Il s'agit de « Quatre problèmes sur de nouvelles courbes, de Mr Alexis Clairaut, le fils », Miscellanea Berolinensia, Berlin, vol. 4, 1734, pp. 143-152, 1 pl., alias C. 4 (Taton 76).

L'article XXXIV des règlements du 26 janvier 1699 précise que :
Ceux qui ne seront point de l'Académie ne pourront assister ni être admis aux assemblées ordinaires, si ce n'est quand ils y seront conduits par le secrétaire pour y proposer quelque découverte ou quelque machine nouvelle (Maindron 88, p. 22).

Fontenelle rajeunit Clairaut de trois mois. Le 1 septembre, en évoquant cette même séance, il le rajeunira encore en écrivant « douze ans et demi » (cf. 1 septembre 1726 (1). En juin 1730, Privat de Molières parlera de l'âge de douze ans pour des « marques publiques de son habileté dans les mathématiques » (cf. 3 juin 1730 (1)).

Grandjean de Fouchy :
[Clairaut le père] présenta [Clairaut] à l'Académie pour y lire son ouvrage ; il était si disproportionné à son âge qu'on douta qu'il pût être de lui ; et ce n'est qu'après qu'on se fût assuré, par les questions qu'on lui fit, qu'il était capable d'en produire même de plus forts, qu'il reçut de cette compagnie les justes éloges qu'il méritait. Le P. Reynaud surtout, qui y était présent, ne put retenir les larmes de joie que lui arrachait la vue d'un enfant qui méritait déjà de figurer au nombre des plus grands hommes (Fouchy 65).

La présence de Reynaud, associé libre âgé de 70 ans (Index 79), n'est pas signalée sur les PV. D'après ces registres, l'assemblée était ainsi composée (avec l'aide de l'Index, chacun est affecté dans sa classe avec une indication de l'âge quand il est connu, et, pour les trois classes les plus pertinentes, le symbole |-> précède les noms de ceux qui vont évoluer d'ici au 7 septembre 1729, date à laquelle la nomination de Clairaut sera proposée au Roi) :

Étaient présents :

le secrétaire perpétuel Fontenelle (69 ans) ;
le trésorier perpétuel Couplet ;

Rezay, associé libre ;
Simon de Valhébert, adjoint lexicographe ;

pour la classe d'anatomie :
Petit (62 ans), Winslow (57 ans), Petit (52 ans), pensionnaires ;
Morand (29 ans), associé ;
Maloet (42 ans), Senac (33 ans), adjoints ;

pour la classe de botanique :
Marchant, Reneaume (51 ans), Jussieu (40 ans), pensionnaires ;
Isnard (63 ans), associé ;

pour la classe de chimie :
Geoffroy (54 ans), Lémery (49 ans), Geoffroy (41 ans), pensionnaires ;
Dufay (28 ans), associé ;
Hunauld (25 ans), adjoint ;

pour la classe de géométrie :
Saurin (71 ans), Lagny (66 ans), Mairan (48 ans), pensionnaires ;
Terrasson (56 ans), Maupertuis (28 ans), associés ;
Le Monnier (51 ans), |->Godin (22 ans), adjoints ;

pour la classe de mécanique :
Chevallier, Réaumur (43 ans, sous-directeur), Nicole (43 ans), pensionnaires ;
|->Beaufort, associé ;
|->Molières (50 ans), |->Pitot (31 ans), adjoints ;

pour la classe d'astronomie
Maraldi I (61 ans), Cassini II (49 ans, directeur), pensionnaires ;
aucun associé ;
|->Lieutaud (66 ans), adjoint ;

Le président Bignon (64 ans) et le vice-président Maurepas (25 ans) sont (normalement) manquants, comme les autres membres honoraires. La classe de géométrie est toute entière présente. En mécanique, il manque l'associé |->La Hire (41 ans). En astronomie, il manque le pensionnaire Louville (55 ans), l'associé Joseph-Nicolas Delisle (38 ans), son frère Louis qui est adjoint, une place d'associé étant par ailleurs vacante par le décès de leur frère Guillaume survenu le 26 janvier. Cette place sera remplie par la promotion de Lieutaud, libérant ainsi une place d'adjoint astronome pour Godin qui change de classe, l'Académie ouvrant alors ses portes à Mahieu (47 ans) pour remplir la place vacante d'adjoint géomètre. La Hire décède le 18 juin 1727, permettant la promotion de Pitot au grade d'associé, l'Académie ouvrant ses portes à Camus (28 ans) pour remplir la place d'adjoint mécanicien ainsi vacante. C'est enfin le décès de Beaufort (6 avril 1728) qui, via la promotion de Molières (14 août 1729), va permettre la nomination de Clairaut à la place d'adjoint mécanicien le 11 juillet 1731 (cf. 11 juillet 1731 (1) sur une proposition de l'Académie du 7 septembre 1729 (cf. 7 septembre 1729 (1)).

C. 4 est transmis à Nicole et Pitot pour examen le 8 mai (cf. 8 mai 1726 (1)), favorablement jugé le 18 (cf. 18 mai 1726 (1)) et certifié par Fontenelle le 1 septembre (cf. 1 septembre 1726 (1)). Deux ans plus tard il sera envoyé à l'Académie de Berlin par Clairaut le père qui le joint à sa lettre de remerciement faisant suite à sa récente nomination comme correspondant étranger (cf. 30 septembre 1728 (1)). Après examen positif par Naudé (cf. 28 octobre 1728 (1)) et quelques inquiétudes sur son caractère inédit (cf. 9 novembre 1730 (1), 15 février 1731 (1)), il sera accepté pour publication le 25 mai 1731 (cf. 25 mai 1731 (1)). Le mémoire sera finalement imprimé en 1734 et un exemplaire du volume académique le contenant voyagera une année avant de parvenir entre les mains de Clairaut le père qui en accusera réception le 16 juin 1735 (cf. 16 juin 1735 (1).

Écho dans la Bibliothèque germanique :
La publication du [volume 4 des Miscellanea Berolinensia] a été fort retardée, avant et durant l'impression, par diverses pertes qu'a fait l'Académie des sciences de Berlin : celle de son protecteur, celle de son président, celles d'un de ses directeurs, et celles de deux secrétaires, l'un après l'autre.
[…]
Géométrie. (Les [pièces] suivantes [Clairaut 34 et C. 4] ont été laissées en français, telles qu'elles ont été envoyées par M. Clairaut, professeur en mathématiques à Paris.) I. Après avoir proposé comme un lemme : dans un carré donné, en inscrire un autre dont le côté soit aussi donné, M. Clairaut propose les trois problèmes suivants : 1. Dans un octaèdre donné, inscrire un cube dont le côté soit donné, ce qu'il fait, après avoir montré le plus grand et le moindre cube qu'on puisse inscrire dans l'octaèdre. 2. Manière de faire un hexaèdre ou un cube dans un tétraèdre régulier. 3. Manière de toiser les onglets des cônes. Il l'avait fait d'abord par le calcul intégral mais, mortifié de la peine qu'il s'était donnée, il en fait une plus simple, et suffisante aux ingénieurs.
II. Suivent aussi en français, Quatre problèmes sur de nouvelles courbes de M. Clairaut le fils, qui donne à quelques-unes le nom de Courbes des médianes paraboliques et hyperboliques. On y a joint un certificat de M. de Fontenelle, d'où il paraît que le 18 mai 1726 [cf. 18 mai 1726 (1)], l'Académie royale des sciences de Paris avait approuvé ce mémoire de M. Clairaut le fils âgé de douze ans et demi. (Mais plus d'un an auparavant, il avait été envoyé à l'Académie royale des sciences de Berlin, qui, dès le mois de mai 1725, avait conclu de l'insérer dans le 3e volume de ses mémoires, ce qui fut pourtant oublié) (Bibliothèque germanique, 1721-1741, 5 vol., Slatkine Reprints, Genève, 1969, vol. 4, pp. 8-11).

Le journaliste se trompe quand il indique que l'Académie de Berlin possédait C. 4 dès mai 1725, car le mémoire est reçu vers septembre 1728 (cf. 30 septembre 1728 (1)).

C. 4 a été réédité dans la revue Quadrature, occasion de relever une petite erreur de Clairaut (C. 4², n. 7, p. 20).

Les œuvres de Clairaut et de sa famille sont répertoriées dans (Taton 53), (Taton 76), (Taton 78) et (Courcelle 07).

C. 4 est le prélude à C. 1 (cf. Sans date (18)).