Il s'agit de « De l'orbite de la Lune dans le système de M. Newton », HARS 1743 (1746), Hist., pp. 123-129, Mém., pp. 17-32, 3 pl., alias C. 32, dont on trouve un manuscrit sur PV (Taton 76).

Un second manuscrit est conservé à Genève (BGE, Fr. 657/c, ff. 1-6).

Clairaut avait pris date pour C. 32 le 20 décembre 1743 (cf. 20 décembre 1743 (1)), ce qui explique sa parution dans le volume de 1743.

Clairaut indique à Cramer qu'il a travaillé à C. 32 durant l'été 1743 (cf. 10 février 1744 (1)) et à Euler qu'il a été malade jusque début septembre (cf. 7 septembre 1743 (1)).

Clairaut poursuit la lecture de C. 32 les 18 et 22 juillet, 5 décembre 1744 (cf. 18 juillet 1744 (1), 22 juillet 1744 (1), 5 décembre 1744 (2)).

Il y critique notamment les travaux de Machin dans (Newton 29).

Clairaut discute de C. 32 avec Cramer (cf. 13 avril 1744 (1), Mars 1744 (1)) avant de le lui envoyer, ce dernier le transmettant à Calandrini (cf. 12 juillet 1744 (1)) et faisant part de la réaction de son collègue genevois (cf. Août 1744 (1)).

Clairaut aura encore l'occasion d'évoquer C. 32 à Calandrini le 6 mars 174[8].

Clairaut envoie également C. 32 à Euler (cf. 23 août 1744 (1), 19 janvier 1745 (1), 20 mars 1745 (1), 14 juillet 1745 (1)).

Clairaut évoque le mémoire dans une lettre à Bradley du 19 août 1748 (cf. 19 août 1748 (1)), ainsi que Delisle l'avait déjà fait le 27 novembre 1747 (cf. 27 novembre 1747 (1)).

Maupertuis mentionne C. 32 dans une lettre à Jean II Bernoulli du 1 juillet (cf. 1 juillet 1744 (2)).

Mayer lit C. 32 avant de s'attaquer au sujet (cf. 23 juin 1754 (1)).

C'est la première fois que Clairaut aborde le problème des trois corps.

Cette même année [1743] il donna le commencement de son travail sur la Théorie de la Lune ; cette théorie n'avait été, pour ainsi dire, qu'ébauchée par Newton ; la double action que cette planète éprouve de la part de la Terre et de celle du Soleil, rend son orbite si irrégulière et si variable que le problème en avait acquis une certaine célébrité sous le nom de Problème des trois corps (Fouchy 65).

Supposant que les trois corps S, T, L, soient lancés avec des vitesses et des directions quelconques, que leurs masses soient aussi quelconques, et qu'elles s'attirent en raison réciproque du carré des distances, on demande les forces accélératrices qui agissent sur un de ces corps, L, par exemple pour lui faire décrire la courbe qu'il décrit autour d'un autre, T, de ces corps. […] Détermination de l'orbite de la Lune en supposant que son excentricité soit nulle ou extrêmement petite […] (C. 32, pp. 17, 19).

En 1746, d'Alembert s'attaquera aussi au problème des trois corps et se rencontrera avec Clairaut (cf. 14 juin 1747 (1)).

Clairaut poursuit ses travaux sur la théorie de la Lune avec C. 33a (cf. 28 juin 1747 (1)).

C. 32 est mentionné dans le Journal des sçavans, juin 1748, p. 339-340.

D'Alembert mentionne C. 32 dans le Discours préliminaire de (Alembert 54-56) (cf. 9 janvier 1754 (2)).

D'Alembert dans l'article « Épicycle » de l'Encyclopédie :
Quoique les épicycles des planètes, imaginés par Ptolémée, soient aujourd'hui entièrement bannis de l'astronomie, cependant quelques astronomes modernes s'en sont servis pour expliquer les irrégularités du mouvement de la Lune ; mais avec cette différence, qu'ils n'ont pas prétendu que la Lune parcourût en effet la circonférence d'un épicycle, comme Ptolémée prétendait que les planètes la parcouraient : ils ont seulement dit que les inégalités apparentes du mouvement de la Lune étaient les mêmes que si cette planète se mouvait dans un épicycle. M. Machin, dans un ouvrage fort court qui a pour titre, The laws of moon's motion [dans (Newton 29)], les lois du mouvement de la Lune, fait mouvoir la Lune dans une ellipse dont le petit axe est la moitié du grand : tandis que le centre de cette ellipse décrit d'un mouvement uniforme un cercle autour de la Terre, la Lune se meut dans l'ellipse, de manière qu'elle y parcourt des aires proportionnelles aux temps. Mais M. Clairaut, dans un mémoire [C. 32] imprimé parmi ceux de l'Académie, en 1743, soutient que M. Machin se trompe, et qu'on ne peut expliquer par cette supposition les mouvements de la Lune. M. Halley a supposé que la lune se mouvait dans une ellipse, et que le centre de cette ellipse était dans un épicycle dont le centre se mouvait uniformément autour de la Terre: il a déduit de ce mouvement les inégalités qu'on observe dans la vitesse de l'apogée, et dans l'excentricité de l'orbite de cette planète (Alembert 55b).

Montucla :
Machin proposa dans ce même écrit [Laws of the Moon’s motion dans (Newton 29)], une nouvelle manière de représenter la variation du mouvement de la Lune, par un petit épicycle elliptique ; il pensait représenter par là, à très peu près, l'orbite vraie de la Lune, et faisait un raisonnement spécieux pour prouver cette conformité. Mais une analyse exacte de cette hypothèse faite par Clairaut (Mémoires de l'Académie de 1743 [C. 32]) dans son premier Mémoire sur la théorie de la Lune a fait voir que cette hypothèse est insuffisante. […] À l'égard du mouvement de l'apogée, Machin tentait aussi de le représenter d'une manière semblable à celle qu'il avait employée pour le mouvement des nœuds. Mais il avoue qu'il est est loin d'en être satisfait, car quoique cette méthode donne assez bien le rapport de ce mouvement (de l'apogée) dans les différentes positions de l'orbite lunaire, elle ne donne pour la quantité absolue de ce mouvement que la moitié de ce qu'il faudrait ; en sorte, dit-il, qu'il paraît qu'il est besoin d'une plus grande force que celle qui provient de la variation de la gravité de la Lune vers le Soleil. Il va même jusqu'à craindre qu'il soit impossible d'expliquer toutes les circonstances de ce mouvement en s'en tenant aux seules forces centripètes ; mais Clairaut reconnut, en 1749 [C. 40], qu'il fallait seulement porter une plus grande rigueur dans l'analyse (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 64-65).