La date du début des calculs du retour de la comète est comprise entre fin juillet, d'après des indications fournies par Clairaut dans une lettre à Gael Morris (cf. [fin juillet 1757]), et juin, selon Lalande longtemps après les faits (cf. plus bas).

Le 15 octobre 1757, Lalande dans une lettre publiée par le Journal de Trévoux :
Il est donc impossible de rien statuer sur des effets si compliqués, avant qu'on ait achevé de calculer rigoureusement les efforts de Jupiter et de Vénus sur cette comète, comme M. Clairaut l'a entrepris malgré l'effroyable longueur des calculs (cf. 15 octobre 1757 (1)).

Le 12 novembre 1757, Pingré à l'assemblée publique de l'Académie :
Quant a cette comète attendue qui pourra apprécier la quantité de l'action de ces deux planètes [Jupiter et Vénus] ? Nous espérons tout des soins éclairés et infatigables de M. Clairaut qui a entrepris ce travail immense, et qui se propose d'instruire à temps le public du succès de ses vastes recherches (cf. 12 novembre 1757 (1)).

C'est plus Saturne que Vénus qui va poser problème (cf. plus bas).

Le 16 novembre 1757, Clairaut dans une lettre à Gael Morris :
Immediately after [some determinations], an enterprise much more fatiguing has engrossed my whole attention. It was the calculations of the perturbations which the comet now expected has received from the planets and especial[l]y Jupiter. The theory of such perturbation is more cumbersom[e] than the planet's, because of the comet's orb being so inclined, and its prodigious excentricity. The algebrical abbreviations growned upon the the vanishing of many terms in the first case, having no room here.
I thought at first of going out the precepts which my theory gave to make the computations of those perturbations, in order to leave the incumbrance of it, to the astronomers that would be glad to calculate the time of the comet's next apparition : supposing that the inequality of her periods was only caused by the attraction of the planets. Considering afterword that my precepts were very troublesome to follow, and very easy to be misunderstood in some cases, and fearing that some errors arising from it, spoiled the whole work and disgraced the theory, I have with the help of a friend [Lalande] undertaken the whole and I'm very near the end. Hitherto I have been so hard at work, as to neglect all correspondence for fear the comet got the start of me and appeared before the end of my calculations. Now I have time to breathe, for tho' I have not finished the whole enterprise, I am advanced enough to know I have sufficient time. The comet which has newly appeared instead of the expected has plagued me at the beginning, but her elements, now determined, have tranquilised me (cf. 16 novembre 1757 (2)).

Le 15 novembre 1758, Clairaut à l'assemblée publique de l'Académie :
Je vais rendre compte de la méthode que j'ai suivie pour déterminer les altercations que les corps célestes connus ont pu produire dans l'orbite de notre comète. […]
La solution que je donnai il y a dix ou douze ans du problème connu sous le nom de problème des trois corps, est à la base du travail que je viens de faire, ainsi que de mes recherches précédentes sur la Lune et su plusieurs planètes, mais cette nouvelle application était bien plus pénible que les autres. [Il pensait au départ n'avoir à se soucier que de l'action de Jupiter sur une petite partie de l'orbite, en fait il faut regarder son action sur trois révolutions, et faire de même avec Saturne, l'influence des autres corps célestes étant insensible.]
On ne sera pas étonné que dans le nombre immense d'opérations dont je viens de parler, j'aie chercher à me soulager au moins d'une partie de celles que de simples arithméticiens pouvaient faire. J'ai trouvé plusieurs moyen de les employer facilement et sans danger, soit en construisant pour eux des tables particulières qui réduisent les opérations que je leur confiais à de simples additions et à la recherche dont on a les logarithmes, soit en vérifiant l'ensemble de leurs calculs par des méthodes imaginées pour cet effet. Mais malgré tous les secours de cette espèce que j'ai pu emprunter, il m'a fallu faire moi-même une quantité innombrable de calculs arithmétiques et accepter les offres de M. de la Lande qui a voulu se charger de beaucoup d'opérations pénibles. L'intérêt que cet académicien a pris à la théorie et le plaisir que j'ai eu à lui communiquer n'ont pas peu contribué à entretenir le courage dont j'avais besoins pour en suivre l'application C. 48 ; C. 51, pp. viii-xi).

Le 7 avril 1759, Le Roy dans une lettre publiée par l'Année littéraire :
M. Clairaut sentit de quelle importance il était pour le système newtonien de savoir enfin ce qu'on devait penser du retour de cette comète. Il entreprit donc de calculer et de déterminer ces altérations que les corps célestes pouvaient produire dans le temps de sa révolution, et que M. Halley avait avoué ne pouvoir être calculées par la géométrie de son temps.
La solution du fameux problème des trois corps que M. Clairaut avait trouvées par approximation, lui donnait des facilités pour ce travail. Cependant, lorsqu'il l'entreprit, il ne se doutait pas des difficultés qu'il rencontrerait à chaque pas. Il faut lire son mémoire [C. 48] pour en prendre une idée ; encore celle qu'il en donne est-elle très imparfaite ; Non seulement il fallait qu'il calculât les perturbations que Jupiter pouvait causer dans le mouvement de cette comète ; il se vit encore forcé de calculer celles qui pouvaient résulter de l'action de Saturne. Jugez de là, Monsieur, dans quelles mers de calculs il lui a fallu se jeter. Il a eu le courage de vaincre toutes les difficultés, et, après un travail de près d'un an, il est parvenu à connaître les altérations que les actions de Jupiter et de Saturne sur cette comète ont pu causer dans les temps de ses révolutions (cf. 7 avril 1759 (1)).

Le 25 avril 1759, Lalande à l'assemblée publique de l'Académie (version manuscrite) :
Ce fut alors que M. Clairaut conçut le dessein de calculer rigoureusement ce que l'attraction de Jupiter avoit pû faire en 1681 et 1683 dans les tems ou il avoit passé si pres de la comete.
Je me chargeay pour abreger un long travail qu'il entreprit si courageusement de calculer les tables des elongations et des distances entre la comete et Jupiter, pour chaque degré d'anomalie excentrique, parce qu'il falloit nécessairement connoître ces positions pour calculer les forces de Jupiter. Quand M. Clairaut auroit voulû supposer avec Mr Halley qu'il etoit permis de négliger l'action de Jupiter dans les années ou il en etoit à de grandes distances, il n'auroit pas tardé a être dissuadé ; les premiers calculs lui firent voir que dans le tems même ou la comete etoit a une distance prodigieuse de Jupiter, son orbite ne laissoit pas d'en être troublée, surtout par l'action de [Jupiter] sur le Soleil qui en deplaçant le Soleil d'une petite quantité, donne a l'orbite de la comete un foyer different. Il trouva le moyen de déterminer par une synthèse fort élegante la quantité qui devoit resulter dans le mouvement de la comete de cette action sur le Soleil. Le reste se fit par une analyse tres compliquée et des quadratures approchées d'une multitude de courbes, dont on avoit calculé arthmetiquement les ordonnées.
La suite du calcul fit voir ensuite que l'effet de Jupiter etant si grand, celui de Saturne ne pouvoit pas etre negligé. Il fallut entreprendre ce nouveau travail, calculer de nouvelles tables, quarrer de nouvelles courbes, enfin le calcul devenant enormement compliqué, et les approximations renfermant toujours une certain degré d'imperfection, il fallut calculer par la même voye les actions de Jupiter et de Saturne dans la période de 1531 a 1607 pour voir si les methodes representeroient avec une exactitude suffisante, la différence de près d'un an qu'on y avoit remarqué[e]. Le calcul se trouva differer d'environ un mois de l'observation, c'etoit une precision assez grande eu egard a l'immensité de l'objet pour que M. Clairaut dût s'applaudir de ses succés […] Nous devons a M. Clairaut les plus belles preuves qu'il restât a donner de la gravité universelle (cf. 25 avril 1759 (2)).

Le même mémoire de Lalande, imprimé dans les Tables astronomiques de M. Halley (éditées par Lalande) (soulignée par moi) :
Ce fut alors que M. Clairaut conçut le dessein de calculer rigoureusement l'effet que l'attraction de Jupiter avait pu produire en 1681 et 1683, dans les temps où il avait passé si près de la comète. **Pour abréger un travail si long, et qu'il entreprenait avec tant de courage, je me chargeai de calculer les tables des distances et des commutations entre Jupiter et la comète, pour chaque degré d'anomalie excentrique, parce qu'il fallait nécessairement connaître ces positions pour calculer les forces de Jupiter** [version manuscrite de (Lalande 59) : Je me chargeay pour abreger un long travail qu'il entreprit si courageusement de calculer les tables des elongations et des distances entre la comete et Jupiter, pour chaque degré d'anomalie excentrique, parce qu'il falloit nécessairement connoître ces positions pour calculer les forces de Jupiter].
Quand même M. Clairaut aurait voulu supposer, comme M. Halley, qu'il était permis de négliger l'action de Jupiter sur la comète dans les années où ils étaient à de grandes distances, il n'aurait pas tardé à revenir de cette prévention ; les premiers calculs firent voir à M. Clairaut, que dans le temps même où la comète était la plus éloignée de Jupiter, son orbite ne laissait pas d'en être encore troublée, surtout par l'action de Jupiter sur le Soleil, parce que Jupiter déplaçant le Soleil d'une petite quantité, donne à l'orbite de la comète des éléments différents ; M. Clairaut trouva le moyen de déterminer par une synthèse fort élégante, la quantité qui devait résulter dans le mouvement de la comète, de cette action sur le Soleil ; le reste se fit par une analyse très compliquée, et des quadratures approchées d'une multitude de courbes, dont on avait calculé arithmétiquement les ordonnées.
La suite du calcul fit voir bientôt que l'effet de Jupiter étant si considérable, celui de Jupiter [Saturne !] ne pouvait pas être négligé ; il fallut entreprendre ce nouveau travail, calculer de nouvelles tables, quarrer de nouvelles courbes. Enfin le calcul devenant énormément compliqué, et les approximations qu'on y emploie renfermant toujours une certain degré d'imperfection, il fallut calculer par la même voie, les actions de Jupiter et de Saturne dans la période de 1531, à 1607, pour voir si les méthodes représenteraient avec une exactitude suffisante, la différence de quinze mois qu'on avait remarqué entre elle et la période suivante ; **je continuai de faire pour cette révolution, le même calcul des commutations et des distances, que j'avais fait pour les deux autres, mais il faut convenir que cette suite immense de détails m'eût semblé effrayante, si Madame Lepaute, appliquée depuis longtemps et avec succès aux calculs astronomiques, n'en eût partagé le travail** [passage absent de la version manuscrite de (Lalande 59), ainsi traité dans sa version imprimée : je continuai de fournir à M. Clairaut les éléments du calcul, les situations et les forces de Saturne].
M. Clairaut obtint enfin des résultats qui se trouvèrent différer d'un mois de l'observation ; dans l'un et l'autre cas, c'était une précision assez grande, eu égard à l'immensité de l'objet, pour que M. Clairaut dût s'applaudir de ses succès. [...] et nous devons à M. Clairaut la plus belle preuve qui nous reste à donner de la gravitation universelle (cf. 28 juillet 1759 (1)).

Le même mémoire de Lalande, publié dans le volume académique de 1759 (version imprimée, soulignée par moi) :
Ce fut alors que M. Clairaut conçut le dessein de calculer rigoureusement ce que l'attraction de Jupiter avait pu faire en 1681 et 1683 dans les temps ou il avait passé si près de la comète. **Il m'engagea à l'aider dans cette pénible entreprise, qu'il n'aurait osé entreprendre seul ; je l'y portai moi-même avec empressement et** [passage précédent absent de la version manuscrite] je me chargeais pour abréger un long travail qu'il entreprit si courageusement de calculer les tables des élongations et des distances **entre Jupiter et la comète avec les forces de Jupiter sur la comète, pour chaque degré d'anomalie excentrique** [version manuscrite : entre la comete et Jupiter, pour chaque degré d'anomalie excentrique, parce qu'il falloit nécessairement connoître ces positions pour calculer les forces de Jupiter]. Quand M. Clairaut aurait voulu supposer avec M. Halley qu'il était permis de négliger l'action de Jupiter dans les années ou il en était à de grandes distances, il n'aurait pas tardé a être dissuadé ; les premiers calculs lui firent voir que dans le temps même où la comète était a une distance prodigieuse de Jupiter, son orbite ne laissait pas d'en être troublée, surtout par l'action de Jupiter sur le Soleil qui, en déplaçant le Soleil d'une petite quantité, donne a l'orbite de la comète un foyer différent. Il trouva le moyen de déterminer par une synthèse fort élégante la quantité qui devait résulter dans le mouvement de la comète, de cette action sur le Soleil. Le reste se fit par une analyse très compliquée et des quadratures approchées d'une multitude de courbes, **dont j'avais calculé les ordonnées à peu près comme je l'ai expliqué dans mon mémoire sur es inégalités de Mars [Mém[oires] Acad[émiques] 1761, page 264 NDA [(Lalande 61i)]]** [version manuscrite : dont on avait calculé arthmetiquement les ordonnées]. La suite du calcul fit voir ensuite que l'effet de Jupiter étant si grand, celui de Saturne ne pouvait pas être négligé ; il fallut entreprendre ce nouveau travail, **je calculai de nouvelle tables, je quarrai de nouvelles courbes** [version manuscrite : calculer de nouvelles tables, quarrer de nouvelles courbes], enfin le calcul devenant énormément compliqué, et les approximations renfermant toujours une certain degré d'imperfection, il fallut calculer, par la même voie, les actions de Jupiter et de Saturne dans la période de 1531 a 1607, pour voir si les méthodes représenteraient avec une exactitude suffisante, la différence de près d'un an qu'on y avait remarquée. **Je continuai de fournir à M. Clairaut les éléments du calcul, les situations et les forces de Saturne** [passage précédent absent de la version manuscrite]. Le calcul se trouva différer d'environ un mois de l'observation ; c'etait une précision assez grande, eu égard a l'immensité de l'objet, pour que M. Clairaut dût s'applaudir de ses succès […]** M. Clairaut a trouvé ensuite [un meilleur résultat] par un calcul plus exact [version manuscrite : Nous devons a M. Clairaut les plus belles preuves qu'il restât a donner de la gravité universelle] (Lalande 59).

Le même mémoire de Lalande, résumé dans la partie Histoire du volume académique de 1759 (par lui-même, ainsi qu'il l'indique dans l'article « Comètes » du Supplément à l'Encyclopédie) :
Dans le temps que les astronomes commençaient à s'occuper du retour de cette comète, c'est-à-dire en 1757, M. Clairaut conçut le dessein de calculer rigoureusement l'attraction de Jupiter sur la comète en 1681, pour les temps où elle en avait été fort près, et de chercher s'il pouvait en résulter un effet tel que M. Halley l'avait cru, ou si la période pouvait être allongée par cette attraction, de manière que la comète ne dût reparaître qu'à la fin de 1758 ou au commencement de 1759 : M. Clairaut ne pensait alors, à l'exemple de M. Halley, qu'à cette seule circonstance, et ce ne fut qu'à la suite de ces calculs qu'il reconnut la nécessité de les étendre beaucoup plus loin. Quoique M. Clairaut ne songeât pas pour lors à ces calculs immenses que la comète lui a fait faire, il en apercevait trop encore pour les entreprendre seul ; il communiqua son dessein à M. de la Lalande, et celui-ci se chargea de toute la partie astronomique de ce travail ; il calcula pour M. Clairaut des tables des distances de Jupiter à la comète, et des forces avec lesquelles elle en avait été attirée dans l'espace de plusieurs années, et M. Clairaut s'occupa tout entier à trouver le résultat de ces forces attractives, par des méthodes analytiques, en étendant sa solution du problème des trois corps au cas particulier d'une comète, dont les distances et les vitesses varient prodigieusement. Ces recherches renfermaient de nouvelles difficultés que M. Clairaut n'avait point dans dans théorie de la Lune, mais il vint à bout de les surmonter, comme l'évènement l'a fait voir. [suit grosso modo ce qui se trouve dans (Lalande 59), version imprimée] (HARS 1759, Hist., pp. 130-131).

En 1759, Lalande dans la Connoissance des temps pour 1760 :
M. Clairaut ayant calculé par de longues et pénibles opérations les inégalités que Jupiter et Saturne lui causent, a trouvé que sa période actuelle devait être d'environ six cents jours plus longue que la dernière fois, en sorte qu'elle reparaitrait au mois d'avril. Cette prédiction vient de s'accomplir aussi exactement que l'auteur paraissait l'espérer (cf. 15 novembre 1758 (1)).

En 1759, Clairaut en note à son mémoire de 1758, réédité dans sa Théorie du mouvement des comètes (1760) :
Dans le temps où je formais le projet d'appliquer ma solution du problème des trois corps [C. 39, C. 40] à la comète de 1682, M. de la Lande se trouvait occupé à lire cette même solution [cf. 12 juillet 1757 (1)], dont il se proposait de tirer parti pour l'avancement de plusieurs branches de l'astronomie. Cette disposition où il se trouvait, le temps que je pouvais lui épargner dans la lecture de la théorie, celui qu'il lui était aisé de me sauver aussi par sa promptitude dans les opérations arithmétiques, m'ont fait vaincre la répugnance que j'avais à lui laisser entreprendre pour moi des opérations aussi pénibles (voyez la page 67) que celles dont il voulait se charger. J'ai vu avec plaisir ensuite dans un mémoire très curieux qu'il a donné à l'Académie sur les perturbations de Mars [(Lalande 58a)], qu'il avait réalisé son dessein de multiplier les applications de ma théorie (C. 51, p. xi).

En janvier 1760, un certain D. B. dans le Journal étranger :
C'est précisément ce qu'a fait l'illustre M. Clairaut [examiner avec soin l'action des autres planètes que Jupiter sur la route de la comète]. Mais de quel courage ne fallait il pas s'armer pour se soumettre à ce pénible travail ? Jusqu'à quel degré ne fallait-il pas avoir perfectionné les méthodes et les connaissances que ces recherches exigeaient ? Il n'y a qu'un petit nombre des plus habiles gens qui puisse en juger convenablement. M. Clairaut fut encouragé par les admirables succès qu'avait déjà eus sa belle théorie sur les variations et les perturbations de la Lune ; et un grand astronome eut le zèle de l'aider, comme un simple ouvrier, dans les calculs astronomiques et numériques. Il fut encore obligé d'employer quelques autres secours, sans lesquels il aurait peut-être été réduit à ne prédire qu'après coup, ou à se contenter de faire voir que la comète avait suivi dans sa dernière révolution les lois que ses calculs indiquaient. Cependant toute sa diligence, toute son adresse pour abréger les calculs, et tous ses aides ne suffirent point pour qu'ils pussent être achevés avant l'assemblée publique de l'Académie royale des sciences du 14 novembre 1758 [15 !, cf. 15 novembre 1758], à laquelle il s'était proposé d'annoncer ses résultats. Mais en ayant fait la plus grande et la plus importante partie, il vit que ce qui lui restait à faire ne pouvait plus emporter que quelques semaines, par rapport au retour de la comète à une périhélie, et il ne s'était pas proposé une plus grande exactitude. Enfin il osa annoncer ce retour, et le fixer vers le milieu d'avril 1759 (cf. Janvier 1760 (1)).

En 1760, Lalande, dans la Connoissance des temps de 1761 :
M. Clairaut, aguerri par les obstacles que la théorie de la Lune avait offerts, et qu'il avait déjà heureusement surmontés, entreprit en 1757 de fixer ce retour. Les méthodes connues jusqu'alors étaient insuffisantes, il en chercha de nouvelles, et il parvint, après deux ans des plus sublimes recherches, à trouver que la période actuelle serait plus longue de six cent dix-huit jours que la période précédente, en vertu des attractions de Jupiter et de Saturne sur la comète, depuis 1607 jusqu'en 1682, et depuis 1682 jusqu'en 1758.
L'immensité des recherches, où cette profonde analyse entraîna M. Clairaut, l'occupa assez longtemps pour lui permettre de se reposer sur d'autres, d'un grand nombre de détails, sans rien perdre du mérite d'un travail qui était tout à lui. Je me chargeai donc de lui calculer, avec le secours de M[a]d[am]e L. P. [Lepaute] une table des élongations et des distances de la comète à Jupiter et à Saturne, depuis 1531 jusqu'à 1758 ; et c'est de là que M. Clairaut a déduit les ordonnées de plusieurs courbes, qui par leurs quadratures servent à exprimer, suivant sa méthode, la différence entre le mouvement elliptique qui aurait lieu sans les perturbations et le mouvement réel dans la trajectoire altérée.
Le passage de la comète par son périhélie a devancé d'environ un mois la prédiction de M. Clairaut ; mais il avait annoncé lui-même que la nature de ce problème ne comportait pas une grande précision (CDT 1761, pp. 213-214).

Le 12 décembre 1761, Clairaut dans une lettre à Müller :
J'avais tant travaillé sur la comète en 1757 et 1758 pour la pouvoir annoncer, que cette matiere me répugnait à un point qu'il me paraissait impossible de la reprendre (cf. 12 décembre 1761 (1)).

D'Alembert croit savoir ce que pense Clairaut des compétences de Lalande (cf. 5 juillet 1762 (1)).

En 1764, Lalande, dans la première édition de son Astronomie :
Lorsqu'on commença à parler en 1757 du retour de cette comète prédite par M. Halley, on s'aperçut que l'inégalité de ses périodes précédentes nous laissait près d'une année d'incertitude sur le temps de son apparition ; M. Halley avait remarqué que cette comète en 1681 passant fort près de Jupiter, en avait dû être fortement attirée, et que cela pourrait retarder l'apparition suivante jusqu'au commencement de 1759. Mais cette considération était trop vague pour qu'on dût y compter, M. Halley n'y comptait pas lui-même ; en conséquence M. Clairaut souhaita d'y appliquer sa théorie de l'attraction, et je m'empressai de lui fournir tous les calculs astronomiques dont il avait besoin, les situations de la comète, et les forces que Jupiter et Saturne avaient exercées sur elle pendant l'espace de 150 ans, ou de deux révolutions ; au moyen de ces forces exprimées en nombres, M. Clairaut trouva, par sa solution au problème des trois corps, l'effet total des attractions de Jupiter et de Saturne, et annonça la comète pour le milieu d'avril (Voyez ma Théorie des comètes [(Halley 59)], p. 110) malgré l'immensité des calculs que nous fîmes à cette occasion, M. Clairaut et moi, les quantités négligées produisirent un mois d'erreur dans la prédiction, et M. Clairaut l'avait prévu. Mais il a fait voir ensuite (dans sa Théorie des comètes [C. 51], pag[e] 159), que l'erreur se réduisait à 22 jours, et qu'il y aurait des moyens de pousser l'approximation assez loin pour rendre l'erreur encore moindre. Les savantes recherches de M. Clairaut sur cette matière composent une pièce qui a remporté le prix de l'Académie de Pétersbourg en 1762 [C. 56], et se trouvent dans un volume qu'il a fait imprimer en 1760, sous le titre de Théorie du mouvement des comètes, in-8°, 241 pag[es] à Paris, chez Lambert [C. 51]. On trouvera aussi de très belles recherches de M. d'Alembert sur le même sujet, dans le second volume de ses Opuscules mathématiques [(Alembert 61-80)], pag[e] 97 et suiv[antes] et dans la pièce de M. Albert Euler, qui a remporté en 1762 le prix proposé par l'Académie de Pétersbourg [(Euler 62a)], concurremment avec M. Clairaut (Lalande 64a, vol. 2, pp. 1198-1199).

En 1771, Lalande dans la 2e édition de son Astronomie (et dans Lalande 74) (soulignée par moi) :
Lorsqu'on commença à parler en 1757 du retour de cette comète prédite par M. Halley, on s'aperçut que l'inégalité de ses périodes précédentes nous laissait près d'une année d'incertitude sur le temps de son apparition ; M. Halley avait remarqué que cette comète en 1681 passant fort près de Jupiter, en avait dû être fortement attirée, et que cela pourrait retarder l'apparition suivante jusqu'au commencement de 1759. Mais cette considération était trop vague pour qu'on dût y compter, M. Halley n'y comptait pas lui-même. **Je proposai à Clairaut d'y appliquer sa théorie de l'attraction, ou du problème des trois corps, en lui offrant tous les calculs astronomiques dont il aurait besoin ; je lui donnai les situations de la comète, et les forces que Jupiter et Saturne avaient exercées sur elles pendant pendant l'espace de 150 ans ou de deux révolutions, soit dans la direction des rayons vecteurs, soit perpendiculairement aux rayons, avec les ordonnées et les surfaces de toutes les courbes qui représentaient les intégrales des équations du problème. Par ce moyen** [version 1764 : en conséquence M. Clairaut souhaita d'y appliquer sa théorie de l'attraction, et je m'empressai de lui fournir tous les calculs astronomiques dont il avait besoin, les situations de la comète, et les forces que Jupiter et Saturne avaient exercées sur elle pendant l'espace de 150 ans, ou de deux révolutions ; au moyen de ces forces exprimées en nombres], M. Clairaut trouva, par sa solution au problème des trois corps, l'effet total des attractions de Jupiter et de Saturne, et annonça la comète pour le milieu d'avril (Voyez ma Théorie des comètes [(Halley 59)], p. 110) malgré l'immensité des calculs que nous fîmes à cette occasion, M. Clairaut et moi, les quantités négligées produisirent un mois d'erreur dans la prédiction, et M. Clairaut l'avait prévu. Mais il a fait voir ensuite (dans sa Théorie des comètes [C. 51], pag[e] 159), que l'erreur se réduisait à 22 jours, et qu'il y aurait des moyens de pousser l'approximation assez loin pour rendre l'erreur encore moindre. Les savantes recherches de M. Clairaut sur cette matière composent une pièce qui a remporté le prix de l'Académie de Pétersbourg en 1762 [C. 56], et se trouvent dans un volume qu'il a fait imprimer en 1760, sous le titre de Théorie du mouvement des comètes, in-8°, 241 pag[es] à Paris, chez Lambert [C. 51]. On trouvera aussi de très belles recherches de M. d'Alembert sur le même sujet, dans le second volume de ses Opuscules mathématiques [(Alembert 61-80)], pag[e] 97 et suiv[antes] et dans la pièce de M. Albert Euler, qui a remporté en 1762 le prix proposé par l'Académie de Pétersbourg [(Euler 62a)], concurremment avec M. Clairaut (Lalande 71, vol. 3, pp. 380-381).

En 1775, Dionis du Séjour dans son Essai sur les comètes :
M. Clairaut a repris cette théorie [de Halley] dans un excellent ouvrage [C. 51], où il soumet au calcul rigoureux la marche de cette comète. Je m'écarterais de mon sujet, si je voulais donner l'analyse de ce travail, dont l'exécution fait autant d'honneur à la France, que la première idée en a pu faire à l'Angleterre. Il suffit de savoir qu'au moyen des calculs les plus pénibles, M. Clairaut est venu à bout de déterminer, à un mois près, la dernière révolution de la comète. M. Clairaut méritait qu'on lui épargnât les dégoûts inséparables d'opérations numériques très multipliées. Il trouva des secours dans le zèle de M. de la Lande. Je fus assez heureux pour pouvoir aussi lui être utile. Au reste, je suis fort éloigné de revendiquer la moindre partie de ce travail. Des calculs numériques et quelques déterminations de planètes, ne peuvent donner, aucun droit à un ouvrage de génie.
[…]
Comète de 1456. […] Cette comète est la même que celle dont M. Halley découvrit le premier les retours périodiques, et à qui M. Clairaut a depuis appliqué l'analyse du problème des trois corps.
[…]
Tel était l'état des connaissances astronomiques, relativement à cette comète, lorsque M. Clairaut entreprit d'y appliquer les formules du problème des trois corps, et de soumettre sa marche au calcul rigoureux. Je m'écarterais de mon sujet, si je voulais donner l'analyse de ce travail, dont l'exécution fait autant d'honneur à la France, que la première idée en a pu faire à l'Angleterre. Il suffit de savoir qu'au moyen des calculs les plus pénibles, M. Clairaut est venu à bout de déterminer, à un mois près, la durée de la dernière révolution de la comète. Suivant cet illustre géomètre, cet astre devait passer par le périhélie vers le 15 avril 1759 ; il y a réellement passé le 12 mars. M. Clairaut méritait qu'on lui épargnât les dégoûts inséparables d'opérations numériques, nécessairement très multipliées ; il trouva dans plusieurs de ses amis, et surtout dans le zèle de M. de la Lande des secours, qu'il ne craint point de publier dans la préface de son ouvrage [C. 51]. Je fus allez heureux pour pouvoir aussi lui être utile. Au reste, je suis fort éloigné de revendiquer la moindre partie de ce travail, qui appartient en entier à M. Clairaut. Des calculs numériques, et quelques déterminations de planètes, ne peuvent donner aucun droit à un ouvrage de génie (Dionis du Séjour 75).

En 1776, Lalande, dans l'article « Comètes » du Supplément à l'Encyclopédie :
Je proposai en 1757 à M. Clairaut de lui calculer une table des distances de la comète à Jupiter et à Saturne depuis 1531 jusqu'à 1759, avec les angles de commutation et les forces attractives de ces deux planètes sur la comète, afin qu'il y appliquât sa théorie du problème des trois corps, et que nous pussions voir si cette attraction devait accélérer ou retarder le retour de la comète qu'on attendait pour 1757 ou 1759. Ce travail immense eut tout le succès que nous en espérions, comme je l'ai expliqué fort au long dans l'histoire et dans les mémoires de l'Académie pour 17[5]9 (cf. 25 avril 1759 (2)).

En 1788, Lalande sans son éloge de Mme de Lepaute du Journal de Paris :
En 1757 M. Clairaut entreprit, à ma sollicitation, de calculer l'attraction de Jupiter et de Saturne sur la comète prédite par Halley, pour avoir exactement son retour. Mme Lepaute nous fut d'un si grand secours, que nous n'aurions osé peut-être, sans son courage, entreprendre cet énorme travail, où il fallait calculer pour tous les degrés pendant 150 ans les distances et les forces de chacune des deux planètes par rapport à la comète ; je lui rendis justice à cet égard dans ma Théorie des comètes [(Halley 59, p. 110), cf. 28 juillet 1759 (1)](Lalande 88b).

En 1792, Lalande dans la 3 édition de son Astronomie. Identique à l'édition de 1771 à une actualisation (Mémoires de Lagrande et Fuss) près (Lalande 92, vol. 3, pp. 271-272).

En 1802, dans l'édition de Lalande de l'Histoire des mathématiques de Montucla :
En 1757, le cit[oyen] de La Lande [Lalande], qui s'intéressait vivement à cette comète, qui s'était occupé de la théorie de l'attraction en 1751, avec Euler, lisait la pièce de Clairaut sur la Lune [C. 39] [et C. 41 cf. 12 juillet 1757 (1)], et faisait des applications de cette théorie de Clairaut aux inégalités des planètes ; il lui proposa de vérifier les conjectures de Halley, en calculant rigoureusement l'attraction de Jupiter sur la comète en 1681, pour les temps où elle avait été fort près, et de chercher s'il pouvait en résulter un effet tel que Halley l'avait cru, ou si la période pouvait être allongée par cette attraction, de manière que la comète ne dût reparaître qu'à la fin 1758, ou au commencement de 1759. Il ne pensait alors, à l'exemple de Halley, qu'à cette seule circonstance, et ce ne fut qu'à la suite de ces calculs qu'il reconnut la nécessité de les étendre beaucoup plus loin. Quoique l'on ne songeât pas pour lors à ces calculs immenses que la comète a exigé, Clairaut en apercevait trop encore pour les entreprendre seul. Le cit[oyen] de La Lande se chargea de toute la partie astronomique de ce travail : il calcula des tables des distances de Jupiter à la comète, et des forces avec lesquelles elle en avait été attirée dans l'espace de plusieurs années, et Clairaut s'occupa tout en entier à trouver le résultat de ces forces attractives, par des méthodes analytiques, en étendant sa solution du problème des trois corps au cas particulier d'une comète, dont les distances et les vitesses varient prodigieusement. Ces recherches renfermaient de nouvelles difficultés que Clairaut n'avait pas rencontrées dans sa théorie de la Lune ; mais il vint à bout de les surmonter, comme l'événement l'a fait voir. La Lande, aidé de madame Lepaute, calculait encore les ordonnées et les surfaces des courbes qui exprimaient les intégrales de ce problème ; ils forcèrent le travail pendant plus d'un an, au point d'en être malades.
Clairaut avait supposé, à l'exemple de Halley, qu'il était permis de négliger l'action de Jupiter sur la comète dans les années où ces planètes étaient à de grandes distances l'une de l'autre ; mais il ne tarda pas à revenir de cette persuation, et les calculs lui firent voir que dans le temps même où la comète est la plus éloignée de Jupiter, son orbite ne laisse pas d'en être encore troublée à raison de l'action de Jupiter sur le Soleil, parce que Jupiter déplaçant le Soleil d'une petite quantité, donne à l'orbite de la comète un foyer différent. Clairaut trouva le moyen de déterminer, par une synthèse fort élégante, ce qui devait résulter de cette action sur le Soleil, et combien elle affectait les révolutions de la comète. Pour ce qui est de l'action directe de Jupiter sur la comète, il fallut déterminer toutes les quantités qui y entrent par des suites de termes dépendant des situations de la comète pendant 150 ans, et par les quadratures approchées de différentes courbes.
On reconnut bientôt, en voyant combien la perturbation causée par Jupiter avait été considérable, que celle de Saturne ne pouvait pas se négliger ; il fallut donc entreprendre ce nouveau travail.
Le cit[oyen] de la Lande calcula les distances de Saturne à la comète, les élongations et ses forces attractives pendant 150 ans. Il carra de nouvelles courbes, et Clairaut en déduisit la quantité dont l'action de Saturne devait influer sur le retour de la comète en 1759, c'est-à-dire de combien la période entre 1682 et 1759, devait surpasser la période observée entre 1607 et 1682.
Tous ces calculs étant achevés au mois de novembre 1758 [cf. 15 novembre 1758 (1)], Clairaut annonça, à la rentrée publique de l'Académie, les conclusions définitives qu'il en avait tirées ; il trouva 618 jours pour l'excès de la période qui allait finir en 1759, sur la période précédente ; d'où il suivait que la comète devait se retrouver dans son périhélie vers le milieu d'avril.
Les méthodes et les résultats de ces immenses calculs furent imprimés dans sa Théorie du mouvement des comètes en 1760 [C. 51], avec quelques changements. L'on y voit que la différence des deux périodes devait être de 611 jours par les attractions de Jupiter et de Saturne, 511 pour l'un et 100 l'autre ; l'événement justifia, à peu de chose près, cette belle théorie ; car la comète qui devait passer à son périhélie le 13 mars 1759 y passa le 4 avril. Ainsi la plus fameuse de toutes les comètes a confirmé ce que Newton avait dit que les comètes tournoient autour du soleil comme les planètes ; mais elle est la seule quant-à-présent (Montucla 99-02, vol. 4, pp. 257-258).

En 1803, Lalande, dans sa Bibliographie astronomique :
Dès l'année 1757, je [Lalande] lui [Clairaut] proposai d'appliquer sa théorie du problème des trois corps aux perturbations que Jupiter pouvaient avoir produites en approchant de cette comète ; mais il vit bientôt que cela ne suffisait pas. Je fus obligé de calculer pour cent cinquante ans les distances de Jupiter et de Saturne à la comète, les forces qu'ils avaient exercées sur elle, et les surfaces des courbes qui exprimaient les effets de ces perturbations. Aidé de Mme Lepaute, je travaillai plus d'un an avec tant d'assiduité, que j'en fus malade (Lalande 03, p. 466).

En 1803, Lalande dans le « Supplément » à sa Bibliographie astronomique :
Au mois de juin 1757, j'engageai Clairaut à appliquer sa solution du problème des trois corps à la comète qu'on attendait, et à calculer l'attraction de Jupiter et de Saturne sur la comète, pour avoir exactement son retour. Mme Lepaute nous fut d'un si grand secours que nous n'aurions point osé sans elle entreprendre cet énorme travail, où il fallait calculer pour tous les degrés, et pour 150 ans, les distances et les forces de chacune des deux planètes par rapport à la comète. Je lui ai rendu justice à cet égard dans ma Théorie des comètes [(Halley 59)], p. 110 [cf. 28 juillet 1759 (1)].
En 1759, Clairaut avait également cité Mme Lepaute dans son livre sur la comète [C. 51], où il profitait de cet immense travail ; mais il supprima cet article par complaisance pour une femme [Mlle Gouilly, cf. [c. juin] 1757 (2)] jalouse du mérite de Mme Lepaute, et qui avait des prétentions sans aucune espèce de connaissance. Elle parvint à faire commettre cette injustice à un savant judicieux, mais faible, qu'elle avait subjugué. On sait qu'il n'est pas rare de voir les femmes ordinaires déprécier celles qui ont des connaissances, les taxer de pédanterie, et contester leur mérite, pour se venger de leur supériorité : celles-ci sont en si petit nombre, que les autres sont presque parvenues à leur faire cacher ce qu'elles savent.
Clairaut m'écrivait : « l'ardeur de Mme Lepaute est surprenante ». Dans une autre lettre, il l'appelle la savante calculatrice. On comprendrait difficilement le courage qu'exigeait cette entreprise, si l'on ne savait que pendant plus de six mois nous calculâmes depuis le matin jusqu'au soir, quelquefois même à table, et qu'à la suite de ce travail forcé, j'eus une maladie qui changea mon tempérament pour le reste de ma vie ; mais il était important que le résultat fût donné avant l'arrivée de la comète, pour que personne ne pût douter de l'accord entre l'observation et les calculs qui serviraient de fondement à la prédiction. C'est ce qui arriva effectivement : la comète fut retardée de 600 jours par l'action de Jupiter et de Saturne ; et ce retardement fut annoncé à la rentrée publique de l'Académie des sciences au mois de novembre 1758 [cf. 15 novembre 1758 (1)]. On ne vit la comète que le 21 janvier 1759 et en Allemagne le 25 décembre 1758 – Histoire de l'Académie, 1759, p. 142. Elle fut observée à Béziers, comme on le voit p. 156 (Lalande 03, pp. 677-678).

En 1813, Lacroix dans sa notice biographique sur Clairaut :
Cette belle explication exigeait des calculs immenses, pour lesquels Clairaut se fit aider par Lalande, et même par quelques dames (Lacroix 13).

Un « plusieurs dames » a aussi été attribué à Delambre (cf. 31 août 1740 (1)).

La deuxième dame est la demoiselle Gouilly (cf. [c. juin] 1757 (2)).

Clairaut annonce le retour de la comète le 15 novembre 1758 (cf. 15 novembre 1758 (1)).