M[essieu]rs Clairaut et Fontaine lisent le rapport suivant sur le memoire anonyme touchant les asymptotes des hyperboles etc. Nous avons éxaminé par ordre de l'Académie [cf. 27 juin 1742 (2)] un écrit anonyme intitulé « Memoire touchant les hyperboles de tous les genres, où l'on fait voir qu'on s'est trompé jusqu'à présent dans la maniere de chercher la position de leurs asymptotes par la connoissance de leurs équations au premier axe ». C'est principalement M. le M[ar]quis de l'Hôpital que l'auteur attaque dans ce mémoire : il prétend que la méthode qu'on employe à l'article 13 des Infiniments petits, pour trouver les asymptotes des courbes ne donnent pas la vraie position de ces lignes. Ce qui le fait penser ainsi, c'est qu'il s'est imaginé que puisque l'hyperbole du second degré pouvoit avoir également comme équation yy=ax+xx et xy=a, selon qu'on la consideroit par rapport à son axe, ou par rapport à ses asymptotes, il devoit aussi y avoir une hyperbole du troisieme degré qui suivant qu'on la traite par son axe ou par ses asymptotes, seroit exprimé par y3=ax2+x3 ou par xy2=a3. En partant de là, il prend dans l'hyperbole dont l'équation est y3=ax2+x3, la ligne qui est analogue à l'axe de l'hyperbole ordinaire, et ne trouvant point que les asymptotes soient placées à l'égard de cet axe, de même que celle qu'on trouve par la methode du marquis de l'Hôpital dans l'hyperbole expimée par y3=ax2+x3, il conclut que M[onsieu]r de l'Hôpital se trompe ; mais il est aisé de voir que notre auteur se trompe lui même, puisque les deux hyperboles en question n'ont rien de commun que le nom. Nous ne nous arresterons point ici à le prouver, parce que ceux qui ont un peu éxaminé la figure des courbes, sçavent qu'on ne peut par aucune transformée rappeler l'une des deux équations précédentes à l'autre, et que les figures des deux hyperboles qu'elles expriment, ne se ressemblent point du tout. La méprise de nôtre auteur est d'autant plus grande que ce n'est pas sans éxamen qu'il a avancé que ces deux hyperboles étoient la même courbe : il en a cherché une démonstration et ne l'ayant pas pu trouver, comme il l'avouë, il est bien singulier qu'il soit resté dans son sentiment. Après cette erreur, il en vient une autre qui n'est pas moins considérable. Lorsqu'il s'agit de prouver que l'espace renfermé entre l'abcisse, l'ordonnée, l'asymptote parallele à l'ordonnée, et l'arc de l'hyperbole y3=ax2+x3, l'auteur trouvant une quantité négative au diviseur de l'intégrale de l'élement xdx, prend le rapport de 1 à -1, pour celui de l'infni à l'unité, ne faisant pas attention que l'intégrale telle qu'il la prend, n'est pas complette, et qu'il faut lui ajouter une constante infinie. Nous pourrions reprendre encore plusieurs autres endroits de ce memoire, par éxemple en éxaminer la figure que donne l'équation x4=ax3+x4, notre géometre fait a négatif en même temps que x afin de trouver les deux branches opposées de la courbe égales et semblables. Mais en voilà assés pour donner une idée de la force de ses objections contre les methodes ordinaires (PV 1742, pp. 312-313).
Clairaut et Fontaine poursuivent par le rapport sur un second mémoire de l'auteur (cf. 7 juillet 1742 (2)).
Abréviation
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Courcelle (Olivier), « 7 juillet 1742 (1) : Clairaut rapporteur », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n7juillet1742po1pf.html [Notice publiée le 15 janvier 2010].
