Il s'agit de « Mémoire sur la comète de 1682, adressé à MM. les auteurs du Journal des sçavans », Journal des sçavans, janvier 1759, pp. 38-45, alias C. 48 (Taton 76).

Selon la Suite de la clef :
Le 15 [novembre 1758], l'Académie royale des sciences tint sa première assemblée publique d'après la Saint-Martin. Le cardinal de Luynes y présida. M. de Fouchy ouvrit la séance par la lecture de l'éloge de M. de Jussieu. M. Clairaut lut ensuite un mémoire sur la comète de 1682, dont Newton a prédit le retour pour l'année 1758. Cet académicien exposa en habile géomètre, les pénibles calculs qu'il a faits, pour décider la route de cette fameuse comète, et il conclut qu'elle ne devait reparaître que le vers le mois d'avril de l'année prochaine (Suite de la clef, décembre 1758, pp. 474-475).

Le comité de librairie examine C. 48 le 23 décembre (cf. 23 décembre 1758 (2)).

C. 48 est reproduit avec des notes de Clairaut dans C. 51. Le sous-titre de ces deux éditions du mémoire indique par erreur qu'il a été lu le 14 et non le 15.

Clairaut y annonce que la comète doit passer à son périhélie pour le milieu de mois d'avril 1759 à un mois près :
À ces quantités près que je compte déterminer incessamment, il me paraît que la comète attendue doit passer à son périhélie vers le milieu du mois d'avril prochain.
On sent avec quels ménagements je présente une telle annonce, puisque tant de petites quantités, négligées nécessairement par les méthodes d'approximation, pourraient bien en altérer le terme d'un mois, comme dans le calcul des périodes précédentes ; puisque d'ailleurs tant de causes inconnues, ainsi que je l'ai dit au commencement de ce mémoire, peuvent avoir agi sur notre comète ; puisqu'enfin je ne dois être rassuré moi-même sur l'exactitude de mes nombreuses et délicates opérations, qu'après les avoir mises sous les yeux de mes confrères et de mes juges (C. 48, pp. 44-45).

Dans une note de la seconde édition, Clairaut indique que ses calculs affinés lui donnent la date du 4 ou 5 avril (cf. 8 août 1759 (1)).

Dans C. 56, Clairaut donne la date du 31 mars 1759 (cf. 3 décembre 1761 (1)).

Les calculs avaient commencé vers juin 1757 (cf. [c. juin] 1757 (1)).

La Condamine fait part de la prédiction à Jean II Bernoulli dès le lendemain (cf. 16 novembre [1758]), d'Alembert à Frisi le 20 (cf. 20 novembre 1758 (1)), Pézenas à [de Ratte ?] (cf. [c. novembre 1758]).

Cette prédiction de la comète marque aussi les débuts de la carrière de Bailly (cf. 23 décembre 1758 (1)).

Lalande et Pingré sont prêts (cf. 6 mars 1759 (1), 17 mars 1759 (1)).

Clairaut n'est à l'affut de la comète que par les yeux d'autrui car il est myope (cf. 31 décembre 1758 (1)).

Il perd sa mère entre la prédiction et l'arrivée de la comète (cf. [c. 17 janvier 1759]).

Un extrait de C. 48 est lu à la Royal Society le 22 février 1759 (cf. 22 février 1759 (1)), et Bradley aura l'intention de publier le mémoire de Clairaut augmenté de ses propres remarques (cf. 14 août 1759 (1), 19 septembre 1759 (1)).

Observée pour la première fois en Europe par Palitzsch, près de Dresde, le 25 décembre 1758, la date de son périhélie [qui a connu plusieurs estimations (ex. cf. 18 avril 1759 (1))] se trouve être le 13 mars 1759 (HARS 1759 (1765), Hist., pp. 119-164).

Dans un premier temps, tous ne sont pas convaincu que la comète qui apparaît soit la bonne (cf. [c. 7] avril 1759 (2)).

À Paris, Messier et Delisle l'observent à partir du 21 janvier 1759, d'abord secrètement, puis avertissent leurs collègues astronomes le 2 avril, présentent sa route au Roi le 5, et informent officiellement l'Académie de leur découverte le 7 [lors de la dernière séance avant les vacances] (cf. 18 avril 1759 (1)).

Dès lors, la nouvelle se répand dans les gazettes par le biais de Le Roy, dithyrambique à l'égard de Clairaut (cf. 7 avril 1759 (1)), de même que Mme du Boccage qui compose des vers en son honneur (cf. Mai 1759 (1)), et Le Monnier qui à l'inverse ne cite ni son nom ni ses travaux (cf. [c. 7] avril 1759 (1), [c. 10 mai] 1759), ce qui entraînera une réaction de la part d'un partisan de Clairaut (cf. [c. mai] 1759 (1)).

Hennert fait aussi le point dans la Bibliothèque des sciences et des beaux-arts (cf. 1 juin 1759 (1)).

Clairaut répond à la prophétie de Sénèque (cf. 17 août 1767 (1)).

Clairaut donne des nouvelles de la comète à Daniel Bernoulli le 10 avril 1759 (cf. 10 avril 1759 (1)).

La rentrée publique de l'Académie du 25 avril 1759, au cours de laquelle Lalande lit un important mémoire de synthèse (cf. 25 avril 1759 (2)), connaîtra elle aussi de larges échos favorables à Clairaut (cf. Juin 1759 (1), Juin 1759 (2), Juin 1759 (3)).

Les partisans de d'Alembert s'expriment de leur côté par une lettre dans l'Observateur littéraire (cf. [c. mai] 1759 (2)), reprise avec plus de détails par le Journal encyclopédique (cf. [c. 15 juillet] 1759), qui entraînera une réponse de Lalande le 10 juillet 1759 (cf. 10 juillet 1759 (1)) et Jean-Baptiste Le Roy (cf. 3 août 1759 (1)) dans l'Année littéraire.

D'Alembert dépose son « Application de ma solution du problème des trois corps à l'orbite des comètes » le 14 juin 1759 (cf. 14 juin 1759 (1)).

Clairaut répond aux attaques dans C. 49 (cf. 11 août 1759 (1)), largement repris par la presse (cf. [c. 11 août] 1759, Septembre 1759 (1), Novembre 1759 (1)), provoquant une réponse de d'Alembert dans l'Observateur littéraire (cf. 12 août 1759 (1)) et, sans compter l'article « Lune » de l'Encyclopédie (cf. 15 novembre 1759 (2)), une dans le second volume des Opuscules (Alembert 61-80), qui ne paraîtra qu'en 1761.

Parallèlement, Clairaut reprend les grandes lignes de l'affaire dans l' « Avertissement » de C. 51 (cf. 8 août 1759 (1)).

Clairaut est encore défendu par un certain M. D. B. dans le Journal étranger (cf. Janvier 1760 (1)).

Selon Ferner la dispute sur la comète a fait du mal à d'Alembert et à Le Monnier, ce dernier ayant montré toutes ses dents sans parvenir à quoi que ce soit (cf. 6 mai 1761 (1)).

Après une pause, la polémique publique reprend à la publication des deux premiers volumes des Opuscules mathématiques de d'Alembert (Alembert 61-80) (cf. 18 novembre 1761 (2)).

Maupertuis applaudit d'une main (cf. 12 juin 1759 (1)).

La Caille propose de baptiser la comète « comète de Halley » (cf. 12 mai 1759 (1)), alors que d'autres la nomment la « Clairaut » (cf. Mai 1759 (1), Juin 1759 (1), 16 novembre 1759 (1)).

Le Cat trouve que la prédiction de son retour doit plus à Cassini qu'à Halley (cf. 28 décembre 1759 (1)).

Dromgold et Morellet composent aussi des vers sur la comète (cf. 1759 (2), 1761 (2)).

Jeaurat se met au travail (cf. 27 juin 1759 (2)).

Clairaut adresse un exemplaire de C. 48 à Voltaire (cf. 16 août 1759 (1)), qui en accuse réception le 27 août 1759 (cf. 27 août 1759 (1)).

Charles Bonnet fait part de son admiration à Lalande (cf. 6 août 1759 (1)), Lambert à d'Alembert (cf. Octobre 1760 (1)).

Après le retour de la comète, Clairaut reçoit de nombreux visiteurs étrangers, dont Boscovich (cf. 17 décembre 1759 (1)), Ferner (cf. 22 octobre 1760 (1)), le comte Joseph Teleki (cf. 5 novembre 1760 (1)) ou Haller le fils (cf. Haller).

Hepburn demande les calculs de la comète à Ferner (cf. 7 juin 1760 (1)).

Clairaut est rapporteur avec Le Gentil de (Cassini 59), observations de la comète lors de sa précédente révolution (cf. 9 mai 1759 (1), 12 mai 1759 (2), 12 mai 1759 (3)), et de Cassini (60), le « calcul » de ces observations (cf. 19 janvier 1760 (1)).

Clairaut est rapporteur avec La Caille de (Halley 59), l'édition mise à jour par Lalande des tables de Halley (cf. 13 juin 1759 (1), 28 juillet 1759 (1)).

Clairaut fait part de sa méthode (cf. 23 juin 1759 (1)), actualise ses résultats après l'apparition de la comète dans C. 62 (cf. 30 juin 1759 (1)), prépare C. 51 (cf. 4 août [1759], 8 août 1759 (1)) et gagnera avec C. 56 le prix de l'Académie de Pétersbourg pour 1761 (cf. 3 décembre 1761 (1)).

Clairaut est trop occupé avec la comète pour s'intéresser sérieusement à l'inoculation (cf. 21 septembre 1760 (1)).

Euler est impressionné par le « travail incroyable » de Clairaut (cf. 8 juillet 1762 (1)).

Le retour de la comète est notamment étudié dans (Boistel 95), (Broughton 85), (Taton 79b), (Taton 86), (Tournès 96, pp. 317-324), (Waff 86) et (Wilson 93).

Lalande dans la Connoissance des temps :
Observation du retour de la comète de 1682. Le docteur Halley annonça en 1705, que cette comète reparaitrait vers la fin de 1758 ou le commencement de 1759. M. Clairaut ayant calculé par de longues et pénibles opérations les inégalités que Jupiter et Saturne lui causent, a trouvé que sa période actuelle devait être d'environ six cents jours plus longue que la dernière fois, en sorte qu'elle reparaitrait au mois d'avril. Cette prédiction vient de s'accomplir aussi exactement que l'auteur paraissait l'espérer, et tous les astronomes sont occupés, surtout depuis le premier avril de cette années 1759, à observer cet astre si longtemps attendu, qui paraît avoir été périhélie à peu près ver le 12 de mars (CDT 1760, p. 212).

Messier via Delisle :
M. Clairaut publia un mémoire rapporté dans le Journal des sçavans, du mois de janvier de la présente année dans lequel enchérissant sur les principes et les calculs de M. Halley, il crut pouvoir prédire plus précisément que lui, le temps de son périhélie, qu'il fixa, après un travail aussi savant que pénible, au milieu du mois d'avril, sans prétendre cependant le déterminer, à un mois près, à cause des petites quantités négligées nécessairement dans les méthodes d'approximation dont il a été obligé de se servir dans ses immenses calculs. Cette nouvelle détermination s'est en effet trouvée juste, à un mois près ; la comète est descendue à son périhélie le 13 du mois de mars au matin. […] C'est aussi à peu près de la même manière [que Klinkenberg] que s'y sont pris MM. Pingré et de la Lande dans les calculs qu'ils ont donnés dans les Mémoires de Trévoux, du mois d'avril 1759 (première et seconde parties [cf. 6 mars 1759 (1), 17 mars 1759 (1)]), avec la différence que ces derniers dans leurs suppositions arbitraires ont pris des limites plus resserrées et plus approchées de la détermination de M. Clairaut, qui avait fixé, comme je l'ai déjà dit, l'arrivée de la comète en question vers le milieu du mois d avril, avec la restriction qu'il pourrait bien y avoir un mois d'incertitude, pour les raisons que je viens de rapporter (Delisle 60b).

Intégration par Bertier :
Jamais on ne parla tant de comètes qu'on le fait aujourd'hui. Depuis l'apparition de la fameuse comète de 1759, annoncée d'abord au commencement du siècle pour 1758 ou 1759, par le célèbre astronome Halley, et déterminée ensuite après des calculs immenses, pour le mois d'avril 1759, par un de nos plus grands géomètres [M. Clairaut, de l'Acad[émie] royale des sciences NDA], cette matière fait en France et dans toute l'Europe le sujet des conversations. […] Il y avait donc lieu de croire que toutes ces apparitions étaient d'une même comète qui fait sa révolution autour du Soleil dans l'espace de cette période, que les calculs de M. Clairaut et l'événement ont prouvé ne devoir finir qu'au commencement de 1759. […] La comète de 1682, annoncée depuis cinquante ans par M. Halley pour la fin de sa période de soixante-quinze ans, et fixée par M. Clairaut, de l'Académie royale des sciences, au mois d'avril i759, et qui a paru dans le temps marqué, ne permet pas d'en douter [que les comètes soient des corps solides]. […] À ces preuves de l'existence d'un éther dense et résistant, nous devons ajouter celle du calcul de M. Clairaut, dont l'autorité doit être de grand poids dans l'esprit de tous les philosophes, et en particulier des philosophes newtoniens : cet illustre académicien, qui joint à la plus profonde géométrie une très grande connaissance de la bonne physique, attribue à la résistance de l'éther une partie de la petite différence qui s'est trouvée entre son calcul et les observations sur la comète de 1759. […] Il est aussi certain que les planètes attirent les comètes, et qu'elles s'attirent elles-mêmes entre elles réciproquement, qu'il est certain que l'aimant attire le fer, et que les corps électriques attirent le duvet. Toutes les observations modernes confirment le fait, et un de nos plus célèbres académiciens [M. Clairaut, de l'Académie royale des sciences NDA] vient de le porter au plus haut point d'évidence. Comme l'on faisait part à l'Académie de l'apparition de la comète de 1758, cet habile physicien, qui joint une profonde connaissance de l'astronomie à la plus sublime géométrie, dit d'un ton très assuré que cette comète ne serait point celle de 1682, et qu'il n'attendait pas sitôt celle-ci ; ensuite, à la rentrée suivante de la S[ain]t Martin 1758, il prouva par le calcul de l'attraction de Jupiter et de Saturne, que cette comète ne parviendrait à son périhélie que dans le mois d'avril, ce qui est arrivé en effet. Ainsi, après un témoignage aussi authentique, il ne reste pas le moindre doute sur l'attraction des comètes par les planètes. […] Le célèbre M. Clairaut croit devoir attribuer à la résistance de ce fluide une partie de la petite différence qui s'est trouvée entre son calcul et le passage de la comète de 1759 au périhélie : or il suit de la mesure que nous venons de donner, que la quantité de mouvement que les corps qui se meuvent dans l'éther communiquent à ce fluide, doit être fort petite en comparaison de celle qu'ils donneraient à nos fluides et à nos liquides sensibles, et que cette quantité peut bien s'accorder avec celle que la comète de M. Clairaut et les autres ont donnée à l'éther (Bertier 60).

Un extrait de (Bertier 60) donnera matière à polémique (cf. Juillet 1760 (1), 15 février 1760 (2)).

Bertier cite Clairaut de manière comparable dans (Bertier 63) et (Bertier 64).

Pingré :
Si les chronologistes sont partagés sur l'année de l'apparition, je calcule la période selon la méthode de Clairaut (Pingré 83-84, vol. 1, p. vii).
Alexis-Claude Clairaut, né à Paris le 13 mai 171 3, reçu à l'Académie des sciences le 14 juillet 1731 [cf. 14 juillet 1731 (1)], osa tenter ce travail [calcul du retour de la comète]. Dans un ouvrage qu'il publia en 1760 [Théorie des comètes, Paris, 1760, in-8° NDA C. 51 NDM], il applique aux comètes la théorie générale qu'il avait ci-devant proposée sur les perturbations réciproques des planètes. L'analyse la plus profonde lui fournit des formules, à l'aide desquelles on peut estimer avec précision les altérations qui peuvent affecter le mouvement des comètes, en conséquence de l'action de Jupiter et de Saturne, tant sur les comètes mêmes, que sur le Soleil. Clairaut avait fait l'essai de cette méthode sur la comète dont nous attendions le retour : il avait conclu qu'elle ferait périhélie vers le milieu du mois d'avril 1750, Mais il n'avait présenté cette annonce qu'avec beaucoup de ménagements ; « tant de petites quantités, disait-il [Journal des sçavans, janvier 1759, p. 44 de l'édition in-4° NDA C. 48 NDM], négligées nécessairement par les méthodes d'approximation, pourraient bien en altérer le terme d'un mois, comme dans le calcul des périodes précédentes ». La comète en effet fut périhélie vers le milieu du mois de mars, comme Clairaut avait prévu que cela pourrait arriver. Il a depuis retouché sa méthode ; il a calculé l'effet de la perturbation causée à l'orbite de la comète par l'action de Vénus, négligée dans ses premiers calculs. S'il a porté cette méthode au degré de perfection dont elle est susceptible, comme il y a lieu de le supposer, que reste-t-il à faire sur la théorie des comètes ? II faudra observer celles qui paraîtront ; calculer les éléments de leurs orbites, les comparer avec celles qui auront déjà été observées ; tenir compte de celles que l'Astronomie décidera avoir déjà paru ; déterminer, selon la méthode de Newton et d'Halley, l'orbite de celles-ci ; y appliquer la méthode de Clairaut, pour en prédire avec plus de précision les retours, et attendre avec patience que le catalogue soit complet : ce ne sera pas l'affaire d'un petit nombre de siècles (Pingré 83-84, vol. 1, pp. 160-161).

Bailly :
Cette entreprise fut tentée par M. Clairaut ; il eut allez de courage pour n'en point être effrayé, et assez de talent pour obtenir un succès mémorable. Jupiter, troublant la comète dans son orbe autour du Soleil, était encore le cas du problème des trois corps ; M. Clairaut y appliqua sa solution. Elle a un avantage précieux dans cette recherche ; c'est que l'équation générale, comme nous l'avons dit, est composée de deux parties, dont la première exprime l'ellipse de l'orbite, l'autre les perturbations. Celle-ci peut donc être considérée à part, pour examiner les corrections qui doivent être faites en vertu de ces perturbations à l'orbite primitive et naturelle. Mais on sent que, quoique ce problème fût du même genre que celui de la Lune, traité si heureusement par M. Clairaut, l'orbite de la comète, entièrement différente de celle de la Lune, devait offrir des difficultés d'une autre espèce, qu'il fallait surmonter par des adresses de calcul, et par les ressources d'un esprit vraiment géométrique. Sans doute la géométrie avait reçu de M. Clairaut lui-même et des géomètres ses contemporains, les forces qui manquaient à cette science au temps de Halley ; mais les difficultés étaient encore très grandes. Premièrement dans les orbes peu excentriques des planètes, les rayons, les distances au Soleil varient peu ; ces orbes assez voisins font que la distance des deux planètes qui s'attirent, ne varie pas beaucoup, ou au plus comme deux à un, au lieu que dans l'orbite allongée de la comète, ces rayons, ces distances changent dans le rapport de soixante à un : l'expression générale qu'il faut employer à chaque instant, en est donc d'autant plus compliquée, et moins accessible aux méthodes d'approximation. Secondement les planètes sont presque dans le même plan : ce qui se passe dans l'un de ces plans diffère peu de ce qui a lieu dans l'autre ; ici l'orbe de la comète est fort incliné, Jupiter la tire obliquement, et les réductions ne s'offrent encore que sous une forme embarrassante. M. Clairaut entra dans ce travail, persuadé qu'il ne fallait considérer qu'une petite partie de l'orbite, c'est-à-dire, celle où la comète avait été voisine de Jupiter. Mais il vit bientôt qu'on ne devait pas se borner à calculer l'action perturbatrice dans cette proximité ; la même action se rendait sensible dans tout le cours de la comète, et dérangeait son mouvement aux extrémités mêmes de l'orbite. L'altération la plus considérable est celle qui naît de l'action de Jupiter sur le Soleil, parce que Jupiter, en le déplaçant d'une petite quantité, donne à l'ellipse de la comète un foyer un peu différent. Le calcul de l'attraction de Jupiter fit connaître que celle de Saturne ne devait pas être négligée ; ainsi le travail fut doublé. Il le fut encore d'une autre manière ; M. Clairaut, pour s'assurer du résultat, et pour prendre une juste confiance qu'il put inspirer, trouva dans les apparitions de cette même comète des moyens de vérification. On connaissait la longueur des deux périodes écoulées entre 1531 et 1607, entre 1607 et 1682 ; l'une de 76 ans plus 62 jours, l'autre de 75 ans moins 42 j[ours]. Si la géométrie peut montrer pourquoi la seconde période a été ainsi abrégée, elle méritera d'être crue lorsqu'elle déterminera la période entre 1682 et 1759, et lorsqu'elle annoncera le temps préfixe du retour. C'est ce qu'a fait M. Clairaut avec courage, sans être rebuté par la longueur des calculs ennuyeux et pénibles : il a trouvé qu'entre 1531 et 1607, l'action de Saturne s'est compensée ; les retardations imprimées à la comète ont égalé les accélérations ; Jupiter seul à accourci la période de 19 jours, qui, sans son action, aurait été de 76 ans et 81 jours. En même temps cette action a changé les éléments, de manière à rendre la période suivante plus courte de 31 jours, et par conséquent de 76 ans et 50 jours. Telle aurait été la période, si dans son cours la comète avait été à l'abri des perturbations de Saturne et de Jupiter. Mais la force de la première planète a ralenti la marche de la comète, et a allongé sa période de 16 jours et demi, tandis que Jupiter, précipitant beaucoup plus cette marche, a rendu la période plus courte de 442 jours. La différence de ces deux effets 425 ½, est la quantité dont la période a été réellement accourcie. Elle a donc dû être de 75 ans moins 12 jours et demi ; elle a été trouvée par l'observation de 75 ans moins 42 jours, c'est-à-dire, plus courte d'environ 30 jours. Voilà donc l'erreur qu'on peut commettre dans ces recherches ; et encore M. Clairaut, pressé par le temps, n'a-t-il pu donner à ses calculs toute la précision qu'ils pouvaient comporter. Après cette épreuve, le célèbre géomètre pouvait se livrer avec confiance confiance aux calculs qui devaient lui donner la période de 1682 à 1758. Il trouva enfin qu'elle devait être allongée de 100 jours par l'action de Saturne, et de 518 jours par celle de Jupiter. Au lieu de 75 moins 42 jours, elle devait donc être de 76 ans et 211 jours ; et comme la comète de 1682 avazit passé à son périhélie le 14 septembre, elle y devait repasser le 13 avril 1759. M. Clairaut rendit compte de son travail dans l'assemblée publique de l'Académie, le 14 novembre 1758 [15 !] ; il exposa sa prédiction avec le ton modeste qui lui était propre, et en homme fait pour apprécier toute la délicatesse des opérations qui fondaient cette prédiction. « On sent, dit-il, avec quels ménagements je présente une telle annonce, puisque tant de petites quantités, négligées nécessairement par les méthodes d'approximation, pourraient bien en altérer le terme d'un mois, comme dans le calcul des périodes précédentes [C. 51 NDA]. L'erreur fut telle que M. Clairaut l'avait soupçonnée ; il y eut un mois de différence entre le retour prédit et le retour réel. La comète, qui se remontra dès la fin de décembre 1758, fut dans son périhélie le 15 mars 1759 ; M. Clairaut revit son calcul et réduisit l'erreur à 22 jours. De quelque manière qu'on envisage cette erreur, soit qu'on la compare à la durée de la révolution, dont elle n'est que la 920e partie environ, soit qu'on la compare à l'altération même de la période, dont elle ferait un 20e, quand on considère d'une part, qu'il a fallu suivre la comète à des distances énormes, calculer l'action répétée des planètes sur elle presque à chaque pas, et de l'autre qu'on a cependant tracé sa route et réglé sa marche, assez exactement pour fixer, à 22 jours près, le retour d'un astre, encore rangé au nombre des météores il y a un siècle, c'est le comble de la gloire pour l'esprit humain, la preuve des progrès surprenants de l'astronomie et de la géométrie, l'épreuve la plus décisive de la théorie de Newton, et en même temps le triomphe de M. Clairaut, qui a tiré de cette théorie ce que ce grand homme n'espérait pas lui-même en tirer (Bailly 85, pp. 190-194).

Laplace :
Quand à la masse […] de Saturne, j'adopterai celle que M. de la Grange [Lagrange] a donnée dans les Mémoires de Berlin de 1782 [(Lagrange 82)], page 186 ; en discutant avec soin les observations des satellites de cette planète, cet illustre géomètre a trouvé qu'il fallait un peu diminuer la masse de Saturne, déterminée par Newton, et ce qui ajoute à la probabilité de son résultat, c'est qu'il rapproche de l'observation, d'environ 10 jours, le calcul des perturbations de la comète de 1759 ; il réduit à 13 jours la différence de 23 jours que M. Clairaut a trouvée entre l'instant calculé et l'instant observé du passage de cette comète par son périhélie en 1759 (Laplace 85).

Dans son Traité de mécanique céleste :
Clairaut s'occupa, le premier, des perturbations des comètes. Il appliqua sa solution du problème des trois corps, au retour de la comète de 1682. Cette comète avait été observée en I531 et 1607. Halley avait déduit des observations, les intervalles de ses passages au périhélie, de 1531 à 1607 et de 1607 à 1682, et il en avait conclu son retour vers la fin de 1758, ou au commencement de 1759. Clairaut se proposa de rechercher la différence entre ces intervalles et celui de son passage au périhélie en 1682, au passage prochain. Après d'immenses calculs, il annonça à l'Académie des sciences, dans sa séance publique du 14 novembre 1758 [15 !], que le dernier de ces intervalles devait surpasser le précédent, d'environ six cent dix-huit jours jours, et qu'en conséquence, la comète passerait à son périhélie vers le milieu d'avril 1759. Il observa en même temps que les petites quantités négligées dans ces approximations, pouvaient avancer ou reculer ce terme d'un mois. Il remarqua d'ailleurs, « qu'un corps qui passe dans des régions aussi éloignées, et qui échappe à nos yeux pendant des intervalles aussi longs, pourrait être soumis à des forces totalement inconnues, telles que l'action des autres comètes ou même de quelque planète trop distante du Soleil, pour être jamais aperçue. »
Il eut la satisfaction de voir sa prédiction accomplie. La comète revint au périhélie le 13 mars 1759, dans les limites des erreurs dont il croyait son résultat susceptible. Après une révision de ses calculs, Clairaut a fixé ce passage au 4 avril, et il l'aurait avancé jusqu'au 24 mars, c'est-à-dire, à douze jours seulement de l'observation, s'il eût employé la vraie valeur de la masse de Saturne. Cette différence paraîtra bien petite, si l'on considère les erreurs inévitables dans des approximations aussi nombreuses et aussi compliquées, et l'influence de la planète Uranus dont l'existence, au temps de Clairaut, n'était pas connue. On doit donc regarder ce travail de Clairaut, comme une belle confirmation du principe de la pesanteur universelle. L'annonce de ce grand géomètre, sur le retour de la comète de 1759, donna lieu à une vive discussion sur la manière d'apprécier son erreur. Quelques-uns voulaient la répartir sur la révolution entière de la comète. D'Alembert jugea avec raison [!], que cette erreur devait se rapporter à la différence de l'intervalle entre les passages au périhélie de 1607 à 1682, à l'intervalle des passages au périhélie de 1682 à 1759 (Laplace 78-12, vol. 5, pp. 364-365).

Laplace tient un discours très semblable dans son Exposition du système de monde (Laplace 78-12, vol. 6, pp. 232-233), et bien plus abrégé dans les Leçons de mathématiques données à l'École normale en 1795 (Laplace 78-12, vol. 14, p. 147).

Bossut :
Clairaut fut le premier qui entreprit de déterminer les inégalités de cette comète [de 1759], en ayant égard aux attractions de Jupiter et de Saturne. Le problème, quoique semblable dans le fond à celui des planètes, en différait cependant en deux points essentiels : dans le mouvement des planètes, les orbites sont peu excentriques, et peu inclinées les unes par rapport aux autres ; dans celui des comètes, les rayons vecteurs changent considérablement, et l'orbite de la comète peut faire un très grand angle avec l'orbite de la planète perturbatrice. Or, ces différences changent nécessairement la nature ou le choix des moyens qu'il faut employer dans les deux cas, pour parvenir à des séries convergentes. Clairaut se livra avec ardeur à ce nouveau travail, et avec le secours de quelques disciples qui l'aidaient à convertir les formules analytiques en nombre, il se trouva en état d'annoncer dans l'assemblée publique de l'Académie des sciences, du 14 novembre 1758 [15 !], que la comète paraîtrait au commencement de 1759, et qu'elle passerait à son périhélie vers le 15 avril suivant. Cette annonce, présentée avec beaucoup de réserve et de modestie, fit la plus grande sensation parmi les savants, et même parmi les gens du monde. Dès ce moment, toutes les lunettes furent pointées vers la partie du ciel, où l'on savait d'avance que la comète devait paraître. Les astronomes français la cherchaient avec une espèce d'intérêt national. Elle fut aperçue en Saxe, en 1758 : on la vit à Paris, le 4 janvier 1759. Aussitôt que la nouvelle de cette apparition commence à se répandre dans les sociétés de Paris, on entend retentir de tous côtés le nom de Clairaut (Bossut 10, pp. 418- 419).

Bossut embraye sur sa version de le polémique entre d'Alembert et Clairaut (cf. 15 novembre 1758 (2)).

Dominique Tournès :
Toutes ces polémiques ont certainement contribué à dévaloriser le travail de Clairaut et à rejeter dans l'ombre sa méthode d'intégration numérique. Certes, son nom est resté associé à la comète de Halley comme on a pu s'en apercevoir, en 1986, lors du dernier passage de ce corps céleste. Cette année-là, une immense littérature a vu le jour, développant longuement l'aspect historique, astronomique, sociologique, voire folklorique du phénomène mais, pour avoir parcouru cette littérature, nous pouvons témoigner que, bien qu'on y parle souvent de Clairaut, rares sont les documents, même parmi les plus sérieux, permettant de se faire une idée précise des outils mathématiques employés par l'inventif et persévérant analyste.
En revenant dans le domaine plus spécialisé de l'histoire des mathématiques, tout aussi significatif est le fait que, jusqu'ici, les historiens de l'analyse numérique des équations différentielles n'aient presque jamais cité Clairaut. Pourtant, il est clair que le calcul de Clairaut constitue un maillon essentiel d'une chaîne reliant les méthodes de Gregory-Newton pour le calcul approché des intégrales aux méthodes d'Adams pour l'intégration approchée des équations différentielles. D'un côté, Clairaut est le premier à adapter aux équations différentielles les techniques newtoniennes de quadrature reposant sur l'interpolation polynomiale. De l'autre côté, comme nous le verrons plus loin, la méthode de Clairaut préfigure l'une des méthodes d'Adams (à un détail près qui, évidemment, fait toute la différence) (Tournès 96, p. 324).
Notre recherche des sources de la méthode des différences finies à pas liés a tout d'abord confirmé la nécessité de réparer une injustice : Clairaut doit absolument retrouver la place qui est la sienne dans l'histoire de l'analyse numérique des équations différentielles. Nous avions déjà décelé en sa théorie analytique de la Lune le point de départ des recherches abstraites menant au théorème du point fixe de Picard [cf. 6 décembre 1750 (1)]. Désormais, il semble également avéré que sa théorie des comètes, première tentative d'utilisation de la série de Gregory-Newton pour l'intégration numérique d'un système différentiel, a représenté une étape essentielle d'un processus historique tortueux conduisant de Newton aux méthodes multipas modernes (Tournès 96, p. 383).