M. Clairaut a déposé un papier pour etre paraphé lequel contient les principes d'un mémoires sur l'orbite de la Lune. Ce mémoire n'a été leu qu'en 1752 le 15 mars et il est copié à l'assemblée du 22 à laquelle il a été finy. On y a ajouté l'écrit dont est icy fait mention pour constater la datte du mémoire de M[onsieu]r Clairaut (PV 1748, p. 561).
Il s'agit de « De l'orbite de la Lune, en ne négligeant pas les quarrés de quantités de même ordre que les forces perturbatrices », HARS 1748 (1752), Mém., pp. 421-440, alias C. 40, dont un manuscrit se trouve sur les PV (Taton 76). Le mémoire contient la « rétractation » de Clairaut, conclusion selon laquelle le mouvement calculé de la Lune s'accorde avec le mouvement observé, et qu'il n'est pas nécessaire, comme il l'avait proposé le 15 novembre 1747 (cf. 15 novembre 1747 (1)), de modifier la loi de la gravitation : Mais il est un article important sur lequel ma nouvelle solution diffère essentiellement de la première, c'est la détermination de la lettre m qui donne le mouvement de l'apogée. Le terme […] se trouve à peu près doublé par l'addition qu'on fait des termes […] à la valeur […] dont on se contentait dans la première solution, et par ce moyen le mouvement de l'apogée se trouve assez conforme aux observations, sans supposer que le Lune poussée vers la Terre par aucune force que celle qui agit inversement comme le quarré de la distance. […] Ce qui a produit mon erreur dans mon premier mémoire [C. 33], c'est que l'attention d'employer des termes, tels que [maths] n'introduisant que des produits tels que [maths] dans l'équation [maths], je croyais cette attention superflue. Ces termes sont en effet de petite conséquence dans la plupart des termes de cette équation mais comme celui qui est affecté de [maths] et qui ne serait que [maths] sans l'usage des termes dont on vient de parle, a un numérateur [maths] assez petit par lui-même, il arrive que la somme des termes affectés de [maths] qui s'y joignent, le doublent à peu près (C. 40, pp. 433-434). Euler regardera « cette découverte comme la plus importante et la plus profonde qui ait jamais été faite dans la mathématique » (cf. 10 avril 1751 (1)). Le mémoire est déposé sous forme de pli cacheté le 21 janvier 1749 (cf. 21 janvier 1749 (1)). Une copie scellée du mémoire est adressée à la Royal Society le 26 janvier avec une lettre de Clairaut précisant qu'il doit vérifier certains calculs (cf. 26 janvier 1749 (1)). Le mémoire est produit à la Royal Society le (13 février 1749) 2 février 1748 et classé le (20 février 1749) 9 février 1748. Clairaut évoque de son côté cet envoi à Cramer le 3 juin (cf. 3 juin 1749 (1)). Daniel Bernoulli a pu encourager Clairaut à revoir ses calculs (cf. 16 août 1749 (1), 3 janvier 1750 (1)). Clairaut évoque C. 40 à Cramer, signalant qu'il a presque achevé le calcul qui doit le conduire à dresser des tables de la Lune, mais qu'il faudra les vérifier (cf. 10 février 1749 (1)). Il l'évoque aussi à Euler, précisant qu'il le fait « reposer » (cf. 28 mars 1749 (1)), et lui en donne la substance le 21 juillet 1749 (cf. 21 juillet 1749 (1)). De C. 40, Clairaut tire C. 35, annonce publique de sa rétractation, lue à la séance académique du 17 mai (cf. 17 mai 1749 (2)). Clairaut annonce aussi sa rétractation à la Royal Society, mais demande de conserver C. 40 clos, le temps de compléter sa théorie (cf. 3 juin 1749 (2), (12) 1 juin 1749), ainsi qu'il l'explique aussi à Euler le 19 juin 1749 (cf. 19 juin 1749 (1)). Le président de la Royal Society transmettra la lettre de Clairaut à John Machin le (31 août 1749) 20 août 1749, qui déposera lui-même un pli cacheté (cf. (11 février 1751) 31 janvier 1750). D'Alembert attend un peu avant de se remettre à la théorie de la Lune (cf. 21 septembre 1749 (1)). Euler se réjouit que l'Académie de Saint-Pétersbourg choisisse la théorie de la Lune comme sujet de prix pour 1752 (cf. 3 janvier 1750 (1)). Daniel Bernoulli non plus n'a pas vu la nouvelle théorie de Clairaut (cf. 26 janvier 1750 (1)). Clairaut décide de participer au prix de Saint-Pétersbourg (cf. 24 juillet 1750 (1)), composant pour l'occasion C. 39, ce qui reportera la lecture de C. 40 aux 15, 18 et 22 mars 1752 (cf. 15 mars 1752 (2), 18 mars 1752 (1), 22 mars 1752 (1)). C. 40 connaît un prolongement avec C. 41 (cf. 5 septembre 1753 (2)). C'est parce C. 40 avait été donné pour paraphe en 1748 qu'il se trouve dans le volume de 1748 et non dans celui de 1752. Une première note de Lalande à l'Histoire des mathématiques de Montucla : Fontaine, un des plus grands géomètres de ce temps là, disait que Clairaut n'en serait pas venu à bout [du problème des trois corps], sans la pièce d'Euler sur Saturne [(Euler 49b)], en 1748 [cf. 6 septembre 1747 (1)] ; et les tables que Léonard Euler publia en 1746 [(Euler 46b)] prouvent qu'il s'en était occupé vers le même temps (Montucla 99-02, vol. 4, p. 66). Une deuxième note de Lalande : Le moyen que Clairaut employa pour reconnaître son erreur, consiste à chercher la valeur du plus petit terme qu'il avait soupçonné devoir être ajouté à l'expression de la force centrale en raison inverse du quarré de la distance ; comme ce terme devait être petit, il fallait mettre dans le calcul une précision singulière, et y faire entrer des inégalités qu'il avait jusqu'alors négligées ; avec ces attentions, il parvint à un résultat qui donnait 0 pour le terme additionnel, et cela lui apprit ce qu'il avait eu tort de négliger. Euler qui désirait connaitre cette analyse de Clairaut, fit proposer par l'Académie de Pétersbourg, la théorie de la Lune pour sujet de prix [cf. 15 juillet 1749 (1)]. Quand il reçut en 1750 la pièce de Clairaut [C. 39] pour la juger, il eut de la peine à se persuader que le résultat fût certain, et il n'y crut complètement, que lorsque il eut refait lui-même les calculs, sur lesquels Clairaut n'était pas entré dans d'assez grands détails. Ce sont ces deux grands géomètres qui m'ont raconté ces deux anecdotes (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 67-68). La méthode de Clairaut dont parle Lalande est exactement celle décrite par Euler dans sa lettre du 10 avril 1751 (cf. 10 avril 1751 (1)). Lalande mentionne aussi C. 40 dans (Lalande 58a) (cf. 7 juin 1758 (1)), (Lalande 60d) (cf. 16 juillet 1760 (1)), dans (Lalande 61i) (cf. 24 janvier 1761 (1)) et dans (Lalande 64a ; Lalande 92) (cf. 9 juillet 1757 (1)). Machin aussi ne trouvait que la moitié du mouvement de l'apogée de la Lune (cf. 13 juin 1744 (1)). Si Estève s'était livré à des recherches plus approfondies, il n'aurait pas écrit dans (Estève 55b) que le mouvement des apsides était incompatible avec l'attraction (cf. 24 décembre 1750 (1)). Laplace, dans son Traité de mécanique céleste : Clairaut tira la même conclusion [insuffisance de la loi de Newton], en appliquant l'analyse différentielle au mouvement dé l'apogée lunaire. Mais cet illustre géomètre ayant porté plus loin les approximations, reconnut bientôt que la loi newtonienne donne le véritable mouvement de cet apogée. Dès lors tous lés géomètres et Euler lui-même admirent cette loi sans aucune restriction (Laplace 78-12, vol. 5, p. 342). Dans son Mémoire sur les équations séculaires des mouvements de la Lune : J'ai observé [...] que les mouvements des nœuds et de l'apogée de l'orbite lunaire sont pareillement assujettis à des inégalités séculaires. Dans la détermination de leur valeur, je n'ai eu égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice, ce qui est d'une grande précision relativement à l'équation séculaire de ce mouvement ; mais on sait que cette puissance ne donne que la moitié du mouvement de l'apogée de la Lune : l'autre moitié est principalement due aux termes dépendants de la seconde puissance de la force perturbatrice, et résulte de la combinaison de deux grandes inégalités, la variation et l'évection. Cette remarque, l'une des plus importantes que l'on ait faites sur le système du monde, et dont on est redevable à Clairaut, nous prouve la nécessite d'avoir égard au carré de la force perturbatrice dans le calcul de l'équation séculaire du mouvement de l'apogée (Laplace 78-12, vol. 12, p. 193). Laplace mentionne encore C. 40 dans la CDT (cf. 13 janvier 1759 (1)).
C. 35 : Clairaut (Alexis-Claude), « Avertissement de M. Clairaut au sujet des mémoires qu'il a donnez en 1747 et 1748, sur le système du Monde dans les principes de l'attraction », HARS 1745 (1749), Mém., pp. 577-578 [Télécharger] [17 mai 1749 (2)] [28 juin 1747 (1)] [15 novembre 1747 (1)] [Plus].
C. 39 : Clairaut (Alexis-Claude), Théorie de la Lune déduite du seul principe de l'attraction réciproquement proportionelle (sic) aux quarrés des distances... Pièce qui a remporté le prix de l'Académie impériale des sciences de Saint Pétersbourg en 1750..., Saint-Pétersbourg, 1752, in-4°, 92 p [Télécharger] [6 décembre 1750 (1)] [Sans date (1)] [(7 novembre) 27 octobre 1737 (1)] [Plus].
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Références
Estève (Pierre), Histoire générale et particulière de l'astronomie, 3 vol., Paris, 1755 [13 décembre 1741 (1)] [Plus].
Euler (Leonhard), « Tabulæ astronomicæ Solis et Lunæ », Opuscula varii argumenti, 3 vol., Berlin, 1746-1751, vol. 1, 1746, pp. 137-168 [7 décembre 1747 (1)] [6 janvier 1748 (1)] [Plus].
Euler (Leonhard), « Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et Jupiter », Pièce qui a remporté le prix de l'Académie royale des sciences en 1748, Paris, 1749 [Télécharger] [10 juin 1747 (1)] [3 septembre 1747 (1)] [Plus].
Lalande (Joseph Jérôme Le François de), « Mémoires sur les inégalités de Mars produites par l'action de la Terre en raison inverse du carré de la distance », HARS 1758, Mém., pp. 12-28 [Télécharger] [6 décembre 1750 (1)] [Plus].
Lalande (Joseph Jérôme Le François de), « Calcul des inégalités de Vénus par l'attraction de la Terre », HARS 1760, Mém., pp. 309-333 [Télécharger] [6 décembre 1750 (1)] [Plus].
Lalande (Joseph Jérôme Le François de), « Mémoires sur les inégalités de Mars produites par l'action de la Terre en raison inverse du carré de la distance », HARS 1761, Mém., pp. 259-288 [Télécharger] [6 décembre 1750 (1)] [Plus].
Taton (René), « Inventaire chronologique de l'œuvre d'Alexis-Claude Clairaut (1713- 1765) », Revue d'histoire des sciences, 29 (1976) 97-122 [Télécharger] [13 avril 1726 (1)] [16 juillet 1729 (1)] [Plus].
Courcelle (Olivier), « 20 décembre 1748 (1) : Rétractation », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n20decembre1748po1pf.html [Notice publiée le 15 juillet 2010].
Mais il est un article important sur lequel ma nouvelle solution diffère essentiellement de la première, c'est la détermination de la lettre m qui donne le mouvement de l'apogée. Le terme […] se trouve à peu près doublé par l'addition qu'on fait des termes […] à la valeur […] dont on se contentait dans la première solution, et par ce moyen le mouvement de l'apogée se trouve assez conforme aux observations, sans supposer que le Lune poussée vers la Terre par aucune force que celle qui agit inversement comme le quarré de la distance.
[…]
Ce qui a produit mon erreur dans mon premier mémoire [C. 33], c'est que l'attention d'employer des termes, tels que [maths] n'introduisant que des produits tels que [maths] dans l'équation [maths], je croyais cette attention superflue. Ces termes sont en effet de petite conséquence dans la plupart des termes de cette équation mais comme celui qui est affecté de [maths] et qui ne serait que [maths] sans l'usage des termes dont on vient de parle, a un numérateur [maths] assez petit par lui-même, il arrive que la somme des termes affectés de [maths] qui s'y joignent, le doublent à peu près (C. 40, pp. 433-434). Euler regardera « cette découverte comme la plus importante et la plus profonde qui ait jamais été faite dans la mathématique » (cf. 10 avril 1751 (1)). Le mémoire est déposé sous forme de pli cacheté le 21 janvier 1749 (cf. 21 janvier 1749 (1)). Une copie scellée du mémoire est adressée à la Royal Society le 26 janvier avec une lettre de Clairaut précisant qu'il doit vérifier certains calculs (cf. 26 janvier 1749 (1)). Le mémoire est produit à la Royal Society le (13 février 1749) 2 février 1748 et classé le (20 février 1749) 9 février 1748. Clairaut évoque de son côté cet envoi à Cramer le 3 juin (cf. 3 juin 1749 (1)). Daniel Bernoulli a pu encourager Clairaut à revoir ses calculs (cf. 16 août 1749 (1), 3 janvier 1750 (1)). Clairaut évoque C. 40 à Cramer, signalant qu'il a presque achevé le calcul qui doit le conduire à dresser des tables de la Lune, mais qu'il faudra les vérifier (cf. 10 février 1749 (1)). Il l'évoque aussi à Euler, précisant qu'il le fait « reposer » (cf. 28 mars 1749 (1)), et lui en donne la substance le 21 juillet 1749 (cf. 21 juillet 1749 (1)). De C. 40, Clairaut tire C. 35, annonce publique de sa rétractation, lue à la séance académique du 17 mai (cf. 17 mai 1749 (2)). Clairaut annonce aussi sa rétractation à la Royal Society, mais demande de conserver C. 40 clos, le temps de compléter sa théorie (cf. 3 juin 1749 (2), (12) 1 juin 1749), ainsi qu'il l'explique aussi à Euler le 19 juin 1749 (cf. 19 juin 1749 (1)). Le président de la Royal Society transmettra la lettre de Clairaut à John Machin le (31 août 1749) 20 août 1749, qui déposera lui-même un pli cacheté (cf. (11 février 1751) 31 janvier 1750). D'Alembert attend un peu avant de se remettre à la théorie de la Lune (cf. 21 septembre 1749 (1)). Euler se réjouit que l'Académie de Saint-Pétersbourg choisisse la théorie de la Lune comme sujet de prix pour 1752 (cf. 3 janvier 1750 (1)). Daniel Bernoulli non plus n'a pas vu la nouvelle théorie de Clairaut (cf. 26 janvier 1750 (1)). Clairaut décide de participer au prix de Saint-Pétersbourg (cf. 24 juillet 1750 (1)), composant pour l'occasion C. 39, ce qui reportera la lecture de C. 40 aux 15, 18 et 22 mars 1752 (cf. 15 mars 1752 (2), 18 mars 1752 (1), 22 mars 1752 (1)). C. 40 connaît un prolongement avec C. 41 (cf. 5 septembre 1753 (2)). C'est parce C. 40 avait été donné pour paraphe en 1748 qu'il se trouve dans le volume de 1748 et non dans celui de 1752. Une première note de Lalande à l'Histoire des mathématiques de Montucla :
Fontaine, un des plus grands géomètres de ce temps là, disait que Clairaut n'en serait pas venu à bout [du problème des trois corps], sans la pièce d'Euler sur Saturne [(Euler 49b)], en 1748 [cf. 6 septembre 1747 (1)] ; et les tables que Léonard Euler publia en 1746 [(Euler 46b)] prouvent qu'il s'en était occupé vers le même temps (Montucla 99-02, vol. 4, p. 66). Une deuxième note de Lalande :
Le moyen que Clairaut employa pour reconnaître son erreur, consiste à chercher la valeur du plus petit terme qu'il avait soupçonné devoir être ajouté à l'expression de la force centrale en raison inverse du quarré de la distance ; comme ce terme devait être petit, il fallait mettre dans le calcul une précision singulière, et y faire entrer des inégalités qu'il avait jusqu'alors négligées ; avec ces attentions, il parvint à un résultat qui donnait 0 pour le terme additionnel, et cela lui apprit ce qu'il avait eu tort de négliger. Euler qui désirait connaitre cette analyse de Clairaut, fit proposer par l'Académie de Pétersbourg, la théorie de la Lune pour sujet de prix [cf. 15 juillet 1749 (1)]. Quand il reçut en 1750 la pièce de Clairaut [C. 39] pour la juger, il eut de la peine à se persuader que le résultat fût certain, et il n'y crut complètement, que lorsque il eut refait lui-même les calculs, sur lesquels Clairaut n'était pas entré dans d'assez grands détails. Ce sont ces deux grands géomètres qui m'ont raconté ces deux anecdotes (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 67-68). La méthode de Clairaut dont parle Lalande est exactement celle décrite par Euler dans sa lettre du 10 avril 1751 (cf. 10 avril 1751 (1)). Lalande mentionne aussi C. 40 dans (Lalande 58a) (cf. 7 juin 1758 (1)), (Lalande 60d) (cf. 16 juillet 1760 (1)), dans (Lalande 61i) (cf. 24 janvier 1761 (1)) et dans (Lalande 64a ; Lalande 92) (cf. 9 juillet 1757 (1)). Machin aussi ne trouvait que la moitié du mouvement de l'apogée de la Lune (cf. 13 juin 1744 (1)). Si Estève s'était livré à des recherches plus approfondies, il n'aurait pas écrit dans (Estève 55b) que le mouvement des apsides était incompatible avec l'attraction (cf. 24 décembre 1750 (1)). Laplace, dans son Traité de mécanique céleste :
Clairaut tira la même conclusion [insuffisance de la loi de Newton], en appliquant l'analyse différentielle au mouvement dé l'apogée lunaire. Mais cet illustre géomètre ayant porté plus loin les approximations, reconnut bientôt que la loi newtonienne donne le véritable mouvement de cet apogée. Dès lors tous lés géomètres et Euler lui-même admirent cette loi sans aucune restriction (Laplace 78-12, vol. 5, p. 342). Dans son Mémoire sur les équations séculaires des mouvements de la Lune :
J'ai observé [...] que les mouvements des nœuds et de l'apogée de l'orbite lunaire sont pareillement assujettis à des inégalités séculaires. Dans la détermination de leur valeur, je n'ai eu égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice, ce qui est d'une grande précision relativement à l'équation séculaire de ce mouvement ; mais on sait que cette puissance ne donne que la moitié du mouvement de l'apogée de la Lune : l'autre moitié est principalement due aux termes dépendants de la seconde puissance de la force perturbatrice, et résulte de la combinaison de deux grandes inégalités, la variation et l'évection. Cette remarque, l'une des plus importantes que l'on ait faites sur le système du monde, et dont on est redevable à Clairaut, nous prouve la nécessite d'avoir égard au carré de la force perturbatrice dans le calcul de l'équation séculaire du mouvement de l'apogée (Laplace 78-12, vol. 12, p. 193). Laplace mentionne encore C. 40 dans la CDT (cf. 13 janvier 1759 (1)).