M[essieu]rs Nicole et Clairaut ont fait le rapport suivant de la seconde partie du cours de M[onsieu]r Camus. Nous avons rendu compte [cf. 21 mai 1749 (2)] a l'Academie des Elemens d'arithmetique qui faisoient la premiere partie [(Camus 49)] du cours mathématique a l'usage des ingenieurs, composé par M[onsieu]r Camus. La seconde partie dont il est question maintenant [(Camus 50)] est un traité de géométrie, dans lequel on trouve les propositions necessaires pour entendre facilement toutes les parties de cette science qui peuvent se traiter synthetiquement, avec les principaux usages qu'on peut faire de ces propositions dans la pratique. Ce traité est partagé en dix livres precedés des notions preliminaires qu'on doit avoir des trois especes d'étendues qui sont l'objet de la geometrie, des principes généraux sur lesquels elle est fondée, des differentes sortes de propositions qui la composent, et des differents signes dont on y fait usage pour abreger les demonstrations. Dans le premier Livre M[onsieu]r Camus explique les propriétés generales des lignes droites dans le cas où elles se rencontrent et dans celui où elles ne peuvent point se rencontrer. Il explique aussi diverses propriétés qui naissent de la rencontre d'un cercle avec des lignes droites ou avec d'autres cercles, et il termine ce livre par la mesure des angles dans les quatre positions qu'ils peuvent avoir a l'egard de la circonference. Dans le second Livre l'auteur traite des superficies. Il explique la nature et les proprietés generales des triangles et des parallélogrammes ce qui constitue leur inégalité, la maniere de trouver leurs aïres relativement aux mesures de leur base et de leur hauteur, ce qui lui donne occasion de considerer celles du polygone et du cercle general. Il y traite aussi de la reduction des figures rectilignes a des figures plus simples, et explique par ce moyen l'addition, la soustraction, la multiplication et la division de ces figures. Dans le 3e il donne une théorie assés etenduë des rapports et des propositions geométriques. Il explique non seulement les differentes regles qu'on peut suivre pour changer une proportion en d'autres proportions ; mais il dévelope encore la nature des rapports composés, et demontre, en se servant toujours de la synthese, que tant de propositions géometriques qu'on voudra multipliées par ordre, c'est a dire, termes par termes correspondans, produisent toujours quatre termes en proportion géométrique. Nous faisons remarquer cette regle dont on ne faisait point usage dans les Elemens de géométrie, parce que M[onsieu]r Camus s'en sert heureusement et utilement pour prouver quantité de propositions dont la theorie devient plus simple et la demonstration plus courte et plus facile par cette voye. Enfin il explique la méthode de sommer des progressions géométriques tant lorsque le nombre de leurs termes est finy que lorsqu'il est infini, comme il peut l'etre dans les progressions decroissantes, sans rendre la somme infinie. Dans le 4e Livre M. Camus traite des rapports des lignes et de leur sparties, des triangles semblables, des polygones semblables, de leur division en parties semblables, des points semblablement placés ; ce qui le conduit à expliquer d'une maniere très claire, l'art de lever les plans, et l'engage a donner la solution d'un grand nombre de prôblemes utile où il fait usage des lignes proportionnelles. Dans le 5e livre il traite des rapports des surfaces et principalement de celles des figures semblables, il y demontre les rapports des figures semblables dont les côtés homologues forment un triangle rectangle, ce qui lui fournit des pratiques pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des figures semblables. Il donne aussi les rapports des quarrés construits sur les cotés d'un triangle quelconque dont il fait l'application a plusieurs theorême : et comme il ne perd point de vue l'union de la pratique a la theorie, il en deduit la demonstration de ce theorême si utile et cependant si mal demontré dans presques toutes les géométrie pratiques, l'aire d'un triangle quelconque est egal au quarre de la racine quarrée d'un produit de quatre dimensions fait de la somme des trois cotés et de difference de chaque coté a la somme des deux autres. Dans le sixieme livre, il traite des figures coupées en raison reciproque, il en tire les differentes constructions des moyennes proportionnelles dont il fait voir l'usage dans la pratique pour transformer un triangle ou un polygone quelconque en une autre figure semblable a une figure donnée. Il enseigne aussi a couper les lignes en moyenne et extreme raison et en montre, et en montre l'application a la division du cercle en partie egales. Enfin il considere les lignes coupées en trois segmens dont l'un est moyen proportionnel entre les deux autres, examen qui conduit a la solution de ce probleme essentiel de geodesie : mener par un point quelconque, au dedans ou au dehors d'une figure rectiligne, une ligne droite qui retranche de cette figure une partie de grandeur donnée. Le 7e Livre qui traite de la rencontre des plans entr'eux avec des lignes droites, n'est qu'une preparation au 8e dans lequel on considere les solides. Ceux que l'on y traite se reduisent au prisme, au cylindre, à la pyramide, au cône et a la sphere. M. Camus considere les surfaces et les solidités de ces corps : et comme il ne laisser echapper aucune occasion de perfectionner la pratique, il a soin de faire dependre les operations de la mesure des dimensions les plus commodes. Par exemple quoy qu'on puisse regarder un tronc de pyramide a bases paralleles comme la difference de deux pyramides semblables, il le decompose comme le prisme, et le forme de trois pyramides qui ont toutes trois meme hauteur que le tronc, dont deux ont pour bases les bases opposées du tronc, et dont la troisieme a pour base une moyenne proportionnelle entre les deux bases opposées du meme tronc ; ce qui le conduita une methode simple pour toiser les troncs de pyramides a bases paralleles. Lorsqu'il s'agit de toiser la surface convexe d'un segment de sphère, il ne se contente pas de regarder cette surface comme celle d'un cylindre de meme diametre que la sphere et de meme hauteur que le segment, il demontre qu'elle est égale a la surface d'un cercle qui a pour rayon la droite [...] ce qui luy donne plus de facilité pour toiser cette surface convexe. De meme après avoir regardé le solide du segment sphérique comme la difference d'un secteur sphérique a un cône, il demontre qu'il est égal au solide d'un cylindre qui a pour diametre la flèche du segment et pour hauteur le rayon moins le tiers de cette flèche, ce qui abrege considerablement le calcul de la solidité du segment. Le 9e Livre est un traité de trigonometrie plane dans lequel on explique la construction des tables des sinus, tangentes et sécantes et de leur logarithmes, laquelle est éclaircie par une très grand nombre d'exemples. M. Camus suit dans cette partie la theorie de Keil ; mais il n'en adopte pas toujours les demonstrations. La demonstration de cette proposition, lorsque plusieurs arcs sontdans une progression arithmetique dont la difference est egale au premier terme, le sinus du premier arc est au sinus du second comme le sinus du second est au sinusdu troisieme plus le sinus du premier, comme le sinus du troisieme est au sinus du quartieme plus celui du second, et ainsi de suite ; a paru assés difficile a Keil pour l'engager a la faire preceder d'un lemme. Dans la geometrie de M. Camus, la verité de cette proposition se decouvre sans aucune peine par l'inspection de la figure. Enfin dans le Livre 10e, après avoir parlé de la mesure des arcs du cercle, il traite d'une espece d'ovale que les praticiens substituent a l'éclipse [!] dans la construction des voutes. Cette courbe qu'ils nomment anse de pannier est ordinairement composée de trois portions de cercles que l'on trace suivant differentes methodes plus ou moins exactes. M. Camus, après en avoir donné la construction geometrique pour un diametre et un hauteur quelconque, examine les méthodes recuës dans la pratique ; et la comparaison qu'il en fait avec la methode géométrique le met en etat d'evaluer les erreurs que l'on commet en les suivant. Il donne ensuite une methode fort simple pour toiser la longueur de cette espece de courbe qui peut être substituer a l'éclipse dans la pratique. Enfin il propose des constructions et des methodes de toiser pour des anses de panier a cinq centres, lesquelles ressemblent mieux à l'éclipse que les precedentes, et peuvent avec plus de raison en tenir lieu dans les toisés. Ces courbes n'étant point déterminées par le nombre des degrés de chacun des cinq arcs qui les composent, il les determine par differentes conditions propres a rendre leur forme plus agreable. Tout cet ouvrage rempli de choses utiles a ceux qui se destinent a la pratique et a ceux qui veulent se livrer a la theorie, nous a paru meriter l'impression (PV 1750, pp. 99-102).
Grandjean de Fouchy donne un extrait de ce rapport le même jour (cf. 21 mars 1750 (2)). Nicole et Clairaut lisent leur rapport sur le premier volume de (Camus 51-52) le 12 décembre (cf. 6 décembre 1750 (1)).
Abréviation
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Camus (Charles-Étienne-Louis), Cours de mathématique. Troisième partie. Élémens de méchanique statique, 2 vol., Paris, 1751-1752 [22 février 1749 (1)] [21 mai 1749 (2)] [Plus].
Courcelle (Olivier), « 21 mars 1750 (1) : Clairaut rapporteur », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n21mars1750po1pf.html [Notice publiée le 4 septembre 2010].