7 mai 1748 (1) : De Montigny à l'Académie des belles lettres :
Du systheme du monde dans les principes de la gravitation universelle [C. 33] par M[onsieu]r Clairault. La connoissance d'une action mutuelle entre toutes les parties de la matiere, des loix que suit cette action, de l'usage qu'on en peut faire pour determiner les mouvemens des corps celestes, de l'art ingenieux qui peut les appliquer a cette recherche, toutes ces decouvertes que l'on doit à l'heureux genie de Mr Newton ont beaucoup avancé dans ces derniers tems les progres de la physique et de l'astronomie. C'est pas elles que nous avons des tables du mouvement de la Lune beaucoup plus exactes que celles dont on s'etoit servi precedem[m]ent, une methode pour calculer le cours des cometes employée aujourd'hui par tous les astronomes, une solutions complette du phenomene des marées, celle des inegalités de la pesanteur sous differens parallelens, celle des vents reglés qui regnent près de l'équateur, enfin la determination de la figure de la Terre, dont la mesure actuelle faite avec tout le soin possible a confirmé ce qu'annonçait la theorie. On auroit joüi plus tost du fait de tant de travaux utiles et sans doute on eut poussé plus loin les decouvertes si Mr Newton inventeur de l'art qui pouvoit y conduite n'avoir pas entrepris de le cacher dans son livre des Principes de la philosophie naturelle par un autre ou peut etre aussi difficile que le premier. A travers l'obscurité de la synthese qui regne dans tout son ouvrage, sans enchainement, sans calcul, sans analyse, il a fallu plus d'un demi siecle pour retrouver le pas de l'inventeur. On a vû depuis 60 ans les membres les plus distingués des societés sçavantes de l'Europe s'occuper tout a tour a developper par les methodes analytiques differentes propositions fondamentales cet ouvrage où l'auteur n'a souvent exposé que le principe et le resultat, franchissant tout l'interval[l]e qui conduit de l'un a l'autre. Enfin par les travaux successifs de M[onsieu]r Bernoulli, Taylor, Machin, MacLaurin, Maupertuis, Euler, on a vû le systheme de Mr Newton reduit presqu'entierement au calcul et mis a la portée de tous ceux qui sont un peu exercés dans l'analyse. Il ne restoit qu'un seul point à eclaircir, point que l'on doit regarder comme la base de tout le systheme et qu'une obscurité plus complette deroboit depuis longtems aux efforts des geometres, je parle de ce fameux problême inutilement attaqué tant de fois où il s'agit de determiner avec une exactitude qui puisse repondre aux observations, les mouvemens de trois corps lancés dans le wide tels que le Soleil, Jupiter et Saturne, ou tels que la Lune, la Terre et le Soleil, en supposant que les trois globes s'attirent suivant la loy de la gravitation universelle etablie par Mr Newton. Messieurs d'Alembert et Clairaut ont tous deux tenté de le resoudre, et tous deux y sont parvenus par des routes assés differentes, mais qui conduisent aux mêmes resultats. Leurs solutions remises en même tems à l'Académie leur assurent egallement a tous deux l'honneur d'avoir porté le dernier trait de lumière sur la theorie de la gravitation universelle en surmontant les pus grandes difficultés. J'exposai dans le dernier semestre l'art et les moyens dont M[onsieu]r d'Alembert s'est servi pour parvenir à resoudre ce problême dans sa plus grande generalité [cf. 24 novembre 1747 (1)]. Je vais tacher de developper aujourd'hui la methode qu'a suivi M[onsieu]r Clairaut, les utiles applications qu'il en faites et les conclusions qu'il en a tirées. Il réduit la question à trouver la courbe que decrit un globe lancé dans le vuide et sollicité à chaque instant par trois forces dont la premiere constam[m]ent dirigée vers un point donné suit la raison inverse des quarrés des distances, la seconde dirigées vers le même point exprime en s'ajoutant a la premiere tous les autres efforts qui coucourrent à eloigner ou à rapprocher la planete de ce centre, enfin la troisieme agissant dans une direction perpendiculaire a la direction commune des deux premieres exprime le concours des actions perturbatrices qui tend[r]oient a deranger la planete en la supposant muë dans une courbe données par les actions reunies des deux autres forces. Quoi que l'on puisse [exprimer] indifferem[m]ent et sous les mêmes expressions generales a la fois les forces perturbatrices d'autant de planetes que l'on voudra, et des cometes mêmes, sur le corps dont on se propose de determiner le mouvement, pour simplifier plus promptement le calcul et pour en tirer avec plus de facilité ce qui peut convenir aux inégalités de la Lune et de la Terre, de Saturne et de Jupiter, principal usage de la solution, M[onsieu]r Clairaut se borne à ne considerer a la fois que les actions mutuelles de trois corps qui s'attirent en raison inverse des quarrés de leurs distances respectives. Il suppose que ces actions s'exercent dans le même plan, supposition d'autant plus legitime que les plans des orbites planetaires sont en effet peu distans les uns des autres et qu'il est toujours facile de determiner separem[m]ent les differentes perturbations qui peuvent resulter de l'inclinaison des orbites. Ces preparations faites, pour decouvrir par degré les derangemens que les trois planetes peuvent se causer mutuellement dans le même plan, on sup[p]ose d'abord que deux d'entre elles eussent decrit des cercles autour de la troisieme sous l'action des forces perturbatrices. Comme il n'est pas question de determiner la courbe decrite par la Lune dans l'espace absolu mais son mouvement autour de la Terre, il devient indifferent pour le calcul ainsi que pour l'observateur que la fixité soit dans la Terre ou dans le Soleil. Par cette consideration, on parvient assés promptement aux equations qui determinent l'orbite et le tems, en négligeant seulement dans le calcul les quantités ou la fonction qui exprime le concours des petites actions tendantes au centre se trouve elevée a la seconde puissance. Cet artifice donne des resultats simples tant pour l'orbite que pour l'expression du tems, assés precis pour decouvrir tout ce qui se passe pendant une revolution de la Lune. Decomposant ensuitte pour l'application de ces formules les actions reelles du Soleil, de la Terre et de la Lune, negligeant dans leurs expressions les termes qui ne sont composés que de quantitée très petitee, incomparables à celles qui doivent produire des mouvemens sensibles, M[onsieu]r Clairaut mesure la quantité de perturbation qui rend l'orbite de la Lune differente du cercle qu'on l'a supposé décrire. Il substituë cette valeur dans la solutions generale et pour parvenir aux integrations necessaires, il donne une nouvelle methode d'integrer les quantités composées des sinus d'angles et multipliées par les differentielles des sinus de leurs multiples. Les intégrations ammenent en termes finis les expressions de l'orbite du tems. Il ne reste qu'à substituer dans les formules les mêmes nombres que Mr Newton a employés pour exprimer les masses de la Terre, de la Lune et du Soleil, le rayon de l'orbite lunaire, et le rapport du mouvement moyen synodique de la Lune au mouvement moyen periodique du Soleil. Le substitutions faites, on y voit que l'action de la Lune tend à diminuer l'année de 30 heures, qu'elle produit une equation du centre du Soleil dont la plus grande est à trois signes de la premiere conjonction, qu'enfin elle occasionne encore une autre equation proportionnelle au sinus de l'élongation de la Lune et du Soleil dont la plus grande qui arrive au quadratures est de 16'' 7, quantité qui donne une difference d'une seconde de temps en 8 jours et qui pourra par consequent être apercuë d'un observateur exact. M[onsieu]r Clairaut termine cet article par une construction très simple de l'orbite du Soleil ou, ce qui est la même chose, de l'orbite de la Terre. Il fait voir que le centre de gravité de la Terre et du Soleil decrit à très peu près une ellipse autour de la Terre tandis que la Terre trace autour de cette ellipse une espece d'epicycloide allongée. Dans mes mêmes principes et par de semblables substitutions, M[onsieu]r Clairaut trouve l'orbite de la Lune et le tems de sa revolution en supposant toujours que l'orbite eut êté circulaire sans l'attraction du Soleil. Il trouve que l'effet du Soleil dans cette hypothese serait de retarder le mouvement moyen synodique de 3° 14' 30'', de produire une equation du centre dont la plus grande seroit de 1° 32' 40'', enfin de causer une autre equation toujours proportionnelle au quarré du sinus de la distance entre la Lune et le Soleil dont la plus grande serait d 35' 12''. Appliquant les mêmes formules a la theorie de Saturne et de Jupiter, M[onsieu]r Clairaut donne la construction de la courbe que decrit Saturne. Cette construction consiste ainsi que les deux pecedentes à decrire une ellipse sur des elemens donnés par la formule et à retrancher de chaque rayon de l'ellipse une quantité variable qu'il assigne. On trouve ainsi tous les points de l'orbite, et pour faciliter le calcul de cette application ou l'on pourroit être emba[r]rassé par l'employ d'une fonction qui demande la quadrature de deux courbes, M[onsieu]r Clairaut en donne une table calculée de 3 degrés en 3 degrés de longitude. Les inegalités du mouvement de Saturne et de Jupiter n'ont point êté determinées par Mr Newton, et pour ce qui concerne les inegalités de la Lune, les determinations que M[onsieu]r Clairaut tire de cette premiere solution quadrent avec celles que Mr Newton a données pour les changements de grandeur et d'excentricité qui arrivent à l'orbite, pour les accelerations de la vitesse du satellite de l'opposition a la quadrature, de la quadrature à la conjonction, enfin pour toutes les irrégularités qui sont sensibles pendant le cours d'une revolution. Mais doit on se borner à l'hypothese du mouvem[en]t circulaire, negliger sans consequence les quantités qu'on a traitées comme nulles dans cette solution, lorsqu'il s'agit de decouvrir dans le mouvement de la Lune les inegalités qu'on ne peut appercevoir qu'après un grand nombre de revolutions telles que les irregularités produites par le mouvement des apside ? Cette question devient la matiere d'une discussion très importante dans le mouvement de M[onsieu]r Clairaut. Il demontre que certains termes qui sont très petits et qu'on peut negliger sans erreur lorsqu'on n'embrasse a la fois que 7 ou 8 revolutions de la Lune deviennent très considerables a la longue surtout dans un aussi grand nombre de revolutions qu'il en faut pour connoitre le mouvement de l'apogée. Reprenant donc l'equation generale du problême pour y laisser desormais les quantités qui expriment l'excentricité des orbites, considerant la Lune dans une ellipse au lieu du cercle qu'on l'avoit supposé decrire, elllipse qu'elle decriroit en effet sans la force perturbatrice du Soleil, et qui se trouve exprimée dans la premiere partie de l'equation generale, M[onsieu]r Clairaut tente une nouvelle solution du problême incomparablement plus exacte que la precedente. Les difficultés se multiplient mais il fournit à mesure de nouveaux moyens pour les surmonter tantost en negligeant les puissances elevées de l'excentricité qui n'est que la 20e partie du rayon moyen, tantost en substituant sous des formes commodes aux quantités qu'il seroit impossible de reduire si on les employoit toutes entieres dans le calcul d'autres fonctions assés approchantes de celles cy pour que les resultats ne puissent jamais s'eloigner du vray que d'une quantité extremement petite et toujours connuë ensorte que l'analiste soit toujours le maitre d'en gouverner les differences ou les ecarts proportionellem[en]t au nombre de revolutions qu'il veut embrasser a la fois. Par les formules que donne cette nouvelle methode, on voit que l'effet du Soleil est de changer l'ellipse que la Lune auroit decrite sans l'action de cet astre, et de donner à l'apside un mouvement très lent dans l'ordre des signes. L'ellipse devient sujette a trois corrections assés faciles à calculer parce qu'elles sont proportion[n]elles a des cosinus d'angles qu'on peut aisement reduire en tables. Pour ce qui est de l'expression du tems, amenée par le même art et poussée jusques à la plus grande exactitude, elle pourra fournir à l'aide de quelques elemens astronomiques et par un problême semblable à celui de Kepler une construction des tables de la Lune aussi parfaite qu'il est possible de la désirer. Il ne restera plus a vaincre que les degouts d'un caclul penible, mais l'utilité dont il peut être suffira pour les surmonter. Comme la methode de M[onsieu]r Clairaut s'etend à tel nombre de revolutions que l'on voudra, elle fournit un moyen pour corriger l'une par l'autre d'après les observations les differentes applications qui en seront faites et pour determiner en consequence avec la plus grande precision tous les elemens qui entrent dans la theorie de la Lune. Mais le principal objet de cette recherche et le plus important pour l'astronomie est la determination du mouvement de l'apogée. C'est de ce point que l'on part pour employer celle des corrections du mouvement de la Lune qu'on appelle equation du centre. Cette equation tantost additive, tantost soustractive peut aller jusques à 6 ou 7 degrés, et l'employ qu'on en doit faire depend de la position de la Lune par rapport à l'apogée, point de sont orbite qui repond successivement à tous les points du ciel achevant sa revolution complette en moins de 9 ans. Si la gravitation universelle en raison inverse des quarrés des distances a lieu dans toute la nature, et qu'elle gouverne en effet tous les mouvements des corps célestes, il faut qu'elle necessite l'apogée de la Lune a faire une pareille revolution, et qu'on tire des formules de M[onsieu]r Clairaut telle que les observations nous l'ont donné. Mais quelle surprise pour les geometres de voir que dans cette hypothese la revolution de l'apogée doit etre deux fois plus lente qu'elle n'est en effet, c'est a dire que la periode de l'apogee suivant les loix de l'atttraction mutuelle en raison inverse des quarrés des distances seroit de 18 ans tandis que par les observations elle s'acheve en moins de 9 ans, il en resulte que la theorie de la Lune telle qu'elle est donnée par Mr Newton peut ecarter du vray les astronomes modernes plus que les anciens ne l'ont êté, car en sup[p]osant la Lune muë dans un cercle autour de la Terre, ils ne pouvoient se tromper que de 6 a 7 degrés sur la determination du lieu de ce satellite, au lieu qu'en faisant le mouvement de l'apogée du double plus lent qu'il n'est en effet, on ajoutera souvent au lieu moyen une equation qu'il faudroit retrancher, d'ou peut naitre une erreur de 13 à 124 degrés. Il faut que Mr Newton n'ait point aperçu ce defaut de sa theorie, ou plutost qu'il ait entrepris de la cacher dans les tenebre de la synthese. Quoi qu'il en puisse être, il est decouvert. Comment sortir de cet embar[r]as ? Faut-il abandon[n]er entierement l'hypothese de l'attraction mutuelle ? Non, sans doute, puisqu'elle est conforme a tant d'autres phenomenes ; les loix de Kepler observées dans tous les corps celestes, les oscillations des marées, la figure des astres, les inegalités de la Lune dans le cours de chaque revolution, le mouvement des noeuds de cette planette calculé par les formules de M[onsieu]r Clauraut et trouvé conforme à ce qu'en apprend l'astronomie. Tout excepté le mouvement de l'apogée s'accorde a la theorie de l'attraction, et la probabilité augmente a l'infini lorsqu'une supposition donne les nombres precis qu'on annoncé les observations. Le seul phenomene du mouvement de l'apogée rejette la loy de'attraction en raison inverse des quarrés des distances, mais ne pour[r]oit on pas les accorder tous et retablir l'uniformité dans le systheme en conservant l'attraction et en changeant simplement sa loy ? C'est l'expedient que propose M[onsieu]r Clairaut. Il remarque qu'il est une infinité de loix a donner à l'attraction telles qu'elle différant très sensiblement de la loy du quarré à des distances peu considerables, elles ne paroitront pas s'en ecarter a de plus grand eloignements. Que la relation entre l'energie de la force et la distance ait par exemple une expression composée de deux termes dont l'un ait au diviseur le quarré et l'autre le quarré quarré de la distance, que l'on compare les effets de cette attraction a deux distances dont l'une soit 100 fois plus petite que l'autre, telles que les distances de la Lune a la Terre, et de Mercure au Soleil, on verra que l'action de la Tere sur la Lune sera sensiblement differente de celle qui suit la loy du quarré, assés pour produire cette enorme correction de 9 ans qu'il faut faire au mouvement de l'apogée, mais que cette difference d'attraction etant 10 mille fois plus petite pour la distance de Mercure au Soleil, les changements qu'elle pour[r]a causer dans le mouvement de cette planete ne seront appercus qu'après une suitte d'observations continuées pendant plusieurs siecles. Si la force qui tient tous les corps celestes enchainés autour du Soleil produite par une attraction mutuelle entre toutes les parties de la matiere differe peu dans sa loy de la raison inverse des quarrés des distances, les planetes ne nous fournissent aucun moyen de la con[n]oitre, si ce n'est par l'excessivement petit mouvement d'aphelie qu'on a cru leur apercevoir, mais avec une distance aussi petite que la distance de la Lune a la Terre, la difference des deux loix devenuë tres sensible suffit pour ajouter ce qui manque a la force perturbatrice du Soleil dans la theorie de Mr Newton en produisant seule l'autre moitié du mouvem[en]t de l'apogée. A une distance encore plus petite du centre du mouvement de la Lune a la surface de notre globe, cette difference deviendra plus grande encore, peut être y produira-t-elle ce peu d'accord que M[onsieu]r Clairaut a remarqué entre les mesures du pendule et celle des arcs de la Terre. Devenant incomparablement plus grande pour une distance presque nulle peut être nous donnera-t-elle encore la solution de ces phénomenes qui semblent appartenir a la gravitation, mais sous des loys tres differentes de celles qu'on a tirées du mouveme[en]t des corps celestes, je veux dire la cohesion des marbres dans le vuide, la rondeur des gout[t]es d'au, l'elevation des liqueurs dans les tuyaux capillaires, les refractions et inflexions de la lumiere a la rencontre de differens corps. Il semble qu'une seule et même loy d'attraction differente de celle qui est etablie pourroit conserver l'uniformité dans tout le systheme et l'étendre même en satisfaisant a plus de faits. Mais avant que de rejetter la loy d'attraction en raison inverse des quarrés des distances, avant que de lui substituer la nouvelle loy proposée par M[onsieu]r Clairaut, ne faudroit-il pas s'assurer si quelque force particuliere de la Terre, quelque magnetisme dans les parties qui la composent, trop foible pour causer des derangemens sensibles a de trop grandes distances, ne pourroit pas satisfaire au mouvement de l'apogée de la Lune en s'ajoutant a la loy qui suit les quarrés des distances, ne faudroit il par rechercher par une grand nombre d'applications particulieres si la nouvelle hypothese repond en effet à tant de phenomenes exactement calculés suivant les principes de Mr Newton et principalement a la theorie des cometes dont plusieurs ont passé très près du Soleil. C'est beaucoup que d'avoir decouvert ce deffaut dans le systheme de Mr Newton en donnant une theorie plus exacte des mouvemens de la Lune et des moyens surs pour perfectionner cette theorie. Le tems, les observations, les effets reunis des géometres et des astronomes nous feront connoitre dans la suitte le parti que nous devons prendre sur les loys de la gravitation. Depuis que M[onsieu]r Clairaut a communiqué à l'Academie les differents memoires dont je viens de rendre compte, M[onsieu]r d'Alembert a donné l'application de sa methode generale pour determiner les orbites des planetes [(Alembert 45b) ; AI/6, pp. 137-160], a la recherche de l'orbite de la Lune. Comme tout l'art de cette application consiste à vaincre quelques difficultés de calcul en negligeant a propos des quantités dont l'absence ne puisse pas produire d'erreur sensible relativement à l'usage que l'on veut faire de la solution generale, je ne descendrai point dans les details. Il suffit de dire que les resultats de M[onsieu]r d'Alembert de même que ceux de M[onsieu]r Clairaut donnent pour le mouvement de l'apogée de la Lune une quantité double de celle que les observations nous ont decouvert, qu'ainsi les deux applications faites par des methodes independantes et differentes l'une de l'autre se confirment mutuellement. Enfin que cette partie du travail de M[onsieu]r d'Alembert ayant êté tenuë secrette, mais déposées a l'Academie le 23 juin 1747 a la suitte de s solution generales [cf. 14 juin 1747 (1)], M[onsieu]r Clairaut ne pouvoit avoir aucune connoissance lorsqu'il a lu a fin du mois d'aoust [cf. 23 août 1747 (1)] sa methode pour decouvrir le mouvement de l'apogée de la Lune (AAS, 1 JJ 233, pp. 59-79).
De Montigny avait annoncé cet extrait le 24 novembre 1747 (cf. 24 novembre 1747 (1)).
Alembert (Jean Le Rond, dit d'), « Application de ma méthode pour déterminer les orbites des planètes à la recherche de l'orbite de la Lune », HARS 1745, Mém., pp. 381-390 [Télécharger] [14 juin 1747 (1)] [6 novembre 1747 (1)] [Plus].
Alembert (Jean Le Rond, dit d'), Œuvres complètes de d'Alembert. Série I : Traités et mémoires mathématiques, 1736 – 1756, vol. 6 : Premiers textes de mécanique céleste 1747-1749, M. Chapront-Touzé éd., Paris, 2002 [14 juin 1747 (1)] [6 novembre 1747 (1)] [Plus].
Courcelle (Olivier), « 7 mai 1748 (1) : De Montigny à l'Académie des belles lettres », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n7mai1748po1pf.html [Notice publiée le 28 juin 2010].
