M[essieu]rs Nicole et Pitot ont parlé ainsi sur le memoire geometrique de M[onsieu]r Clairaut le fils [cf. 17 avril 1728 (1)]. Nous avons examiné par l'ordre de l'Académie, un memoire [de] M[onsieu]r Clairaut aagé de quinze ans. Ce memoire contient [les] solutions de plusieurs problèmes, et doivent faire partie d'un grand ouvrage, qui aura pour titre, Recherches des surfaces et des courbes, recourbées, ou a doubles courbures, que M[onsieu]r Clairaut compte donner incessament au public. Cet ouvrage sera de deux parties qui contiendront chacune huit sections. M[ais], pour ne parler que de ce qui est contenu dans le memoire dont nous rendons compte à la compagnie, il suffit de dire que M[onsieu]r Clairaut se propose dans ce memoire de construire les équations qui [ont] trois inconnuës lesquelles expriment les trois dimensions d'un [solide] M[onsieu]r Clairaut trouve que le lieu de toutes les équations de [cette] nature, est dans la superficie concave ou convéxe d'un solide formé par la révolution d'une courbe sur l'un de ses axes, par cette consideration, la nature de la courbe qui engendre [...] étant donnée, M[onsieu]r Clairaut détermine l'équation qui expr[ime] la nature de la superficie convéxe ou concave de ce solide, se servant des regles ordinaires de l'algèbre, et de celles du calcul differentiel, il détermine tous les points de cette surface, les plans qui leurs sont tangents, ceux qui leurs sont assymptotiques, et leurs points de plus grandes largeurs. Lorsque c'est l'équation de la surface convéxe ou concave qui est donnée, M[onsieu]r Clairaut détermine, toutes les courbes qui se peuvent former par les differentes sections de ce solide, nont seulem[en]t par les plans exprimez par les trois inconnuës prises deux a deux qui entrent dans l'équation, mais par tout autre plan, ainsi l'on voit que les sections coniques ne font qu'un qu'un cas très particulier de ce problème general. Enfin cet ouvrage nous a paru devoir faire honneur à son auteur, non seulement par les connoissances qu'il suppose, mais encore par l'invention (PV 1728, ff. 167v-168r).
Des deux parties annoncées dans ce projet de C. 1, ne subsistera que celle sur les courbes, elle-même amputée de quatre sections dont on peut également se faire une idée dans la préface de l'ouvrage imprimé. Un abandon aussi conséquent incite à penser que la maladie de Clairaut évoquée par Fouchy dans son éloge se déclare après le 17 avril 1728 et non vers 1726 comme il le sous-entend (cf. Sans date (19), Sans date (20)). Dans ce cas, la première lettre de Clairaut à Cramer (cf. 30 mars 1729 (1)), qui ne fait aucune allusion à cette maladie, suggère que Clairaut est tout à fait remis en mars 1729. L'étude des courbes à double courbure est motivée par Pitot (Le Goff 93a), auteur de l'appel suivant : Peut-être que ces sortes de courbes à double courbure, ou posée sur la surface des solides, seront un jour l'objet des recherches des géomètres (Pitot 24). Clairaut fait implicitement référence à ce mémoire dans sa préface de C. 1 : J'ai cru devoir appeler ces sortes de courbes, courbes à double courbure, parce qu'en les considérant de la façon qu'on vient de dire, elles participent pour ainsi dire toujours de la courbure de deux courbes, et c'est même le nom qu'on leur donne dans un mémoire de l'Académie royale des sciences où on les propose comme un sujet d'étude digne des recherches des géomètres (C. 1, non paginé). Pitot était déjà rapporteur de la première intervention de Clairaut (cf. 18 mai 1726 (1)). Clairaut présente le manuscrit de C. 1 à l'Académie le 16 juillet 1729 (cf. 16 juillet 1729 (1)).
HARS 17.. : Histoire de l'Académie royale des sciences [de Paris] pour l'année 17.., avec les mémoires...
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Références
Le Goff (Jean-Pierre), « Les Recherches sur les courbes à double courbure (Paris, 1731), d'Alexis-Claude Clairaut (1713-1765) », Cahiers de la perspective, 6 (juin 1993) 90-135 [16 juillet 1729 (1)].
Pitot (Henri), « Sur la quadrature de la moitié des arcs d'une courbe appelée compagne de la cycloïde », HARS 1724, Mem., pp. 107-113 [Télécharger].
Courcelle (Olivier), « 24 avril 1728 (1) : Clairaut rapporté », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n24avril1728po1pf.html [Notice publiée le 25 mai 2007].
Peut-être que ces sortes de courbes à double courbure, ou posée sur la surface des solides, seront un jour l'objet des recherches des géomètres (Pitot 24). Clairaut fait implicitement référence à ce mémoire dans sa préface de C. 1 :
J'ai cru devoir appeler ces sortes de courbes, courbes à double courbure, parce qu'en les considérant de la façon qu'on vient de dire, elles participent pour ainsi dire toujours de la courbure de deux courbes, et c'est même le nom qu'on leur donne dans un mémoire de l'Académie royale des sciences où on les propose comme un sujet d'étude digne des recherches des géomètres (C. 1, non paginé). Pitot était déjà rapporteur de la première intervention de Clairaut (cf. 18 mai 1726 (1)). Clairaut présente le manuscrit de C. 1 à l'Académie le 16 juillet 1729 (cf. 16 juillet 1729 (1)).