Suite aux dispositions testamentaires de Rouillé de Meslay, l'Académie organise [du temps de Clairaut] un prix de « mécanique céleste » les années paires (2 500 livres) et un prix de « navigation » les années impaires (2 000 livres). Les résultats du prix de l'année n et le sujet du prix de l'année n+2 sont annoncés lors de l'assemblée publique d'après Pâques de l'année n. Les participants adressent leur pièce anonyme et portant devise au secrétaire qui en remet récépissé. Les pièces sont jugées par cinq académiciens nommés pour l'occasion. Quand aucune des pièces reçues n'est satisfaisante, le prix est reporté avec un montant double à l'année n+2, les « commissaires du prix » demeurant les mêmes [sauf décès, voyage...] (Maindron 81, pp. 13-17).

Les pièces concourant au prix de l'année n doivent être reçues par le secrétaire avant le 1er septembre de l'année n-1. L'usage montre qu'une marge de tolérance est fixée jusqu'à la dernière séance avant les vacances de la Saint-Martin, date à laquelle le jury est formé et les pièces distribuées pour examen : « J'ai [Dortous de Mairan, le secrétaire] representé à l'Académie que quoique nos programmes pour le Prix disent expressement que les ouvrages qui sont envoyez pour y concourir ne seront reçus que jusqu'au 1er septembre exclusivement, par rapport à l'année qui précède celle où le prix sera adjugé, cependant l'usage m'a paru être jusqu'ici de ne pas rebuter les pieces qui seroient apportées au sécrétaire depuis le 1er septembre jusqu'au jour où l'Académie se sépare pour entrer dans les vacances, et où les pieces sont distribuées aux commissaires nommées pour en faire l'examen ; qu'en conséquence de cet usage, et des termes du programmes, j'avois datté du dern[i]er août quelques unes de pieces qui m'avoient été apportées dans cet intervalle ; et enfin que je croyois à propos de conserver le même usage sans rien changer aux termes du programme, et sans faire de reglement en forme à ce sujet ; l'Académie ayant écouté les raisons que j'en ai apportées a été d'avis de ne rien changer à cet égard, et de tenir à l'avenir la même conduite (PV 1743, 4 septembre, p. 462). »

Les cinq juges se partagent une rétribution (des épices) se montant au quart de la somme en jeu (Maindron 81, pp. 13, 16), ce que le confirme d'Alembert : « Les cinq commissaires du prix ont comme l'on sçait, un honoraire très modique pour chacun d'eux, puisqu'il n'est que de 125 # une année et de 175 # l'autre (PV, 5 septembre 1777, f. 528v). »

En « mécanique », Clairaut est juge pour le prix de 1736 (cf. 6 septembre 1735 (1)), pour le prix de 1740 (cf. 5 septembre 1739 (2)), pour le prix de 1742 (cf. 6 septembre 1741 (1)) reporté pour 1744 (6 septembre 1743 (2)) puis pour 1746 (cf. 4 septembre 1745 (1)), pour le prix de 1748 (cf. 6 septembre 1747 (1)), pour le prix de 1750 (cf. 6 septembre 1749 (2)) reporté pour 1752 (cf. 4 septembre 1751 (2)), pour le prix de 1754 avant de céder sa place à de Montigny pour cause de second voyage en Angleterre (cf. 5 septembre 1753 (3)). Le prix de 1754 étant reporté à 1756, Clairaut retrouve un temps sa place de juge, de Montigny étant finalement conservé (cf. 6 septembre 1755 (2)). Clairaut est encore juge pour le prix de 1758 (cf. 6 septembre 1757 (2)), pour le prix de 1760 (cf. 5 septembre 1759 (1)), pour le prix de 1762 (cf. 5 septembre 1761 (1)) et pour le prix de 1764 (cf. 6 septembre 1763 (2)).

En « navigation », Clairaut est juge pour le prix de 1739 (cf. 6 septembre 1738 (1)) reporté pour 1741 (cf. 6 septembre 1740 (3)), pour le prix de 1743 (cf. 5 septembre 1742 (1)), pour le prix de 1745 (cf. 5 septembre 1744 (2)) reporté pour 1747 (cf. 6 septembre 1746 (1)), pour le prix de 1749 (cf. 6 septembre 1748 (1)) reporté pour 1751 (cf. 5 septembre 1750 (1)), pour le prix de 1753 (cf. 6 septembre 1752 (1)), pour le prix de 1755 (cf. 6 septembre 1754 (1)), pour le prix de 1757 (cf. 4 septembre 1756 (2)), pour le prix de 1759 (cf. 6 septembre 1758 (1)), pour le prix de 1761 (cf. 6 septembre 1760 (1)) et pour le prix de 1763 (cf. 4 septembre 1762 (2)) reporté à 1765 (cf. 5 septembre 1764 (3)).

De 1739 à sa mort, et sauf les exceptions de 1754 et 1756 dues à l'un de ses deux voyages en Angleterre, Clairaut a ainsi été juge pour tous les prix.

De son côté, Clairaut participera et gagnera le prix de l'Académie de Toulouse en 1750 (cf. 26 juillet 1750 (1)), et celui de l'Académie de Saint-Pétersbourg en 1751 (cf. (17) 6 septembre 1751) et 1761 (cf. (4 octobre) 23 septembre 1762).