M[onsieu]r Clairaut a lû un écrit sur les courbes qui ont deux points distants donnez (PV 1734, f. 190r).
Il s'agit de « Solutions de plusieurs problèmes, où il s'agit de trouver des courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimées par une équation donnée », HARS 1734 (1736), Mém., pp. 196-215, alias C. 10 (Taton 76). C'est dans ce mémoire (pp. 210, 213) qu'apparaît l'équation différentielle qui porte le nom d'équation de Clairaut (Greenberg 95, pp. 389, 692 ; Kahane 14). C. 10 est mentionné dans le Journal des sçavans, juillet 1738, p. 426. Cette lecture marque le début d'une longue dispute avec Fontaine (cf. 21 janvier 1735 (1)). C. 10 est remarqué par Goldbach (cf. (12) 1 octobre 1744) et Euler (cf. 17 novembre 1744 (1)). Perelli étudiera des problèmes du même genre (cf. 11 février 1758 (1)). D'Alembert évoquera C. 10 dans sa correspondance avec Lagrange (cf. 14 février 1777 (1), 22 septembre 1777 (1), 27 janvier 1778 (1)) et dans le vol. 8 de ses Opuscules (cf. 1780 (1)). Lagrange : Dans un mémoire de feu M. Clairaut, imprimé par ceux de l'Académie des sciences de Paris pour l'année 1734 [C. 10], on trouve cette remarque singulière, qu'il y a des équations différentielles qu'on peut intégrer par la différentiation, et que les intégrales trouvées de la sorte ne sont jamais comprises dans les intégrales complètes que donnent les règles ordinaires de l'intégration, quoique d'ailleurs ces mêmes intégrales satisfassent aux équations différentielles proposées et résolvent très bien les problèmes géométriques qui conduisent à ces équations (voyez les mémoires de 1734, p. 209 et suiv[antes]). […] Mais ni M. Clairaut ni M. Euler n'avaient encore cherché les moyens de reconnaître a priori si une équation finie qui satisfait à une équation différentielle donnée est comprise ou non dans l'intégrale complète de cette équation différentielle, sans connaître cette intégrale (Lagrange 67-92, vol. 4, pp. 5-6). Condorcet : M. Euler a observé que les équations différentielles sont susceptibles de solutions particulières qui ne sont pas comprises dans la solution générale. M. Clairaut a fait aussi la même remarque ; mais M. Euler a montré depuis, pourquoi ces intégrales particulières étaient exclues de la solution générale, et il est le premier qui se soit occupé de cette théorie, perfectionnée depuis par plusieurs géomètres célèbres, et dans laquelle le mémoire de M. de la Grange, sur la nature de ces intégrales et leur usage dans la solution des problèmes, n'a plus rien laisser à désirer (Condorcet 83a, p. 45). Dans l'article « Intégral (Calcul) » du Supplément à l'Encyclopédie, Condorcet n'était pas aussi généreux (cf. Septembre 1759 (2)) : M. Euler a remarqué le premier, qu'il y avait des équations qui satisfaisaient à une équation différentielle, sans cependant être comprises dans son intégrale générale. Voici quelques réflexions sur la cause de ce paradoxe, c'est ainsi que M. Euler l'a appelé (Condorcet 77a). Bossut : Dans un mémoire sur les courbes dont la nature est exprimée par une relation donnée entre leurs branches [C. 10], Clairaut fut conduit à des équations différentielles du premier ordre, dont la propriété est telle, qu'on y peut satisfaire par des expressions qui ne sont pas comprises dans l'intégrale complète [L'intégrale complète d'une équation différentielle du premier ordre doit toujours renfermer, dans sa généralité, une constante arbitraire, qui, pouvant recevoir différentes valeurs, produit différentes intégrales, qu'Euler appelle intégrales particulières, mais que l'usage le plus ordinaire est d'appeler intégrales incomplètes. On réserve la dénomination intégrales particulières, pour désigner les solutions singulières qui ne sont pas comprises dans l'intégrale complète NDA]. Il regarda comme une nouveauté dans l'analyse les solutions singulières de ses équations, et surtout la manière de les trouver par la différenciation de l'équation proposée. Sans doute il ignorait que Leibniz et Jean Bernoulli avaient considéré depuis longtemps de semblables équations. Rappelons brièvement ce qu'ils en avaient écrit. […] Les équations différentielles qui admettent des intégrales particulières s'étaient présentées à Euler à peu près dans le même temps qu'à Clairaut, comme on peut en juger par la Mécanique du premier [(Euler 36a)], publiée en 1736, c'est-à-dire la même année que le mémoire du second (Bossut 10, pp. 126-129). Cousin : Clairaut est le premier qui ait remarqué ce genre d'équations qui s'intègrent par la différentiation (Mémoires de l'Académie des sciences de 1734 [C. 10]) et dont la propriété est d'appartenir en même temps à une ligne droite et à une ligne courbe ; mais personne avant Lagrange n'avait démontré que cette espèce de paradoxe tenait à la théorie des solutions particulières des équations différentielles (Cousin 96, vol. 2, pp. 98-99).
Abréviations
C. 10 : Clairaut (Alexis-Claude), « Solutions de plusieurs problèmes, où il s'agit de trouver des courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimées par une équation donnée », HARS 1734 (1736), Mém., pp. 196-215 [Télécharger] [29 avril 1733 (1)] [Plus].
HARS 17.. : Histoire de l'Académie royale des sciences [de Paris] pour l'année 17.., avec les mémoires...
Condorcet (Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marquis de), « Intégral (Calcul) », Supplément à l’Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, J.-B Robinet et P. Mouchon éds, 7 vol., 1776-1780, vol. 3, Amsterdam, 1777, pp. 619-624 [Télécharger] [15 novembre 1747 (1)].
Condorcet (Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marquis de), « Éloge de M. Euler », HARS 1783, Hist., pp. 37-68 [Télécharger].
Cousin (Jacques-Antoine-Joseph), Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, 2 vol., Paris, 1796 [Télécharger].
Euler (Leonhard), Mechanica sive motus scientia analytice exposita, 2 vol., Petropoli, 1736 [4 mars 1739 (1)] [Plus].
Kahane (Jean-Pierre), « Clairaut mathématicien, un aperçu », Cahiers Clairaut, 145 (Printemps 2014) 2-5 [4 mars 1739 (1)] [Plus].
Lagrange (Joseph-Louis, comte de), Œuvres, 14 vol., éd. J.-A. Serret, Paris, 1867-1892 [29 avril 1733 (1)] [Plus].
Taton (René), « Inventaire chronologique de l'œuvre d'Alexis-Claude Clairaut (1713- 1765) », Revue d'histoire des sciences, 29 (1976) 97-122 [Télécharger] [13 avril 1726 (1)] [16 juillet 1729 (1)] [Plus].
Courcelle (Olivier), « 30 juin 1734 (1) », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n30juin1734po1pf.html [Notice publiée le 16 août 2007, mise à jour le 2 avril 2013].
Dans un mémoire de feu M. Clairaut, imprimé par ceux de l'Académie des sciences de Paris pour l'année 1734 [C. 10], on trouve cette remarque singulière, qu'il y a des équations différentielles qu'on peut intégrer par la différentiation, et que les intégrales trouvées de la sorte ne sont jamais comprises dans les intégrales complètes que donnent les règles ordinaires de l'intégration, quoique d'ailleurs ces mêmes intégrales satisfassent aux équations différentielles proposées et résolvent très bien les problèmes géométriques qui conduisent à ces équations (voyez les mémoires de 1734, p. 209 et suiv[antes]). […] Mais ni M. Clairaut ni M. Euler n'avaient encore cherché les moyens de reconnaître a priori si une équation finie qui satisfait à une équation différentielle donnée est comprise ou non dans l'intégrale complète de cette équation différentielle, sans connaître cette intégrale (Lagrange 67-92, vol. 4, pp. 5-6). Condorcet :
M. Euler a observé que les équations différentielles sont susceptibles de solutions particulières qui ne sont pas comprises dans la solution générale. M. Clairaut a fait aussi la même remarque ; mais M. Euler a montré depuis, pourquoi ces intégrales particulières étaient exclues de la solution générale, et il est le premier qui se soit occupé de cette théorie, perfectionnée depuis par plusieurs géomètres célèbres, et dans laquelle le mémoire de M. de la Grange, sur la nature de ces intégrales et leur usage dans la solution des problèmes, n'a plus rien laisser à désirer (Condorcet 83a, p. 45). Dans l'article « Intégral (Calcul) » du Supplément à l'Encyclopédie, Condorcet n'était pas aussi généreux (cf. Septembre 1759 (2)) :
M. Euler a remarqué le premier, qu'il y avait des équations qui satisfaisaient à une équation différentielle, sans cependant être comprises dans son intégrale générale. Voici quelques réflexions sur la cause de ce paradoxe, c'est ainsi que M. Euler l'a appelé (Condorcet 77a). Bossut :
Dans un mémoire sur les courbes dont la nature est exprimée par une relation donnée entre leurs branches [C. 10], Clairaut fut conduit à des équations différentielles du premier ordre, dont la propriété est telle, qu'on y peut satisfaire par des expressions qui ne sont pas comprises dans l'intégrale complète [L'intégrale complète d'une équation différentielle du premier ordre doit toujours renfermer, dans sa généralité, une constante arbitraire, qui, pouvant recevoir différentes valeurs, produit différentes intégrales, qu'Euler appelle intégrales particulières, mais que l'usage le plus ordinaire est d'appeler intégrales incomplètes. On réserve la dénomination intégrales particulières, pour désigner les solutions singulières qui ne sont pas comprises dans l'intégrale complète NDA]. Il regarda comme une nouveauté dans l'analyse les solutions singulières de ses équations, et surtout la manière de les trouver par la différenciation de l'équation proposée. Sans doute il ignorait que Leibniz et Jean Bernoulli avaient considéré depuis longtemps de semblables équations. Rappelons brièvement ce qu'ils en avaient écrit. […] Les équations différentielles qui admettent des intégrales particulières s'étaient présentées à Euler à peu près dans le même temps qu'à Clairaut, comme on peut en juger par la Mécanique du premier [(Euler 36a)], publiée en 1736, c'est-à-dire la même année que le mémoire du second (Bossut 10, pp. 126-129). Cousin :
Clairaut est le premier qui ait remarqué ce genre d'équations qui s'intègrent par la différentiation (Mémoires de l'Académie des sciences de 1734 [C. 10]) et dont la propriété est d'appartenir en même temps à une ligne droite et à une ligne courbe ; mais personne avant Lagrange n'avait démontré que cette espèce de paradoxe tenait à la théorie des solutions particulières des équations différentielles (Cousin 96, vol. 2, pp. 98-99).