M[essieu]rs Clairaut et Bezout ont parlé ainsi de l'ouvrage du P. Ricati [Riccati] sur les series recurrentes. Nous commissaires nommés [cf. 22 août 1759 (1)] par l'Academie avons éxaminé un manuscrit qui a pour titre de termino generali serierum recurrentium cum appendice disquisitio analytica. Les series reccurrentes sont celles dont chaque terme est formé d'un nombre déterminé de termes precedents, combinés, tant entr'eux qu'avec d'autres quantités données suivant une même loy quelconque. Si chaque terme dérive du précédent, des deux precedents, des trois precedents etc. multipliés chacun par une quantité donnée, la série est dite reccurrente du 1er, du 2e, du 3e ordre etc. Le P. Vincent a donné en 1756 une méthode pour déterminer le terme général de ces sortes de séries : celles dont il se propose aujourd'huy de donner le terme général ont cela de commun avec les precedentes que chaque terme est formé du produit d'un nombre determiné de termes precedents, et multipliés chacun par une quantité donnée ; mais elles en different en ce que ce produit est augmenté d'une quantité constante, et c'est là ce que l'auteur appelle series reccurrentes cum appendice : il les divise comme les precedentes en series de differents ordres ou degrés et ce degré depend de même du nombre de termes de la serie employés dans la formation de chacun. Pour decouvrir le terme général des series avec appendice, le P. Vincent se propose de les reduire aux series sans appendice et pour cet effet procede de la maniere suivante. Ayant representé d'une maniere générale les termes qui doivent servir de base, leurs multiplicateurs et l'appendice, il forme suivant la loy donnée un certain nombre de termes ; mais comme le nombre des parties composantes de chacun s'accroit considerablement a mesure que leur nombre augmente, et que par consequent la loy dont le terme général depend en devient de plus en plus difficile a appercevoir, l'auteur dispose les differentes parties de chaque terme dans une même colonne verticale et les differents termes dans differentes colones, en observant de placer dans une même bande horizontale toutes les parties que produira la multiplication des 1rs termes de cette bande. Par cette disposition, chaque bande horizontale forme une serie reccurrente sans appendice et dont l'auteur est par consequent en etat de donner le terme general, suivant ce qui a été dit cy dessus. Le terme général de la serie reccurrente avec appendice sera donc la somme des termes généraux de ces bandes ou series sans appendice. Mais comme le nombre de ces termes est égal a celui des termes de la serie proposée, il reste pour rendre la solution complette a donner une expression analytique abrégée de leur somme : l'auteur en donne le moyen en faisant observer que ces termes si on en excepte autant qu'il y a d'unités dans l'exposant de l'ordre de la série, forment eux mêmes une serie reccurrente sans appendice et par consequent sommable par les methodes qu'il a données en 1756. Nous ne parlerons point de la methode que l'auteur employe pour determiner le terme général des series reccurrentes sans appendice auxquelles il reduit, comme nous venons de l'exposer, les series avec appendice, l'auteur n'ayant pas jugé a propos de la rappeller ; nous nous contenterons de dire que cette détermination depend en général de la resolution d'une equation d'une degré egal a celui de la serie. Au reste l'artifice egalement simple et ingénieux par lequel le P. Ricati reduit ses nouvelles series a celles dont il avoit deja traité et le choix qu'il a mis dans les applications nous font juger que cet ouvrage peut être utile a ceux qui s'occupent de ces matieres, et qu'il merite d'avoir place dans le recueil des savants etrangers (PV 1759, ff. 727r-728v).
PV : Procès-Verbaux, Archives de l'Académie des sciences, Paris.
Références
Riccati (Vincenzo), « De termino generali serierum recurrentium cum appendice. Disquisitio analytica », De Bononiensi Scientiarum et Instituto atque Academia Commentarii, V-1 (1767) 87-108 [22 août 1759 (1)].
Riccati (Vincenzo), « De termino generali serierum recurrentium cum appendice. Disquisitio analytica », Mémoires de mathématique et de physique, présentés à l'Académie royale des sciences par divers sçavans, et lus dans ses assemblées, 5 (1768) 153-174 [Télécharger] [22 août 1759 (1)].
Courcelle (Olivier), « 5 septembre 1759 (2) : Clairaut rapporteur », Chronologie de la vie de Clairaut (1713-1765) [En ligne], http://www.clairaut.com/n5septembre1759po2pf.html [Notice publiée le 8 août 2007].
