Sur la théorie de la Lune :
Préface
[…]
Il est, à ce que je crois, des tables de la Lune, et en général de toutes les tables astronomiques, comme les catalogues d'étoiles, qu'il vaut mieux s'appliquer à corriger que de chercher à en publier de nouveaux, la multitude des catalogues et des tables n'étant propres qu'à fatiguer dans l'étude de l'astronomie lorsqu'il est question de les comparer et de découvrir la cause de leurs différences. Ainsi sans prétendre rien diminuer du mérite des différentes tables de la Lune, que plusieurs célèbres géomètres ont publiées depuis quelques années [(Le Monnier 46a), (Euler 46b), (Mayer 52), (Alembert 54-56), vol. 1, C. 41, (Alembert 56d)], j'ai crû qu'il serait du moins aussi utile de s'appliquer à perfectionner les tables de cette planète dont les astronomes font le plus communément et le plus anciennement usage, comme avait déjà fait Flamsteed sur celles d'Horoxius, les meilleures qu'on eût publiées de son temps. Les tables de la Lune, dont on se sert le plus aujourd'hui, sont celles que M. Halley a construites sur la théorie de Newton, et que M. Le Monnier a perfectionnées depuis dans ses Institutions astronomiques [(Le Monnier 46a)], soit en augmentant d'une minute le mouvement moyen, soit en perfectionnant ou ajoutant quelques équations. La forme de ces tables est familière aux astronomes qui doivent par cette raison s'en détacher difficilement ; de plus elles ne demandent qu'un assez petit nombre d'opérations ; enfin, la quantité la plus grande d'erreur qui peut en résulter, est bien constatée par le grand nombre d'observations auxquelles on les a comparées jusqu'ici ; espèce d'avantage qu'on ne peut se promettre que d'une comparaison longue et assidue. On avait crû longtemps que les premières tables dressées sur la théorie de Newton, ne s'écartaient des observations que de deux minutes [Voyez Lunæ Theoria Newtoniana, imprimé dans le second volume de l'ouvrage de Gregory, intitulé Astronomi[æ] Physicæ et Geometricæ Elementa NDA (Gregory 26)] ; ce n'a été qu'après plusieurs années qu'on s'est aperçu que l'erreur montait quelquefois à 5', quoiqu'à la vérité très rarement.
[…]
Il serait, ce me semble, fort à souhaiter que tous les géomètres et les astronomes, qui nous ont donné dans ces derniers temps des tables de la Lune, eussent ainsi que moi pris la peine de marquer la différence entre leurs tables et celles des Institutions, et d'en dresser des tables séparées. Par-là on serait à portée de démêler plus promptement les corrections qui approcheraient le plus de la vérité. Cet examen serait d'autant plus nécessaire, que ces corrections ne seraient pas toujours d'accord entre elles, comme on le peut voir par la différence qui se trouve entre les équations principales des diverses tables de la Lune publiées jusqu'ici.
[..]
Quoique je sois bien éloigné de donner l'exclusion à aucune des tables modernes, tout mis en balance néanmoins, les tables des Institutions astronomiques sont celles dont l'accord avec les observations me paraît jusqu'ici le plus constaté, et cette raison m'engage à leur donner la préférence. Ce n'est pas que d'autres astronomes ne prétendent leurs tables plus exactes ; celui d'entre eux qui se flatte d'avoir le plus approché de la vérité est M. Mayer, de la Société royale de Göttingen [(Mayer 52)].
[…]
J'avouerai de plus, car les connaissances que je crois avoir acquises en cette matière m'ont appris à ne rien hasarder, que si on remarquait un singulier accord entre les observations et des tables uniquement tirées de la théorie, cet accord ferait à plusieurs égards l'effet d'un hasard heureux, tant il paraît difficile de porter les tables par le moyen de la théorie seule au degré de précision que l'astronomie peut exiger (Alembert 54-56, vol. 3, pp. Iii-xiii).
Un autre élément, dont il ne fera guère moins nécessaire de s'assurer, c'est celui qui dépend de l'anomalie moyenne du Soleil, et que je fais beaucoup plus grand que dans les autres Tables. Mais outre que le calcul me l'a donné tel [...], je remarque […] que M. Clairaut, qui fait cet élément beaucoup plus petit que M. Le Monnier et moi, l'a trouvé dans un premier calcul [C. 39] d'environ 1' plus petit qu'il ne l'a trouvé ensuite dans un autre [C. 39, additions] ; ce qui montre au moins que la valeur de cet élément est fort difficile à bien déterminer par le calcul.
Bien loin de donner ces tables pour exactes, j'invite de nouveau les astronomes à en faire l'essai ; je suis persuadé qu'en cette matière, on a besoin de l'observation pour assurer les calculs de la théorie, et qu'il y a très peu d'équations qu'on puisse se flatter de déterminer exactement par le calcul à une minute, ou peut-être même à deux minutes près. J'en ai dit les raisons en plusieurs endroits de la première partie de mon ouvrage, et pour s'en convaincre de nouveau, il suffira de considérer et de comparer entre eux les résultats trouvés par différents géomètres, qui tous prétendent leurs tables meilleures que les autres. On verra combien peu ces résultats s'accordent ; c'est ce que nous allons rendre sensible, en présentant ici sous un même point de vue, les résultats de nos calculs, de ceux de M. Clairaut, et de ceux de M. Mayer, et en comparant le tout aux tables des Institutions astronomiques.
[…]
Lorsque je publiai la première partie de cet ouvrage [(Alembert 54-56, vol. 1)], il n'avait encore paru d'autres tables (outre celles de M. Le Monnier (Le Monnier 46a), faites d'après les calculs de Newton) que celles de M. Euler, imprimées d'abord en 1746 à Berlin dans ses Opuscules, [(Euler 46b)] et publiées ensuite dans l'Almanach de Berlin [1750] avec quelques changements. Ce sont aussi les seules que je comparai avec les miennes et avec celles de M. Le Monnier. Depuis ce temps MM. Clairaut et Mayer en ont publié de nouvelles [C. 41, (Mayer 52)], qui paraissent plus exactes que les premières tables de M. Euler. Ainsi je ne m'attacherai ici qu'à ces nouvelles tables. Ce n'est pas que M. Euler, dans son ouvrage intitulé,Theoria motus Lunæ imprimé depuis à Pétersbourg (en 1753) (Euler 53) n'ait donné des formules très amples pour déterminer les équations de la Lune, mais il n'a pas jugé à propos de former des tables d'après ces équations ; et nous nous abstiendrons de les former nous-mêmes, parce qu'il nous paraît vraisemblable que ce grand géomètre a eu quelques soupçons sur leur exactitude.
[…]
Mettant donc à part les tables de M. Euler, venons à celles de M. Clairaut et voyons la différence qui en résulte d'avec nos tables. Pour faire cette comparaison, nous écarterons d'abord des tables de M. Clairaut, celles dont les arguments sont différents des arguments des art[icles] 81 et 91 de notre première partie 1°. Parce que ces tables donnent pour la plupart de très petites équations. 2°. Parce que la valeur de ces équations paraît fort incertaine, comme il résulte non feulement de ce que nous avons dit ci-dessus, mais encore du calcul même, qui donne, dans une seconde opération, des coefficients numériques, souvent fort différents de ceux qu'avait donnés la première. Voyez les pag[es] 89 et 60 de la pièce [C. 39] de M. Clairaut. 3°. Parce qu'une partie de ces équations doit être implicitement renfermée dans le calcul des tables des Institutions astronomiques. J'en ai dit la raison, pag[es] 249 et 250 de la première partie.
Pour réduire les tables de M. Clairaut aux mêmes arguments que les nôtres, nous remarquerons qu'il se sert de l'anomalie moyenne du Soleil et de son mouvement moyen, au lieu que dans l'article 91 déja cité, on emploie le mouvement vrai du Soleil, Or [maths] c'est pourquoi dans les tables de M. Clairaut, ou plutôt dans la formule qui est le fondement de ses tables, il faut mettre au lieu de la longitude moyenne du Soleil, la quantité [maths]. Ainsi dans le terme qui contient [maths], il faut d'abord mettre [maths], et ensuite ajouter [maths].
[…]
C'est d'après ces principes qu'est formée la table ci-après, des équations de la Lune, suivant M. Clairaut.
[…]
Il est donc très constant que dans cet argument XII, il ne faut point avoir d'égard à l'équation du centre de le Lune […] ce qui rendrait […] la variation […] de 9' plus grande que dans les tables de M. Clairaut et dans celles des Institutions astronomiques.
[…]
Ces principes posés, voici les tables : [suit une tableau comparatif des « Tables de cet ouvrage », des « Institutions astronomiques », des « Tables de M. Mayer » et des « Tables de M. Clairaut ».]
[…]
Enfin, il n'est pas inutile d'observer que M. Clairaut ayant fait deux opérations successives [Voyez les pages 60 et 89 de sa Théorie, imprimée à Pétersbourg NDA [C. 39]] pour déterminer les coefficients des équations lunaires, la première opération n'avait donné pour coefficient [maths]. Cette différence vient de ce que M. Clairaut a diminué l'excentricité [maths] pour faire approcher, le plus qu'il était possible, sa formule des observations avec lesquelles il l'avait comparée. Enfin, il ne faut pas oublier que M. Clairaut (pag[es] 78 et 88 de sa théorie [C. 39]) ajoute 1 14' + 40'', c'est-à-dire près de 2', à l'époque des lieux moyens de la Lune, tirée des tables de M. Halley.
Ces différentes remarques confirmeraient, s'il en était besoin, ce que nous avons déjà dit tant de fois, sur l'incertitude des coefficients des équations lunaires, principalement des plus petites équations, et sur la nécessité d'avoir recours aux observations pour les corriger.
[…]
Les principales équations du nœud, suivant les Tables de M. Clairaut, sont [maths].
[…]
Les auteurs qui ont jusqu'ici comparé leurs tables avec les observations sont MM. Halley, Le Monnier, Clairaut et Mayer.
[…]
M. Clairaut, dans sa pièce sur le mouvement de la Lune [C. 39], page p 91, a comparé avec les observations trois formules différentes ; dans la première comparaison, il ajoute 1' 14'' à l'époque des tables de Halley, et trouve une erreur négative qui va jusqu'à 6' 12'' ; d'où il s'ensuit 1°. Qu'en ajoutant seulement 1' à l'époque, comme dans les tables de M. Le Monnier, il eût trouvé une erreur négative de 6' 26'', et par conséquent beaucoup plus grande que celle des tables des Institutions astronomiques. 2°. Qu'en conservant l'époque de Halley, l'erreur aurait été jusqu'à 7' 26'', et par, conséquent beaucoup plus grande encore que ne serait celle des rables des Institutions astronomiques, en y conservant l'époque de Halley.
Dans la seconde comparaison, M. Clairaut suppose toujours le lieu moyen de 1' 14'' plus avancé que dans les tables de Halley ; et la plus grande des erreurs va jusqu'à -7' 10'', erreur qui, par conséquent, irait jusqu'à -7' 24'', en prenant l'époque des Institutions astronomiques, et jusqu'à -8' 24'' en prenant celle de Halley. D'où l'on voit que les tables dressées sur cette seconde formule, ne seraient pas même aussi exactes que celles de Halley, et à plus forte raison que celles des Institutions astronomiques.
[…]
Cependant M. Clairaut paraît préférer cette seconde formule à la première, qui donnait des erreurs un peu moindres. Mais pour diminuer ces erreurs, il fait deux changements à la seconde formule. 1°. Il ajoute 1' 39'' à l'époque de Halley, et par conséquent 39'' à celle des Institutions astronomiques. 2°. Il diminue d'un 1/271 l'excentricité qu'il avait supposée avec la plupart des astronomes de 5 505 parties, et la réduit à 5 472. Par ce moyen, il trouve précisément autant d'erreurs positives que de négatives, et sur 25 observations, il trouve encore plus de 4' d'erreur. Les observations réitérées peuvent seules nous apprendre s'il est vrai que l'excentricité soit aussi petite que M. Clairaut le suppose ; ces observations semblent jusqu'ici la donner au moins de 5 505, et même celles de M. Le Monnier, sur la plus grande équation du centre, la donnent un peu plus grande. Voyez ci-dessus art[icle] V. D'ailleurs M. Clairaut fait le lieu moyen de la Lune de près de 40'' plus avancé que d'ans les meilleures tables modernes. Cette supposition a aussi besoin d'être appuyée par les observations. En supprimant ces 40'', c'est-à-dire, en supposant l'époque du lieu moyen, la même que dans les Institutions astronomiques, les tables de M. Clairaut s'écarteraient de 4' 30'' des observations qu'il leur a comparées, même en conservant à l'excentricité la valeur diminuée qu'il lui suppose.
Il n'est peut-être pas inutile de remarquer que les calculs des deux dernières colonnes de la page 91 de la théorie de M. Clairaut, quoiqu'ils ne différent guère que par l'excentricité, offrent des différences qui ne sont pas proportionnelles à ce changement. Il y a dans la dernière colonne environ 40 erreurs plus grandes que les erreurs correspondantes dans la colonne pénultième ce qui prouve que dans ces 40 cas la diminution faite à l'excentricité a augmenté l'erreur des tables, quoique en général cette diminution ait contribué à diminuer les plus grandes erreurs ; nouvelle raison pour suspendre notre jugement fur cette diminution de l'excentricité. On peut aussi observer que quoique les erreurs de là dernière colonne soient, en général, un peu moins grandes que celles de la colonne antépénultième, il y a néanmoins dans celle-ci 30 erreurs moindres que les erreurs correspondantes de l'autre ; ce qui confirmerait encore de nouveau, s'il était nécessaire,tout ce que nous avons dit sur l'incertitude des coefficients trouvés par la théorie.
[...]
On voit donc que l'époque des lieux moyens est sensiblement la même, pour ce moment, dans les tables de M. Mayer, que dans celles de M. Clairaut ; je dis pour ce moment, car M. Mayer suppose le mouvement moyen de la Lune variable, et M. Clairaut le suppose uniforme.
[…]
Telle est la méthode qu'on peut employer pour connaître les différents coefficients de la formule du lieu de la Lune. Je ne doute point que si ces coefficients étaient exactement déterminés, on ne pût trouver par leur moyen le lieu de la Lune avec beaucoup de justesse et de facilité. Quand on aura déterminé ces coefficients on pourra, ou dresser de nouvelles tables de la Lune selon une forme différente de celle des Institutions astronomiques, et semblable à celle qui a été suivie par d'autres géomètres (avec cette différence qu'il y aura beaucoup moins d'équations) ; ou corriger sur les coefficients trouvés, les coefficients de la formule qui résulte des tables des Institutions astronomiques, en conservant d'ailleurs la forme de ces tables. L'usage apprendra lequel de ces deux partis est le meilleur (Alembert 54-56, vol. 3, pp. 10-59).

Sur la théorie de la figure de la Terre :
Préface
[…]
Jusqu'ici la théorie n'a point donné formellement l'exclusion aux autres figures, elle s'est bornée à montrer que la figure elliptique de la Terre s'accordait avec les lois de l'hydrostatique [Voyez l'ouvrage que M. Clairaut a publié sur ce sujet en 1742 [1743 !], et qui a pour titre Théorie de la figure de la Terre [C. 29] NDA] ; j'ai trouvé de plus, et je le démontre dans cet ouvrage, qu'il y a une infinité d'autres figures qui s'accordent avec ces lois, surtout si on ne suppose pas la Terre entièrement homogène. Proposition qui me paraît importante et digne de quelque attention de la part des géomètres, tant par elle-même que par la méthode que j'ai imaginée pour la démontrer. J'avais déjà donné ailleurs quelque extension à la théorie, même dans l'hypothèse elliptique, en faisant voir qu'il n'est pas toujours nécessaire [Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides [(Alembert 52)], dans l'Appendice, depuis l'art. 176 jusqu'à la fin NDA], comme on l'avait crû jusqu'ici, que les surfaces des différentes couches fussent de niveau, et j'avais présenté en conséquence l'équation des différentes couches de la Terre, sous une forme plus générale qu'on ne l'avait fait avant moi ; mais cette équation généralisée n'est plus elle-même qu'un corollaire très simple de la théorie que je donne aujourd'hui, et dont l'hypothèse elliptique est un cas particulier et très limité (Alembert 54-56, vol. 3, pp. xxxvi-xxxvii).
M. Clairaut a déjà remarqué dans sa Théorie de la figure de la Terre [C. 29] [deux conditions contradictoires] ; mais la preuve qu'il en donne suppose que α ne saurait être jamais [maths]. La différence de nos résultats vient de ce que M. Clairaut suppose, 1°. Que les couches les plus voisines du centre soient nécessairement les plus denses, c'est-à-dire que [maths]. 2°. Que α et α' ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite par rapport à elles. C'est de quoi on se convaincra facilement, en lisant les articles XXXVII, XXXVIII et LXV de la seconde partie de son ouvrage. Or quoique ces deux suppositions soient permises, elles ne sont pas néanmoins de nécessité absolue. Car en premier lieu la Terre étant supposée formée de deux parties, l'une intérieure et solide, l'autre supérieure solide ou fluide, il peut se faire que Δ, densité de la partie intérieure soit < que 1, densité de la partie supérieure. En second lieu, supposant même avec M. Clairaut Δ > 1, on peut très bien supposer que α et α' diffèrent d'une quantité du même ordre qu'elles. Car on n'est point obligé de supposer que la Terre ait absolument la même figure qu'elle aurait eue, si elle avait été primitivement fluide ; d'ailleurs eût-elle été primitivement fluide, il eft possible à la rigueur que Δ eût alors été < 1.
Mais il est remarquable que [maths] est toujours [maths] soit qu'on suppose avec M. Clairaut α=α' et Δ > 1, soit qu'on fasse toute autre hypothèse (Alembert 54-56, vol. 3, pp. 187-188).

D'Alembert avait présenté un exemplaire imprimé des deux premiers volumes le 9 janvier 1754 (cf. 9 janvier 1754 (2)).

Clairaut juge ce troisième volume encore plus critique à son égard que les précédents (cf. [c. juin] 1762 (1)).

Clairaut en donne l'extrait au Journal des sçavans (cf. Juin 1757 (1)), entraînant une réaction de d'Alembert dans le Mercure de France (cf. [c. septembre] 1757), une réponse de Clairaut dans le Journal des sçavans (cf. 11 janvier 1758 (1)) et deux autres de d'Alembert dans (Alembert 58) (cf. 27 mai 1758 (1)) et dans l'article « Lune » de l'Encyclopédie, qui ne paraît qu'en 1765 (cf. 15 novembre 1759 (2)).

La polémique entre les deux hommes par journaux interposés reprend après le retour de la comète (cf. 15 novembre 1758 (1)).

D'Alembert poursuivra la publication de mémoires autonomes dans ses Opuscules (cf. 18 novembre 1761 (2)).