fonction de journaliste ne nous permet pas de dissimuler ce que M. d'Alembert pense à se sujet. Il prétend que la différence d'un mois entre la prédiction du retour de la comète et l'observation, doit être comparée à la différence de deux périodes consécutives, qui est d'environ 18 mois, et que par conséquent cette différence est d'un dix-huitième. Il prouve même qu'en faisant la répartition la plus vraisemblable et la plus naturelle des erreurs commises dans les différents résultats, l'erreur du dernier résultat a dû être vraisemblablement un cinquième du total. Mais en homme juste et impartial, il ajoute que cela doit être imputé uniquement à la nature des circonstances du problème qui n'a pas permis une plus grande précisions dans les calculs.
Dans le quatorzième mémoire, M. d'Alembert fait différentes remarques sur le fameux problème des trois corps qui a occupé si longtemps, et qui occupe encore, les géomètres. Il montre les avantages de la solution qu'il a donnée de ce problème, et il fait contre la solution d'un autre géomètre célèbre plusieurs objections que nous ne pourrions qu'affaiblir ici, et qu'il faut lire dans l'ouvrage même. Cet écrit est terminé par des tables de la Lune d'une forme très commode. L'auteur les présente aux astronomes, et il a lieu d'espérer, d'après les épreuves qu'elles ont déjà essuyées, qu'on les trouver[a] très conformes aux observations (Journal encyclopédique, 15 décembre 1761, pp. 3-13).
Abréviations
Références
Courcelle (Olivier), « 18 novembre 1761 (2) : Opuscules de d'Alembert », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n18novembre1761po2pf.html [Notice publiée le 27 juillet 2007].