Alexis Clairaut (1713-1765)

Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765)


4 février 1739 (2) : Clairaut rapporteur :
M[essieu]rs Nicole et Clairaut ont parlé ainsi sur un écrit de M[onsieu]r Fontaine touchant le calcul integral,

Nous avons examiné par ordre de l'Académie le mémoire de M[onsieu]r Fontaine intitulé le Calcul intégral. M[onsieu]r Fontaine se propose dans ce memoire d'integrer toutes les équations differentielles du 1er ordre, qu'on peut toutes exprimer par dx+αdy = 0, α exprimant une fraction dont le numerateur et le dénominateur sont des fonctions du même degré qui contiennent x, y, et le parametre. Nous ne dirons point si la methode de M[onsieu]r Fontaine peut s'appliquer aux 2es 3es etc. differences puisqu'il n'en parle pas lui même dams ce memoire.

La maniere dont M[onsieu]r Fontaine attaque la difficulté est extremement neuve et annonce une belle recherche, Il se propose de trouver le 3e terme que l'on auroit eu dans l'équation si en differentiant la quantité qui en est l'intégrale cherchée, on n'avoit traité aucune ligne comme constante. Il appelle ce troisieme terme πδp, π étant une fonction inconnuë d'x, y, p, qui a ainsi que α un numerateur et un dénominateur de même dimension.

A l'ayde d'un beau theoréme et de plusieurs équations très compliquées qu'il en tire et qu'il traite d'un maniere très nouvelle, il parvient à trouver trois équations generales dont les deux premieres lui apprennent qu'aussi tôt que la fonction inconnuë π sera trouvée il aura l'intégrale cherchée. L'autre équation donne une relation entre α et π, telle que quand on aura la forme generale que peut avoir ce π il sera trouvé par la methode des indéterminées.

La difficulté est ainsi réduite à déterminer la forme de cette fonction π. Pour cela M[onsieu]r Fontaine avance cette proposition que le dénominateur de π sera toujours le même que celui de α, à cela près qu'il pourra être multiplié par p, le numerateur étant la fonction la plus generale de même degré que ce dénominateur.

Ce theorème nous sembla d'abord vrai, nous ayant reussi sur beaucoup d'exemples, quoique la démonstration que M[onsieu]r Fontaine en donne dans son memoire ne nous parût pas suffisante, ainsi qu'une autre qu'il nous a donnée depuis.

Après avoir cherché inutilement d'autres démonstrations plus satisfaisantes nous avons reconnu par un grand nombre d'exemples que le theoréme n'est pas generalement vrai. Nous pouvons donc assurer que la methode de M[onsieu]r Fontaine telle qu'il nous l'a donnée n'est pas generale, et comme on n'a point de maniere de connoitre d'avance les cas où elle peut s'appliquer on court risque lorsqu'on s'en sert de faire inutilement des calculs excessifs (PV 1739, f. 20).

Gallica

Ce rapport est passé sur le marché des manuscrits (Taton 53).

Fontaine avait lu un « écrit sur le calcul intégral » les 26 et 28 novembre 1738 (PV 1738, ff. 190r, 191r), et le 19 novembre 1738 selon (Fontaine des Bertins 64, p. 24).

Le mémoire de Fontaine ne ne se trouve ni sur les PV, ni dans les volumes académiques. Il a été publié tardivement dans (Fontaine des Bertins 64 [pp. 24-83]), sous une forme remaniée, ainsi que le montre la comparaison avec ce rapport de Clairaut et Nicole (Greenberg 95, p. 330). Une version de ce qui concerne les équations d'ordre supérieur à 1 a été jugée à l'Académie le 17 janvier 1742 (cf. 17 janvier 1742 (1)).

Dortous de Mairan attirera l'attention de Jean I Bernoulli sur les travaux de Fontaine le 28 février (cf. 28 février 1739 (1)). Jean I Bernoulli répondra que ces travaux lui paraissent obscurs (cf. 7 avril 1739 (1)).

Dortous de Mairan se fera aussi l'écho des travaux de Fontaine à Jacquier le 10 octobre (cf. 10 octobre 1739 (1)).

Daniel Bernoulli évoquera ce rapport dans une lettre à Euler du 7 mars (cf. 7 mars 1739 (1)), et lui demandera des exemples pour tester la méthode de Fontaine le 16 mai (cf. 16 mai 1739 (1)).

Fontaine se rencontre ici avec Clairaut (cf. 4 mars 1739 (1)).
Abréviation
  • PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Références
Courcelle (Olivier), « 4 février 1739 (2) : Clairaut rapporteur », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n4fevrier1739po2pf.html [Notice publiée le 16 juillet 2009].